劉 植 何佳文 陳曉彥 姜 婉

合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥，230009

基于三次擬Bézier方法的汽車車燈輪廓設(shè)計(jì)

劉 植 何佳文 陳曉彥 姜 婉

合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥，230009

為了更加有效地設(shè)計(jì)汽車車燈的形狀,提出一種基于含形狀參數(shù)的三次擬Bézier曲線的汽車車燈輪廓線設(shè)計(jì)方法。研究了分段三次擬Bézier曲線的光滑拼接條件;利用三次擬Bézier樣條曲線構(gòu)造了汽車車燈投影輪廓線,并分析了輪廓曲線大調(diào)與微調(diào)的方法,包括輪廓邊線和邊角的調(diào)整;最后根據(jù)車燈正投影曲線得到了車燈輪廓模型。通過調(diào)整形狀參數(shù)的取值和控制頂點(diǎn)的位置,可以根據(jù)需要靈活地控制輪廓線的形狀。與現(xiàn)有方法相比,該方法使用的曲線具有更低的次數(shù),計(jì)算更簡便。數(shù)值實(shí)例表明，該方法簡單有效，便于形狀的交互設(shè)計(jì)。

車燈輪廓；三次擬Bézier曲線；幾何連續(xù)；形狀控制

Abstract:In order to more effectively design the shapes of automobile headlamps, a car headlight contour design method was presented herein based on cubic quasi-Bézier curves with shape parameters. Firstly,the smooth connection conditions of piecewise cubic quasi-Bézier curve were studied. Then the car headlight contour curves were constructed using cubic quasi-Bézier spline curves. Besides,the adjustment methods of the contour curve shapes were proposed including the shapes of contour edges and corners. Finally,lights headlight contour model was obtained according to the orthographic projection curves. The contour curves might be flexibly adjusted by changing the values of shape parameters and the positions of control points. Compared with the conventional method,the curve used in this method has a lower degree and the calculation is easier. Numerical examples show that the method proposed herein is simple,effective and ease to complete interaction designs of shapes.

Keywords:headlamp contour; cubic quasi-Bézier curve; geometric continuity; shape control

0 引言

汽車外部造型設(shè)計(jì)過程可按空間的維度分為三個(gè)層次[1]:外形輪廓線等整體造型線走勢的設(shè)計(jì),車身各部分比例關(guān)系的設(shè)計(jì),以及車身細(xì)節(jié)的設(shè)計(jì),其中外形輪廓線的設(shè)計(jì)決定了車型分類和設(shè)計(jì)方向。汽車車燈是汽車前部重要的造型元素,屬于細(xì)節(jié)設(shè)計(jì)層次,是影響汽車外部造型的關(guān)鍵元素之一。在汽車外部造型設(shè)計(jì)中,如何生成并靈活調(diào)控車燈輪廓的形狀以滿足功能及美觀性要求是一個(gè)亟待解決的重要問題。

汽車前大燈的位置相對特殊,其輪廓會影響到引擎蓋板、前裙板、前翼子板這三塊曲面。目前采用的造型方法是:首先在正面視圖中繪制汽車車燈造型的線條輪廓圖,然后將其投影到汽車表面上,最后通過對三塊曲面的修剪獲得車燈的輪廓造型。設(shè)計(jì)人員只需要在同一平面內(nèi)繪制不同的曲線,并對這些曲線進(jìn)行編輯修改即可,該方法比在三維空間中調(diào)節(jié)曲線曲面更加簡單有效。

近年來,涌現(xiàn)出了一系列基于帶參數(shù)多項(xiàng)式的幾何造型技術(shù)。2010年,胡鋼等[2]研究了一種帶兩個(gè)形狀參數(shù)的三次Q-Bézier曲線曲面的拼接技術(shù),給出了兩相鄰三次Q-Bézier曲線間G1、G2，C1、C2拼接的充要條件。2013年,郭磊等[3]將文獻(xiàn)[2]方法用于描述汽車車燈輪廓曲線造型;同年,郭磊等[4]用帶一個(gè)形狀參數(shù)的四次Bézier曲線統(tǒng)一描述汽車前臉各造型設(shè)計(jì)元素的輪廓;2015年,郭磊等[5]在文獻(xiàn)[2]方法的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步提出一種用帶一個(gè)形狀參數(shù)的四次廣義Bézier曲面描述汽車車身曲面的方法。綜合這些用于描述汽車車燈、前臉輪廓以及車身曲面的造型方法,其特點(diǎn)在于通過改變相應(yīng)參數(shù)的值靈活調(diào)整形狀,獲得光順的過渡效果，然而這些方法用于描述形狀的調(diào)配函數(shù)均是4個(gè)四次多項(xiàng)式,并不構(gòu)成四次多項(xiàng)式空間的一組基函數(shù),因此,難以與現(xiàn)有造型系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)有效的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換與傳遞。

為了在現(xiàn)有幾何造型中更加靈活地調(diào)控曲線形狀并與傳統(tǒng)方法有效地兼容,劉植等[6]構(gòu)造了一類帶兩個(gè)形狀參數(shù)的三次多項(xiàng)式參數(shù)曲線,該曲線幾乎具有同次Bézier曲線的所有幾何特征,通過改變形狀參數(shù)的取值可以整體或局部調(diào)控曲線的形狀。本文基于此提出一種汽車車燈輪廓線的設(shè)計(jì)方法:首先分析三次擬Bézier曲線的幾何連續(xù)與參數(shù)連續(xù)條件;然后基于三次擬Bézier樣條曲線方法生成車燈輪廓線投影的正視圖;最后通過調(diào)整控制頂點(diǎn)的位置和修改形狀參數(shù)的取值來控制車燈輪廓線的形狀以滿足設(shè)計(jì)要求。

1 三次擬Bézier樣條曲線

給定平面上點(diǎn)Vi(i=0,1,2,3),對于t∈[0,1],定義三次擬Bézier曲線：

(1)

其中，Vi(i=0,1,2,3)稱為式(1)曲線的控制頂點(diǎn),多項(xiàng)式

為三次擬Bernstein多項(xiàng)式基函數(shù),形狀參數(shù)λ和μ滿足0<λ,μ≤3。

式(1)定義的三次擬Bézier曲線具有與三次Bézier曲線類似的幾何性質(zhì),因此被廣泛應(yīng)用于工業(yè)產(chǎn)品的造型設(shè)計(jì)中。

容易驗(yàn)證,式(1)曲線具有端點(diǎn)插值性質(zhì),即

P(0)=V0P(1)=V3

且端點(diǎn)導(dǎo)矢為

(2)

(3)

實(shí)際生產(chǎn)中,汽車表面的過渡要流暢,車燈輪廓線同樣需要滿足一定的光滑性要求，因此需要討論兩相鄰三次擬Bézier曲線間的幾何連續(xù)及參數(shù)連續(xù)條件。

1.1 三次擬Bézier曲線的G1、C1拼接

根據(jù)幾何連續(xù)的Beta約束條件[7],曲線段P(1)(t)和P(2)(t)在拼接點(diǎn)處的切矢方向相同,即存在正數(shù)β1滿足

P(2)(0)=β1P(1)(1)

(4)

時(shí),組合曲線滿足G1連續(xù)。將式(2)代入式(4)可得

時(shí),組合曲線C1連續(xù)。

1.2 三次擬Bézier曲線的G2拼接

根據(jù)幾何連續(xù)的Beta約束條件,組合曲線在拼接點(diǎn)處的G2連續(xù)除滿足G1連續(xù)條件外,還需存在β1(β1≥0)、β2,使

(5)

將式(2)和式(3)代入式(5)，即得

利用上述結(jié)論,可以構(gòu)造滿足一定幾何連續(xù)或參數(shù)連續(xù)的三次擬Bézier樣條曲線來實(shí)現(xiàn)汽車車燈輪廓曲線的造型設(shè)計(jì)。

2 汽車車燈輪廓曲線

根據(jù)生產(chǎn)實(shí)際的要求,車燈輪廓投影曲線可視為滿足一定光滑性要求的閉曲線。汽車車燈輪廓曲線造型問題可歸結(jié)為滿足一定連續(xù)性要求的三次擬Bézier樣條閉曲線(車燈輪廓線投影正視圖)的構(gòu)造問題,并通過調(diào)整樣條曲線的形狀實(shí)現(xiàn)車燈輪廓曲線造型。車燈輪廓曲線造型的關(guān)鍵在于控制頂點(diǎn)與形狀參數(shù)的選取,流程如圖1所示。

圖1 汽車車燈輪廓曲線造型流程圖Fig.1 The flow chart of contour curve of car lights

2.1 形狀可調(diào)G1或C1連續(xù)車燈輪廓曲線

(1)根據(jù)車燈輪廓形狀要求,由設(shè)計(jì)人員繪制車燈輪廓草圖(封閉的n邊形)。

(4)選擇形狀參數(shù)λj、μj,滿足0<λj,μj≤3。對于C1連續(xù)造型還需滿足:

(5)構(gòu)造G1或C1連續(xù)的三次擬Bézier閉樣條曲線(車燈輪廓曲線):

上述生成的樣條曲線往往很難一次達(dá)到滿意的效果,設(shè)計(jì)人員需要反復(fù)對不滿意的位置做整體或局部的形狀修改,因此,三次擬Bézier閉樣條曲線的形狀控制能力至關(guān)重要。上述方法構(gòu)造的樣條曲線的形狀修改可從兩個(gè)方面實(shí)現(xiàn)。

(1)控制頂點(diǎn)對樣條曲線形狀的控制。控制多邊形的形狀反映了輪廓曲線的大致形狀,在第(2)步和第(3)步可以通過調(diào)整控制頂點(diǎn)的相對位置得到比較滿意的輪廓曲線。在C1連續(xù)條件下,若不改變形狀參數(shù)的值，每調(diào)整一個(gè)首末控制頂點(diǎn)的位置,相鄰兩個(gè)控制頂點(diǎn)的位置也會重新確定;每調(diào)整一個(gè)內(nèi)控制頂點(diǎn)的位置,與之相鄰另一段曲線的內(nèi)控制頂點(diǎn)也會重新確定，因此,調(diào)整任一控制頂點(diǎn)的位置必然會影響到相鄰兩段三次擬Bézier曲線的形狀。

(2)形狀參數(shù)對樣條曲線形狀的控制。形狀參數(shù)的值越大,相應(yīng)生成的曲線段越接近控制多邊形,反之則遠(yuǎn)離控制多邊形。因此,在第(4)步可以在參數(shù)范圍內(nèi)任意修改每一段曲線的形狀參數(shù)的值以實(shí)現(xiàn)交互設(shè)計(jì),整體或局部控制樣條曲線的形狀。同樣,在C1連續(xù)條件下,若不改變控制頂點(diǎn)的位置,每調(diào)整一個(gè)形狀參數(shù)的值,與之相鄰另一段曲線的形狀參數(shù)的值也會重新確定,即調(diào)整任一形狀參數(shù)的值也會影響到相鄰兩段三次擬Bézier曲線的形狀。

將控制頂點(diǎn)與形狀參數(shù)對樣條曲線的控制作用結(jié)合起來,可以生成更加豐富的車燈輪廓曲線。

2.2 形狀可調(diào)G2連續(xù)車燈輪廓曲線

步驟(1)～步驟(3)同上。

(4)選擇形狀參數(shù)λj、μj,滿足0<λj、μj≤3,且

其中,βj,1>0,βj,2∈R。

(5)構(gòu)造G2連續(xù)的三次擬Bézier閉樣條曲線(車燈輪廓曲線):

上述方法構(gòu)造的樣條曲線的形狀修改也可以通過調(diào)整控制頂點(diǎn)的位置和修改形狀參數(shù)的值來實(shí)現(xiàn)。

3 造型實(shí)例

為了獲得理想的造型效果,可以利用上述方法整體或局部調(diào)控三次擬Bézier樣條曲線的形狀。正如Bézier方法一樣,控制頂點(diǎn)的位置決定了其生成曲線的整體形狀特征,因此設(shè)計(jì)人員可以通過調(diào)整控制頂點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)輪廓曲線的大幅度調(diào)整;而形狀參數(shù)對樣條曲線的影響是局部的,也是更加精細(xì)的加工,因此設(shè)計(jì)人員可以通過改變形狀參數(shù)的值對樣條曲線做進(jìn)一步的微調(diào),改變局部不滿意之處。

以C1連續(xù)三次擬Bézier樣條閉曲線為例,構(gòu)造汽車車燈輪廓曲線如下:在設(shè)計(jì)初期，設(shè)計(jì)人員可根據(jù)車燈輪廓形狀繪制封閉多邊形草圖,然后在其各邊上根據(jù)輪廓細(xì)節(jié)選取控制頂點(diǎn)后順序連接得到控制多邊形,如圖2a所示。不妨設(shè)車燈輪廓投影曲線由八段三次擬Bézier曲線拼接而成,其中,P(1)、P(3)、P(5)、P(7)表示車燈輪廓邊線,P(2)、P(4)、P(6)、P(8)表示車燈輪廓邊角,如圖2b所示。

(a)控制多邊形

(b)車燈輪廓造型曲線圖2 基于三次擬Bézier樣條曲線的車燈輪廓造型Fig.2 Automobile headlamp contour design based on cubic quasi-Bézier spline curve

按照車燈輪廓曲線造型步驟,可以根據(jù)實(shí)際需要生成形狀各異的造型結(jié)果。為了便于對比,以下實(shí)驗(yàn)結(jié)果均與圖2b比較。

(2)不改變控制頂點(diǎn)的位置,在圖2b的基礎(chǔ)上,修改形狀參數(shù)μ3、λ4及μ7、λ8的值。將μ3=λ4=3調(diào)整為μ3=λ4=1,實(shí)現(xiàn)對第三、第四段曲線形狀的局部控制;同理，將μ7=λ8=3調(diào)整為μ7=λ8=1,實(shí)現(xiàn)對第七、第八段曲線形狀的局部控制。上述控制方法均可保持樣條曲線整體C1連續(xù),如圖3b所示。

(a)控制頂點(diǎn)對形狀的局部控制效果

(b)形狀參數(shù)對形狀的局部控制效果圖3 車燈輪廓的局部控制Fig.3 Local control of lamp contours

通過對比容易看出,控制頂點(diǎn)對形狀控制的作用更加明顯,可以產(chǎn)生較大幅度的變形,適用于整體輪廓形狀的控制;而形狀參數(shù)對形狀控制的作用更加細(xì)微,適合于局部細(xì)節(jié)的修改與調(diào)整。為了更好地實(shí)現(xiàn)整體與局部、概貌與細(xì)節(jié)的形狀控制,可以將二者結(jié)合起來。

(3)將控制頂點(diǎn)與形狀參數(shù)對樣條曲線的控制作用相結(jié)合,可以生成更加豐富的車燈輪廓曲線,如圖4所示。

(a)控制頂點(diǎn)與形狀參數(shù)對形狀的控制效果1 (b)控制頂點(diǎn)與形狀參數(shù)對形狀的控制效果2圖4 多種控制方法相結(jié)合的車燈輪廓造型Fig.4 The outline of the car lights with several control methods

通過調(diào)整三次擬Bézier樣條曲線的形狀可以構(gòu)造汽車車燈輪廓線,如圖5所示,其中圖5a、圖5c、圖5e、圖5g、圖5i、圖5k為正面效果圖,圖5b、圖5d、圖5f、圖5h、圖5j、圖5l為側(cè)面效果圖。圖6a和圖6b得到的車燈輪廓造型能提供較大的照明范圍;圖5c和5d的輪廓造型類似展開的羽翼,給人帶來展翅飛翔的視覺效果;圖5e和圖5f的車燈造型獨(dú)特，符合追求個(gè)性風(fēng)格的特殊要求;圖5g～圖5l的車燈輪廓炫酷,適合于各種跑車和賽車車燈造型設(shè)計(jì)?？梢钥闯?改變控制頂點(diǎn)的位置和形狀參數(shù)的取值可以得到不同形狀的車燈輪廓線條,實(shí)現(xiàn)不同程度的調(diào)控?？刂祈旤c(diǎn)的調(diào)整效果更易實(shí)現(xiàn)輪廓線的大調(diào),而形狀參數(shù)的調(diào)整便于實(shí)現(xiàn)車燈輪廓線的微調(diào)。

(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g) (h)

(i) (j) (k) (l)圖5 汽車車燈輪廓線的效果對比Fig.5 Comparison of the effect of contours of car lights

4 結(jié)語

本文基于含形狀參數(shù)的三次擬Bézier樣條曲線理論,提出了一種新的汽車車燈輪廓線的設(shè)計(jì)方法。通過調(diào)整形狀參數(shù)的取值和控制頂點(diǎn)的位置可以靈活控制輪廓線的形狀。與現(xiàn)有方法相比,本文方法具有如下特點(diǎn):

(1)避免了傳統(tǒng)NURBS方法繁雜的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算,形狀參數(shù)具有明顯的幾何意義,更加有利于輪廓曲線形狀的控制。

(2)與文獻(xiàn)[4-5]的方法相比，本文是三次擬合而不是四次擬合,且可以達(dá)到文獻(xiàn)[4-5]方法的效果。

(3)三次擬Bernstein多項(xiàng)式作為三次多項(xiàng)式空間中的一組基函數(shù),更容易實(shí)現(xiàn)樣條曲線與現(xiàn)有CAD系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳遞和轉(zhuǎn)換,具有更好的兼容性。

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(編輯王艷麗)

AutomobileHeadlampContourDesignBasedonCubicQuasi-BézierMethods

LIU Zhi HE Jiawen CHEN Xiaoyan JIANG Wan

School of Mathematics,Hefei University of Technology,Hefei，230009

TP391

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.17.005

2016-10-28

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11471093);安徽省教育廳自然科學(xué)研究重大項(xiàng)目(KJ2014ZD30);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(JZ2015HGXJ0175);國家級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃資助項(xiàng)目(201610359063)

劉植，男，1976年生。合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院副教授、博士。研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)。發(fā)表論文40余篇。何佳文，女，1990年生。合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院碩士研究生。陳曉彥，女，1976年生。合肥工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院博士研究生。姜婉，女，1996年生。合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院本科生。