李 楊 吳運(yùn)新 龔 海 劉 磊

1.中南大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，長沙，410083 2.高性能復(fù)雜制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙，410083 3.中南大學(xué)有色金屬先進(jìn)結(jié)構(gòu)材料與制造協(xié)同創(chuàng)新中心，長沙，410083

中子譜儀樣品臺幾何誤差建模和靈敏度分析

李 楊1,2,3吳運(yùn)新1,2,3龔 海1,2,3劉 磊1,2,3

1.中南大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，長沙，410083 2.高性能復(fù)雜制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙，410083 3.中南大學(xué)有色金屬先進(jìn)結(jié)構(gòu)材料與制造協(xié)同創(chuàng)新中心，長沙，410083

介紹了中子衍射殘余應(yīng)力測試譜儀樣品臺的結(jié)構(gòu)和基于標(biāo)準(zhǔn)探針的定位測量方法；利用多體運(yùn)動學(xué)和齊次變換矩陣建立了基于標(biāo)準(zhǔn)探針定位測量方法的樣品臺定位誤差模型；最后分別對模型中涉及的42個誤差分量進(jìn)行了定位誤差的靈敏度分析。分析結(jié)果對中子衍射殘余應(yīng)力測試譜儀樣品臺的精度設(shè)計(jì)具有參考作用。

中子譜儀樣品臺；定位測量方法；多體動力學(xué)；定位誤差模型；靈敏度分析

Abstract:The structure of a spectrometer sample table testing residual stress by neutron diffraction and positioning measurement method were introduced herein based on standard probe. The positioning error model was established based on the standard probe positioning measurement scheme by using the multi-body kinematics and homogeneous transformation matrix. Finally, position error sensitivity analysis for 42 error components of the model was carried out. The results of the analysis provide a reference for precision design of the spectrometer sample tables testing residual stress by neutron diffraction.

Keywords:neutron spectrometer sample table; positioning measurement method; multi-body kinematics; positioning error model; sensitivity analysis

0 引言

中子衍射測量是當(dāng)前人們測量零件深部應(yīng)力場唯一的直接測試手段[1]。相對于其他測試方法其優(yōu)勢在于[2]：①對于鋁合金材料，探測深度可以達(dá)到分米量級；②無損測量，在不破壞構(gòu)件結(jié)構(gòu)的前提下還能監(jiān)控構(gòu)件內(nèi)部應(yīng)力的變化情況；③可以測量大型異形構(gòu)件的內(nèi)部應(yīng)力場和相應(yīng)力。由此，高性能的中子應(yīng)力測試譜儀對現(xiàn)代工程制造有著重大的意義。樣品臺是中子譜儀的關(guān)鍵部件之一，需滿足大型構(gòu)件多維度運(yùn)動并能靈活調(diào)整位置和精確定位的要求。中子衍射測量的對象為材料內(nèi)部微觀組織，反映的是材料晶面間距離的微觀變化，樣品臺定位精度直接決定測量效果，因此，為提高樣品臺的定位精度，利用合理的誤差分析模型，確定對測量定位精度影響較大的誤差參數(shù)，進(jìn)行樣品臺誤差靈敏度分析具有重要意義。

樣品臺的定位精度受樣品運(yùn)動平臺的靜態(tài)及動態(tài)誤差、3D外形輪廓測量誤差、測量零點(diǎn)與坐標(biāo)系統(tǒng)的測量與標(biāo)定誤差、中子束本身的束流寬度大小甚至計(jì)算誤差等多種誤差因素的影響，其中樣品臺引起的動靜態(tài)誤差可基于多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)理論進(jìn)行建模和仿真，通過對機(jī)械、控制和傳感系統(tǒng)進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)、加工、裝配、控制和誤差補(bǔ)償來消除或減少可能的誤差源。目前，各類機(jī)械運(yùn)動平臺的幾何誤差建模方法研究已取得了重要進(jìn)展，這些幾何誤差建模方法主要包括三角關(guān)系法、多維誤差矩陣法、二次型模型法、直接空間誤差分析法、機(jī)構(gòu)學(xué)法和多體系統(tǒng)誤差建模分析法等。因?yàn)槎囿w系統(tǒng)理論可對影響復(fù)雜系統(tǒng)的各項(xiàng)因素及相互耦合關(guān)系進(jìn)行全面考慮，所以非常適于解決復(fù)雜工程系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)問題，已被廣泛應(yīng)用到各類機(jī)械運(yùn)動平臺誤差建模分析中[3]。文獻(xiàn)[4]采用差分法對一種新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置誤差進(jìn)行分析，得到了設(shè)計(jì)變量對靈敏度的影響，獲得了這種新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的合理設(shè)計(jì)參數(shù)。文獻(xiàn)[5]采用矩陣微分法對平臺原始誤差和位姿誤差之間的關(guān)系進(jìn)行分析，得到了位姿誤差對原始誤差的敏感度，且按敏感度比例對原始誤差進(jìn)行了優(yōu)化。文獻(xiàn)[6]采用簡化矢力的方法對一種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靈敏度進(jìn)行分析，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。文獻(xiàn)[7]在對機(jī)床零部件誤差與加工精度間的關(guān)系進(jìn)行分析時，采用多體運(yùn)動學(xué)原理和坐標(biāo)變換方法對機(jī)床進(jìn)行了誤差建模。

目前，針對中子譜儀樣品臺誤差靈敏度的研究較少，而對中子譜儀樣品臺使用者和設(shè)計(jì)者來說，掌握影響樣品臺定位精度的關(guān)鍵因素至關(guān)重要，因此，本文將多體系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)理論應(yīng)用到中子譜儀樣品臺誤差建模中，建立了基于標(biāo)準(zhǔn)探針定位測量方法的樣品臺誤差模型，并對模型參數(shù)的敏感度進(jìn)行研究。

1 樣品臺結(jié)構(gòu)

圖1 樣品臺結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure of sample table

樣品臺的結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由x、y向平移運(yùn)動機(jī)構(gòu)、z向垂直升降機(jī)構(gòu)和繞z軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動機(jī)構(gòu)組成，可實(shí)現(xiàn)4個自由度的運(yùn)動。樣品臺臺體尺寸(直徑×高)約為1875 mm×(848～1398)mm，其中x、y向平移行程為±250 mm，要求定位精度為25 μm；z向平移行程為550 mm，要求定位精度為25 μm；樣品臺可繞z軸360°轉(zhuǎn)動，要求旋轉(zhuǎn)精度為0.005°。根據(jù)樣品位姿測量定位方法，從底座出發(fā)，將樣平臺的結(jié)構(gòu)分為兩個結(jié)構(gòu)環(huán)：一個是探針結(jié)構(gòu)環(huán)，即底座—旋轉(zhuǎn)平臺-z向?qū)к?y向?qū)к?x向?qū)к?基座-探針；一個是工件結(jié)構(gòu)環(huán)，即底座—旋轉(zhuǎn)平臺-z向?qū)к?y向?qū)к?x向?qū)к?基座-夾具-工件。

2 樣品測量定位方法

樣品的定位要根據(jù)衍射點(diǎn)的位置確定。如圖2所示，入射中子束和經(jīng)過樣品衍射出的中子束相交的空間區(qū)域稱為取樣體積，取樣體積的中心為衍射測量點(diǎn)的理論中心測量位置。測量時將樣品上的測量點(diǎn)移動到衍射點(diǎn)進(jìn)行測量。

圖2 取樣體積定義Fig.2 Definition of sample volume

中子束流在空間的位置和方向都是確定的，可以在測量開始時進(jìn)行標(biāo)定。首先將樣品安裝在基座上，同時在基座上安裝直徑較細(xì)(1～3 mm)的無殘余應(yīng)力探針。以探針頂點(diǎn)作為中子衍射測量的起始點(diǎn)，確定以探針頂點(diǎn)為取樣體積的測量中心和中子衍射坐標(biāo)系的相對位置關(guān)系，將基座安裝在旋轉(zhuǎn)平臺上。在測量過程中，探針頂點(diǎn)取樣體積中心的位置是所有測量的參考點(diǎn)。為便于測量和運(yùn)動控制，設(shè)計(jì)探針軸向?yàn)闃悠放_的旋轉(zhuǎn)中心，測量前需要對探針頂點(diǎn)位置和探針方位相對于地面的坐標(biāo)系進(jìn)行標(biāo)定，標(biāo)定的結(jié)果作為對樣品任意殘余應(yīng)力測量的參考坐標(biāo)系的基礎(chǔ)位置。通過移動運(yùn)動平臺實(shí)現(xiàn)樣品中任意一點(diǎn)在該測量方向上殘余應(yīng)力的測量。圖3所示為基于探針的定位測量方法。

圖3 基于標(biāo)準(zhǔn)探針的定位測量方法Fig.3 Positioning scheme based on the probe

3 定位誤差建模方法

任意兩相鄰剛體固定連接，因?yàn)榧庸ず脱b配的誤差，會在6個自由度方向產(chǎn)生誤差，稱為靜止誤差，而在每個自由度方向有相對運(yùn)動時，也會在6個自由度方向因運(yùn)動產(chǎn)生誤差，稱為運(yùn)動誤差。以x軸為例，如圖4所示，兩種運(yùn)動都會產(chǎn)生與其運(yùn)動量相關(guān)的6項(xiàng)誤差。當(dāng)沿x軸平動時，產(chǎn)生的誤差包括沿x軸方向的定位誤差Δxijsx、沿y方向直線度誤差Δyijsx、沿z方向的直線度誤差Δzijsx，以及繞x軸的旋轉(zhuǎn)角誤差Δαijsx、繞y軸方向的旋轉(zhuǎn)角誤差Δβijsx、繞z軸方向的旋轉(zhuǎn)角誤差Δγijsx。誤差量中，下標(biāo)i、j分別表示兩相鄰剛體，s表示運(yùn)動誤差，x表示沿x軸平動。

(a)平移運(yùn)動

(b)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動圖4 誤差分量示意圖Fig.4 Error component diagram

以x向?qū)к壍膯屋S平移運(yùn)動為例，計(jì)算平臺在運(yùn)動時產(chǎn)生的綜合運(yùn)動誤差特征矩陣：

ΔTijsx=ΔTijsx(R)ΔTijsx(ΔM)

(1)

式中，ΔTijsx(R)為角誤差綜合變換矩陣；ΔTijsx(ΔM)為平移誤差綜合變換矩陣。

角誤差綜合變換矩陣

(2)

平移誤差綜合變換矩陣

(3)

則沿x軸平動的運(yùn)動誤差特征矩陣

(4)

同理可得沿y、z軸移動和繞3個軸轉(zhuǎn)動時的運(yùn)動誤差特征矩陣ΔTijsy、ΔTijsz、ΔTijsα、ΔTijsβ和ΔTijsγ。依此類推，可得靜止?fàn)顟B(tài)或固定連接下的各種靜止誤差特征矩陣：

(5)

計(jì)算相鄰剛體i和j之間的位姿齊次變換矩陣：

Tij=TijpΔTijpTijsΔTijs

(6)

式中，Tijp為相鄰剛體理想固定位置特征矩陣；ΔTijp為由于靜止誤差產(chǎn)生的位置特征矩陣；Tijs為假設(shè)j在實(shí)際初始位姿基礎(chǔ)上先進(jìn)行理想運(yùn)動的理想運(yùn)動位姿特征矩陣；ΔTijs為由于實(shí)際運(yùn)動誤差產(chǎn)生的運(yùn)動誤差特征矩陣。

4 樣品臺定位誤差建模

根據(jù)第3節(jié)定位誤差建模方法，結(jié)合樣品臺實(shí)際誤差情況，定義了10項(xiàng)安裝角度誤差、8項(xiàng)安裝線性誤差、12項(xiàng)運(yùn)動角度誤差、12項(xiàng)運(yùn)動線性誤差,共42項(xiàng)幾何誤差，如表1所示。

表1 樣品臺42項(xiàng)幾何誤差參數(shù)Tab.1 Geometric error parameter of sample table

樣品臺定位誤差建模的目的是建立一個誤差模型，該模型由探針頂點(diǎn)移動至某點(diǎn)時，探針頂點(diǎn)對應(yīng)的探針坐標(biāo)系位姿與探針頂點(diǎn)對應(yīng)的工件坐標(biāo)系位姿之間的所有誤差分量組成。誤差建模中，假設(shè)平臺初始狀態(tài)下探針處于平臺中心最低點(diǎn)位置，且假設(shè)探針頂點(diǎn)與工件上的待測點(diǎn)為同一點(diǎn)。本文使用多體運(yùn)動學(xué)和齊次變換矩陣來進(jìn)行樣品臺幾何誤差建模。在樣品臺上有9個剛體，其運(yùn)動鏈如圖5所示。樣品臺底座編號為0，每個剛體都用數(shù)字編號，例如“1”表示旋轉(zhuǎn)平臺、“2”表示z向?qū)к壍?。樣品臺包括兩種結(jié)構(gòu)環(huán)：一個是從底座到工件，另一個是從底座到探針，本文分別用“工件結(jié)構(gòu)環(huán)”和“探針結(jié)構(gòu)環(huán)”表示。剛體j和相鄰低序剛體i之間的變換矩陣Tij如式(6)所示。

圖5 樣品臺的運(yùn)動鏈Fig.5 Kinematic chain of sample table

基于式(6)，在工件結(jié)構(gòu)環(huán)和探針結(jié)構(gòu)環(huán)上的剛體之間的變換矩陣T01～T87分別為

T01=T01pΔT01pT01sΔT01s=

T12=T12pΔT12pT12sΔT12s=

T34=T34pΔT34pT34sΔT34s=

T45=T45pΔT45p=

T56=T56pΔT56p=

T57=T57pΔT57p=

T78=T78pΔT78p=

式中，ai、bi、ci(i= 0，1，…，8)為各個剛體位置變換矩陣中的位置坐標(biāo)；θ1為繞z軸的旋轉(zhuǎn)角度；θ2、θ3、θ4分別為沿z、y、x平移軸的位移。

令Rw和Rp為探針頂點(diǎn)在工件坐標(biāo)系和探針坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)矢量，其表達(dá)式為

Rw=(Rwx,Rwy,Rwz)T

Rp=(Rpx,Rpy,Rpz)T

幾何誤差向量Ev=(Evx,Evy,Evz)可以通過下式求解：

式中，Evx、Evy、Evz分別為三個坐標(biāo)軸方向測量點(diǎn)處的幾何誤差。

5 定位誤差的靈敏度分析

根據(jù)第4節(jié)的定位誤差模型，對測量點(diǎn)的每個定位誤差分量進(jìn)行靈敏度分析，這樣可以掌握哪些誤差分量更重要，對樣品臺測量精度影響更大，在樣品臺設(shè)計(jì)時就需要對這些誤差分量重點(diǎn)關(guān)注。

對圖1所示的樣品臺在測量點(diǎn)處的幾何誤差進(jìn)行靈敏度分析。對每個剛體建立坐標(biāo)系；相鄰坐標(biāo)系之間的相對位置坐標(biāo)值如表2所示，誤差分量的編號如表3所示；對于42個誤差分量，每個誤差分量的靈敏度系數(shù)定義如下：

SVi=?Ev/?EiSVxi=?Evx/?Ei
SVyi=?Evy/?EiSVzi=?Evz/?Ei

式中，SVi、SVxi、SVyi、SVzi(i=1，2，…，42)分別為Ev、Evx、Evy和Evz的一個誤差分量Ei的靈敏度系數(shù)。

表2 相對位置的坐標(biāo)值Tab.2 Relative position coordinate values

表3 誤差分量的編號Tab.3 Number of error components

對誤差分量靈敏度系數(shù)進(jìn)行歸一化處理:

誤差分量歸一化后的靈敏度系數(shù)之和為1，即

設(shè)定線性誤差值均為0.1 μm，角度誤差值均為0.1×10-6rad，對誤差分量的靈敏度進(jìn)行分析。如表4所示，繞z軸旋轉(zhuǎn)角度取為φ1，x、y、z三個平移軸的位移取為φ4、φ3、φ2，探針頂點(diǎn)在工件坐標(biāo)系和探針坐標(biāo)系上的坐標(biāo)值分別取為Rw和Rp。

表4 靈敏度分析的參數(shù)值Tab.4 Parameter values for sensitivity analysis

設(shè)平臺z向?qū)к壍囊苿泳嚯x為200 mm，y向?qū)к壱苿泳嚯x為200 mm，x向?qū)к壱苿泳嚯x為200 mm，運(yùn)動平臺繞z軸轉(zhuǎn)動角度為90°，得到的靈敏度分析結(jié)果如圖6所示。

(b)Evx靈敏度分析

(c)Evy靈敏度分析

(d)Evz靈敏度分析圖6 靈敏度分析圖Fig.6 Sensitivity analysis diagram

將靈敏度系數(shù)大于0.05的誤差分量取為關(guān)鍵誤差分量，分析結(jié)果如表5所示。表5中誤差分量的順序表示各誤差分量對相應(yīng)的幾何誤差的影響程度，從左往右依次減小。由表5所示的結(jié)果可以看出，角度誤差比線性誤差對幾何誤差Ev、Evx和Evz的影響更大，其中，運(yùn)動角度誤差的橫滾(Δγ12z、Δα34x、Δβ23y)、俯仰(Δα23y、Δβ34x等)和偏擺(Δγ34x、Δγ23y等)誤差比安裝角度誤差(Δβ34、Δγ45等)對幾何誤差Ev、Evx、Evy和Evz的影響更大。此外，橫滾誤差Δγ12z和偏擺誤差Δγ34x對Ev和Evz影響最大，俯仰誤差Δα23y、Δβ34x和橫滾誤差Δα34x、Δβ34y分別對Evx和Evy影響最大。表5所示結(jié)果還表明Ev和Evz有相同的誤差分量。

表5 對幾何誤差有影響的關(guān)鍵誤差分量Tab.5 Key error components

6 結(jié)論

本文利用多體運(yùn)動學(xué)和齊次變換矩陣建立了基于標(biāo)準(zhǔn)探針定位測量方法的中子譜儀樣品臺誤差模型，并對模型參數(shù)的敏感度進(jìn)行了分析。分別對42個誤差分量的幾何誤差進(jìn)行了靈敏度分析。分析結(jié)果表明，線性誤差的靈敏度很小，相比角度誤差可以忽略不計(jì)，而在角度誤差靈敏度中，運(yùn)動角度誤差的靈敏度比安裝角度誤差的靈敏度大。靈敏度分析的結(jié)果可用于中子譜儀樣品臺的精密設(shè)計(jì)與制造，即在樣品臺設(shè)計(jì)與制造過程中，關(guān)鍵誤差分量應(yīng)得到更多的關(guān)注。研究結(jié)果為后續(xù)樣品臺的改進(jìn)、控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了參考。

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(編輯袁興玲)

GeometricalErrorModelingandSensitivityAnalysisofaNeutronSpectrometerSampleTable

LI Yang1,2,3WU Yunxin1,2,3GONG Hai1,2,3LIU Lei1,2,3

1.College of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha，410083 2.State Key Laboratory of High Performance Complex Manufacturing, Changsha，410083 3.Nonferrous Metal Oriented Advanced Structural Materials and Manufacturing Cooperative Innovation Center, Central South University, Changsha，410083

TH122

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.19.006

2016-11-23

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51327902)；高性能復(fù)雜制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室自主研究課題資助項(xiàng)目(2014bcxjj06)

李楊，男，1982年生。中南大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院博士研究生。研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)及理論。吳運(yùn)新(通信作者)，男，1963年生。中南大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。龔海，男，1982年生。中南大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院講師、博士。劉磊，男，1990年生。中南大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院博士研究生。