沈惠平 邵國為 鄧嘉鳴 孟慶梅 楊廷力

常州大學(xué)現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心，常州，213016

一種新型低耦合度非全對稱三平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)械手及其運動學(xué)分析

沈惠平 邵國為 鄧嘉鳴 孟慶梅 楊廷力

常州大學(xué)現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心，常州，213016

根據(jù)基于方位特征(POC)方程的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計理論和方法，分析了一種可實現(xiàn)三平移一轉(zhuǎn)動輸出運動的新型低耦合度的非全對稱四自由度并聯(lián)機(jī)械手2-RPaRSS，并完成其運動學(xué)建模與分析。首先，分析計算出該機(jī)構(gòu)的耦合度(κ=1)，給出了基于序單開鏈(SOC)的機(jī)構(gòu)位置正解的建模方法及其數(shù)值解；其次，通過導(dǎo)出機(jī)構(gòu)位置反解及算例，驗證了正反解求解的正確性；再次，分析了該機(jī)構(gòu)位置工作空間的形狀大小及工作空間Z向各截面形狀；然后，對機(jī)構(gòu)的奇異位形進(jìn)行了分析，得到其發(fā)生三類奇異的條件；最后，設(shè)計了該機(jī)械手樣機(jī)的三維CAD模型。研究結(jié)果表明，2-RPaRSS機(jī)械手比H4、I4R、Cross-Ⅳ結(jié)構(gòu)簡單，且具有更大的工作空間和更好的動平臺轉(zhuǎn)動能力。

非全對稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)；方位特征方程；耦合度；三平移一轉(zhuǎn)動；正向位置

Abstract:By using topological structure synthesis theory and method based on POC equation，a novel 4-DOF 3T1R not-fully-symmetrical PM 2-RPaRSS with low coupling degrees was presented．Firstly，the coupling degree of the PM was calculated(κ=1).The modeling method and the numerical solutions for forward position kinematics of the PM were established based on ordered single-open-chain (SOC) units. Then the correctness of the forward solutions was verified by the inverse solutions and a numerical example. Furthermore，the total shape and size as well asZ-section shape of the workspace of the PM were analyzed. Further，the singularity of the PM was also analyzed，and three kinds of singular conditions were obtained. Lastly，the 3D model for the prototype of the manipulator was designed. This work shows that 2-RPaRSS manipulator is simple in structure and the workspace and the rotation ability of moving platform of the PM is larger than that of H4, I4R and Cross-Ⅳ.

Keywords:not-fully-symmetrical parallel manipulator(PM)；position and orientation characteristic(POC) equation；coupling degree；three-translation and one rotation(3T1R); forward position solution

0 引言

四自由度的三平移一轉(zhuǎn)動(3T1R)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)運動學(xué)和動力學(xué)分析比三自由度的Delta機(jī)構(gòu)[1-2]要復(fù)雜得多，但有著廣泛的應(yīng)用前景。

在3T1R機(jī)構(gòu)的型綜合方面，研究人員已提出一類可實現(xiàn)三平移動一轉(zhuǎn)動的四自由度并聯(lián)機(jī)器人，如H4[3]、I4L[4]、I4R[5]、Par4[6]、Heli4[7]。其中，H4、I4R機(jī)械手的動平臺都包含齒輪(條)裝置以放大輸出平臺的轉(zhuǎn)動能力，實際上有3個運動部件，這使得動平臺整體尺寸較大，不適于高速運動。由Adept公司生產(chǎn)的 QuattroTMs650H型并聯(lián)機(jī)器人的4條支鏈結(jié)構(gòu)與I4R型一致，適于高速、高加速度的應(yīng)用場合，但其正向運動學(xué)分析較為復(fù)雜[8]。KONG等[9]基于螺旋理論，通過構(gòu)建可產(chǎn)生3T1R運動的運動支鏈，綜合出了一組具有相同支鏈的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。羅玉峰等[10]、金瓊等[11]以單開鏈(single-open-chian,SOC)為單元，分別提出了輸出運動為3T1R的一些并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)構(gòu)型。文獻(xiàn)[12-13]分別提出了一種具有4個相同支鏈的X4及3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)。GOGU[14]基于線性變換理論與進(jìn)化形態(tài)學(xué)，提出了一組具有完全各向同性的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。上述3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的耦合度均較大,為κ=2，其位置正解求解十分困難，影響實時控制和誤差分析；同時，這些機(jī)構(gòu)還不具有輸入-輸出(I-O)運動解耦性，不便于運動規(guī)劃和控制。

在運動學(xué)及性能層面，SALGADO等[15]基于位移群理論，綜合出一種新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，給出了該機(jī)構(gòu)的位置正反解，并對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行了奇異位形分析。ANCUTA等[16]提出了一種可實現(xiàn)Sch?nflies運動的新型λ-四滑塊并聯(lián)機(jī)構(gòu)，又基于Newton-Raphson 法，給出了該機(jī)構(gòu)的位置正反解，以及機(jī)構(gòu)奇異位形與工作空間分析；RICHARD等[17]對一種部分解耦的四自由度3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運動學(xué)分析；王進(jìn)戈等[18]基于Groebne算法和計算機(jī)符號處理技術(shù)，推導(dǎo)了3-RPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的基于數(shù)字-符號描述的雅可比矩陣和奇異位形判別的解析表達(dá)式。

根據(jù)基于POC方程的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計理論和方法[19]，筆者所在團(tuán)隊綜合出了一組四自由度的三平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)[20-23]，其中，一個低耦合度(κ=1)的非全對稱雙平臺并聯(lián)機(jī)械手2-RPaRSS是由該方法獨立提出的，盡管從結(jié)構(gòu)上看，有點像PIERROT等[3]提出的H4機(jī)器人的改進(jìn)機(jī)型。該機(jī)械手僅由2條分別包含4S的平行四邊形復(fù)雜支鏈和2條無約束S-S-R支鏈組成，比H4機(jī)構(gòu)(H4由4條含4S的平行四邊形復(fù)雜支鏈構(gòu)成)支鏈結(jié)構(gòu)更為簡單、制造裝配更為容易。

本文對2-RPaRSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)及其運動學(xué)進(jìn)行分析。

1 機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)分析

1.1 機(jī)構(gòu)描述

本文的機(jī)械手機(jī)構(gòu)由動平臺1、靜平臺0、兩條RSS型無約束支鏈，以及一條三平移輸出的混合支鏈組成[20]，如圖1所示，而混合支鏈又由包含2條分別含有4個球副(Sa、Sb、Sc、Sd)的平行四邊形子支鏈組成，該機(jī)構(gòu)簡稱2-RPaRSS機(jī)構(gòu)(下劃線為驅(qū)動副)，其中，構(gòu)件2可視作子動平臺2。該機(jī)構(gòu)與全對稱的H4、I4、X4等機(jī)構(gòu)相比，結(jié)構(gòu)上為非全對稱。所謂全對稱性并聯(lián)機(jī)構(gòu)，是指支鏈的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)完全相同，且在動靜平臺之間為完全對稱布置；除此之外的機(jī)構(gòu)，均可視為非全對稱并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

圖1 2-RPaRSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)及位置求解模型Fig.1 2-RPaRSS PM and its kinematic model

裝配時，為使球副Sa、Sb、Sc、Sd的球心構(gòu)成平行四邊形，須在平行四邊形中配置一桿帶兩轉(zhuǎn)動副(Ra、Rb)的結(jié)構(gòu)(其長度等于其短邊長度)；動平臺1上的轉(zhuǎn)動副R3的軸線須平行于動平臺1平面的法線；靜平臺0上的4個主動副R11、R21、R31及R41，分別位于各邊中點，且R11的軸線垂直于R21的軸線、R31的軸線垂直于R41的軸線，動平臺1可實現(xiàn)三平移以及1個繞R3的轉(zhuǎn)動輸出。

1.2 機(jī)構(gòu)耦合度κ的計算

1.2.1基本理論

由文獻(xiàn)[19]可知，一個機(jī)構(gòu)可以分解為若干個基本運動鏈(basic kinematic chain，BKC)， BKC是指DOF為零且其任意一個子運動鏈DOF大于零的最小運動鏈，而一個BKC又可分解為若干個單開鏈，第j個單開鏈SOCj的約束度定義為

(1)

式中，mj為第j個SOCj的運動副數(shù);fi為第i個運動副的自由度(不含局部自由度);Ij為第j個SOCj的驅(qū)動副數(shù);ξLj為第j個回路的獨立位移方程數(shù)。

對一個BKC而言，須滿足

因此，其耦合度

(2)

κ的物理意義如下：κ揭示了機(jī)構(gòu)基本回路(位置)變量之間的關(guān)聯(lián)、依賴程度；κ值越大，機(jī)構(gòu)的耦合性越強，復(fù)雜度越高。

1.2.2確定各獨立回路及其約束度Δ

(1)由支鏈Ⅲ、Ⅳ構(gòu)成的三平移混合支鏈HSOC1為第1個獨立回路，即

HSOC1{R31‖R(4S)-P(4S)-R(4S)-R(4S)-P(4S)-R(4S)‖R41}

式中，上標(biāo)4S表示4個球副S，如P(4S)表示由4個球副Sa、Sb、Sc、Sd構(gòu)成的平行四邊形產(chǎn)生的平移。

由式(1)有

(2)由轉(zhuǎn)動副R3、支鏈Ⅰ構(gòu)成第2個獨立回路SOC2，即

SOC2{-R11-S12-S13-R3-}

則由式(1)有

(3)第3個獨立回路SOC3僅由支鏈Ⅱ構(gòu)成，即

SOC3{-S23-S22-R21-}

由式(1)有

1.2.3耦合度計算

由式(2)可得

該機(jī)構(gòu)只包含一個BKC，其耦合度為1，因此，可用一維搜索求出全部數(shù)值解[24]。

2 位置分析

2.1 位置正解分析

2.1.1坐標(biāo)系的建立及符號標(biāo)注

該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解問題可描述為：已知驅(qū)動臂輸入轉(zhuǎn)角α1、β1、γ1、δ1，求動平臺1的位置(x,y,z)和轉(zhuǎn)角γ的值。

如圖1所示，靜坐標(biāo)系OXYZ的原點在靜平臺0的幾何中心，X軸與R11、R31(R11、R31表示R11、R31的中心點，其他類推)連線重合，Y軸與R21R41連線重合，Z軸由右手法則確定；動坐標(biāo)系O′X′Y′Z′原點位于動平臺1的斜邊S13S23連線中點，X′軸平行于S13R3連線，Y′軸平行于S23R3連線，Z′軸由右手法則確定。

為理解方便，將圖1機(jī)構(gòu)展開為平面圖，如圖2所示，設(shè)靜平臺0為矩形，長和寬分別為2a、2b；動平臺1設(shè)為等腰直角三角形，直角邊長為2m2。

圖2 低耦合度2-RPaRSS機(jī)構(gòu)的俯視展開圖Fig.2 Top view of 2-RPaRSS

動平臺1繞轉(zhuǎn)動副R3的轉(zhuǎn)角為動平臺1的輸出姿態(tài)角γ，用R3O′的連線與靜坐標(biāo)系OX軸的夾角表示，且以逆時針方向為正值。

支鏈Ⅲ、支鏈Ⅳ的主動輸入角分別為α1、β1，如圖1、圖3所示，逆時針方向角度為正值；平行四邊形平面與底面夾角分別為α2、β2，而其內(nèi)擺角分別為α3、β3，角度逆時針方向為正值。

(a)支鏈Ⅲ (b)支鏈Ⅳ 圖3 2-RPaRSS機(jī)構(gòu)Ⅲ、Ⅳ支鏈計算模型Fig.3 Computational model for chain Ⅲ and Ⅳ of 2-RPaRSS

支鏈Ⅰ、支鏈Ⅱ的主動輸入角分別為γ1、δ1，連桿S13S12、S23S22在空間的位置分別用其與靜坐標(biāo)系的3根軸的夾角表示，即分別用γ2、γ3、γ4以及γ5、γ6、γ7表示，如圖4所示。

(a)支鏈Ⅰ (b)支鏈Ⅱ圖4 2-RPaRSS機(jī)構(gòu)支鏈Ⅰ、支鏈Ⅱ計算模型Fig.4 Computational model for chain Ⅰ and Ⅱ of 2-RPaRSS

2.1.2基于序SOC的機(jī)構(gòu)位置正解求解原理及算法

由式(1)可知，單開鏈的約束度有正值、零、負(fù)值三種形式，其物理意義如下：

根據(jù)上述求解原理，進(jìn)一步給出該機(jī)構(gòu)基于序SOC的位置正解的求解算法。

S22S23=lb1

(3)

2.1.3基于SOC的位置建模分析

2.1.3.1 在約束度為正的HSOC1上建模

根據(jù)HSOC1中的支鏈Ⅲ、支鏈Ⅳ，分別得動坐標(biāo)系原點O′坐標(biāo)，即由

可得

(4)

(5)

式中，s、c分別表示sin、cos。

由式(4)、式(5)可得

為消除β3，令

k1=tanα2/2

(6)

進(jìn)一步化簡有

其中

解得

(7)

2.1.3.2 在約束度為零的SOC2上建模

易得S12點的坐標(biāo)

(8)

同理，S13點的坐標(biāo)為

(9)

進(jìn)一步，由桿長約束S12S13=lb1，有

A1sinγ+B1cosγ+C1=0

A1=-4m2[lbcosα3+(l/2)sinφ]

B1=-4m2[2a-lacosα1-lbsinα3cosα2-
(l/2)cosφ+la1cosγ1]

令k2=tan(γ/2)，解得

(10)

2.1.3.3 在約束度為負(fù)的SOC3上建模

由支鏈Ⅱ，S22點坐標(biāo)

(11)

同理，S23點的坐標(biāo)

(12)

進(jìn)一步，由桿長約束S22S23=lb1，建立其位置相容方程，即

(13)

為理解方便，上述各運動副的位置求解過程可表述為圖5所示的流程。

圖5 2-RPaRSS機(jī)構(gòu)位置正解求解的流程示意Fig.5 Workflow of forward solution of 2-RPaRSS

2.2 位置反解分析

該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的反解問題可描述為：已知動平臺的位置(x,y,z)與轉(zhuǎn)角γ，求驅(qū)動臂輸入轉(zhuǎn)角α1、β1、γ1、δ1。

(1)由式(4)得

(14)

(15)

z=lasinα1+lbsinα3sinα2+q1

(16)

由式(15)可得

由式(14)、式(16)得

令

則

p4+p5cosα1+p6sinα1=0

令ta=tan(α1/2)，解得

(17)

由式(17)可直接求出驅(qū)動副R31的輸入轉(zhuǎn)角α1,此時α1有兩個解，可根據(jù)輸入變量的連續(xù)變化規(guī)則確定唯一的輸入轉(zhuǎn)角。

(2)由式(5)可得

(18)

(19)

z=lasinβ1+lbsinβ3sinβ2+q1

(20)

由式(18)得

由式(19)及式(20)，且令

則

(p7+lacosβ1)2+(p2-lasinβ1)2=p8

又令

則

p9+p10cosβ1+p11sinβ1=0

令tb=tan(β1/2)，解得

(21)

同樣，根據(jù)式(21)可直接求出驅(qū)動副R41的輸入轉(zhuǎn)角β1。

(3)由支鏈Ⅰ的桿長約束S12S13=lb1，且令

則

p14+p15cosγ1+p16sinγ1=0

令tc=tan(γ1/2)，解得

(22)

根據(jù)式(22)可直接求出驅(qū)動副R11的輸入轉(zhuǎn)角γ1。

(4)由支鏈Ⅱ的桿長約束S22S23=lb1，及式(11)、式(12)，且令

則

p19+p20cosδ1+p21sinδ1=0

令td=tan(δ1/2)，解得

(23)

由式(23)可直接求出驅(qū)動副R21的輸入轉(zhuǎn)角δ1。

2.3 實例驗算

2.3.1正解算例

因2-RPaRSS機(jī)構(gòu)與H4(I4R)均含有平行四邊形的復(fù)雜支鏈，為便于性能比較，取與H4(I4R)平行四邊形支鏈相同的尺寸參數(shù)，即la=375 mm，lb=800 mm，la1=375 mm，lb1=880 mm，a=400 mm,b=400 mm，m2=200 mm。其他參數(shù)為：l=350 mm，q1=40 mm，φ=45°。設(shè)兩組輸入角數(shù)據(jù)：①α1=112.5°，β1=94.2°，γ1=146.4°，δ1=168.2°；②α1=93.7°，β1=112.7°，γ1=142.7°，δ1=128.9°。

表1 2-RPaRSS機(jī)構(gòu)的位姿正解數(shù)值

2.3.2逆解算例

3 工作空間及動平臺轉(zhuǎn)動能力

3.1 工作空間分析方法

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間為考慮運動副轉(zhuǎn)角范圍和構(gòu)件無干涉下末端執(zhí)行器的工作區(qū)域，其大小是衡量并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能的一個重要指標(biāo)。本文采用極限邊界搜索法來分析該并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的工作空間[25]，即考慮機(jī)構(gòu)構(gòu)件不干涉時運動副轉(zhuǎn)角的范圍，預(yù)先設(shè)定該機(jī)構(gòu)工作空間的Z向高度范圍，通過改變搜索半徑ρ以及搜索角度θ來找到工作空間的邊界。為此設(shè)400 mm≤Z≤1200 mm，且ΔZ=10 mm；-π≤θ≤π；0≤ρ≤1000 mm，輸入角α1、β1、γ1、δ1的取值范圍為[0,π]。

3.2 工作空間分析結(jié)果

運用MATLAB軟件編程，得到該2-RPaRSS并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的三維立體圖(圖6),及其各XY截面圖(圖7)。

圖6 2-RPaRSS機(jī)構(gòu)工作空間的三維立體圖Fig.6 Three dimensional diagram of workspace of the 2-RPaRSS

(a)Z=550 mm (b)Z=700 mm

(c)Z=850 mm (d)Z=1000 mm圖7 2-RPaRSS機(jī)構(gòu)工作空間XY截面圖Fig.7 XY section of workspace of 2-RPaRSS

從圖7可以看出：

(1)當(dāng)Z∈[550,1000]mm時，該機(jī)構(gòu)工作空間的XY截面圖關(guān)于T-T直線基本對稱。

(2)當(dāng)400 mm≤Z≤550 mm時，工作空間內(nèi)部有空洞(圖7未給出)；隨著Z值的增大，空洞消失，不同高度Z的工作空間的XY截面為規(guī)則圖形，但截面面積會逐漸減小。

(3)在相同參數(shù)及搜索條件下，該機(jī)構(gòu)工作空間比I4R(H4)、CrossⅣ-3[8]的工作空間大，取文獻(xiàn)[26]所述機(jī)構(gòu)的相應(yīng)參數(shù)，給定相同的搜索范圍:0≤ρ≤1000 mm，500 mm≤Z≤1150 mm，計算出I4R的工作空間體積為6.1668×108mm3,而2-RPaRSS機(jī)構(gòu)的工作空間體積為7.0070×108mm3，因此，2-RPaRSS機(jī)構(gòu)工作空間比I4R機(jī)構(gòu)工作空間增大了13.6%。取文獻(xiàn)[8]所述機(jī)構(gòu)的相應(yīng)參數(shù)，CrossⅣ-3的工作空間體積為4.4274×108mm3，而2-RPaRSS機(jī)構(gòu)的工作空間體積為4.6464×108mm3，因此，2-RPaRSS機(jī)構(gòu)工作空間比CrossⅣ-3機(jī)構(gòu)工作空間增大了4.95%。

3.3 動平臺轉(zhuǎn)動能力

動平臺轉(zhuǎn)動能力[12]即為末端執(zhí)行器在工作區(qū)域內(nèi)的轉(zhuǎn)角范圍，其大小是衡量并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出轉(zhuǎn)動靈活性能的又一個重要指標(biāo)。本文同樣采用極限邊界搜索法，根據(jù)上述一組反解公式，通過一固定高度Z處的XY截面來分析該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動能力，即通過改變搜索半徑ρ以及搜索角度θ，找到動平臺在此XY截面內(nèi)的轉(zhuǎn)角γ的范圍。

在無空洞存在的[550,1000]mm范圍內(nèi)，取任一Z向XY截面，即可分析出動平臺轉(zhuǎn)動能力。例如，取Z=1000 mm，2-RPaRSS機(jī)構(gòu)的Z向XY截面的動平臺轉(zhuǎn)動能力如圖8、圖9所示；而在同樣的XY截面上，H4的轉(zhuǎn)動能力如圖10、圖11所示。

圖8 該機(jī)構(gòu)在Z=1000 mm時的γmax分布Fig.8 Distribution of γmax of 2-RPaRSS when Z=1000 mm

圖9 該機(jī)構(gòu)在Z=1000 mm時的γmin分布Fig.9 Distribution of γmin of 2-RPaRSS when Z=1000 mm

圖10 H4在Z=1000 mm時的γmax分布Fig.10 Distribution of γmax of H4 when Z=1000 mm

圖11 H4在Z=1000 mm時的γmin分布Fig.11 Distribution of γmin of H4 when Z=1000 mm

從圖8～圖11可以看出：

(1)2-RPaRSS機(jī)構(gòu)在XY平面的轉(zhuǎn)動能力為-140°≤γ≤160°,而H4的轉(zhuǎn)動能力為-110°≤γ≤120°。由此可知，該機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)角比H4的γmin(左極限角)增加了30°，比其γmax(右極限角)增加了40°，因而整體增加了30.43%，即

(2)轉(zhuǎn)角增大的具體數(shù)值不同。如：當(dāng)任取工作空間內(nèi)一點A(-100，-237，1000)mm時，即X=-100 mm，Y=-237 mm，Z=1000 mm時，H4機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動角度為γmin=-14°(靠近但小于-10°)、γmax=40°；而2-RPaRSS機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動角度γmin=-80°、γmax=58°(靠近但小于60°)，易知該機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動能力比H4的γmax(右極限角)大18°，比其γmin(左極限角)大64°，即該機(jī)構(gòu)動平臺本身可獲得較大的轉(zhuǎn)角范圍，無需特殊的轉(zhuǎn)角放大裝置。

用同樣的方法，可分析工作空間內(nèi)任一點的動平臺轉(zhuǎn)動能力。

4 奇異位形分析

4.1 奇異位形概述

機(jī)構(gòu)處于奇異位形時，會失去控制。由于奇異性是每個機(jī)構(gòu)固有的運動特性，因此，在設(shè)計和實際使用并聯(lián)機(jī)構(gòu)時，須避開奇異位形。

本文采用Jacobian代數(shù)法[27]:首先，求解得到機(jī)構(gòu)的Jacobian矩陣；然后，令該矩陣行列式的值為零，此時，機(jī)構(gòu)發(fā)生奇異；進(jìn)一步，按照J(rèn)acobian 矩陣的奇異性，將奇異分為第一類奇異、第二類奇異及第三類奇異。

4.2 奇異位形分析的方法

Jpv=Jqω

(24)

f11=-sinα3cosα2f12=cosα3f13=sinα3sinα2

f21=cosβ3f22=-sinβ3cosβ2f23=sinβ3sinβ2

f31=2cosγ2f32=2cosγ3f33=2cosγ4

f41=2cosγ5f42=2cosγ6f43=2cosγ7

u11=-sinα3cosα2sinα1+sinα3sinα2cosα1

u22=-sinβ3cosβ2sinβ1+sinβ3sinβ2cosβ1

u33=-2cosγ2sinγ1-2cosγ4cosγ1

u44=-2cosγ6sinγ1-2cosγ7cosγ1

令det(Jq)=0,可得Jq的行列式解的集合：

A=A1∪A2∪A3∪A4

A1={α1-α2=0或α1-α2=π}

(25)

A2={β1-β2=0或β1-β2=π}

(26)

A3={cosγ2sinγ1+cosγ4cosγ1=0}

(27)

A4={cosγ6sinγ1+cosγ7cosγ1=0}

(28)

4.3 奇異位形分析結(jié)果

(1)第一類奇異。當(dāng)det(Jq)=0時，發(fā)生第一類奇異。對應(yīng)的位形是運動鏈到達(dá)工作空間的邊界或工作空間的不同子區(qū)間的內(nèi)部邊界，在此位形下，輸出件失去一個或多個自由度，對應(yīng)于輸出桿在死點位置。對該機(jī)構(gòu)而言，滿足式(25)～式(28)中的任意一式即發(fā)生該類奇異，即任一支鏈的輸入桿與輸出桿成一直線時，發(fā)生第一類奇異。圖12為第一類奇異中的一種形式及第一類奇異曲面圖(機(jī)構(gòu)發(fā)生奇異時，動平臺基點所形成的曲面)。

圖12 第一類奇異位形及其曲面圖Fig.12 The first kind of singular configuration

(2)第二類奇異。當(dāng)det(Jp)=0時，發(fā)生第二類奇異。此時對應(yīng)的位形是，當(dāng)鎖定全部的主動件時，動平臺仍可以運動。它發(fā)生在工作空間的內(nèi)部，在這種位形下，輸出桿獲得一個或多個自由度，此時，輸出桿件不能平衡一個或多個力和力矩，對應(yīng)的是輸入桿處于死點位置。圖13為輸出桿處于垂直狀態(tài)時的奇異位形及其奇異位形曲面圖。

圖13 第二類奇異位形及其奇異曲面圖Fig.13 The second kind of singular configuration

(3)第三類奇異。此類奇異位形與機(jī)構(gòu)的位置、姿態(tài)無關(guān)，完全取決于機(jī)構(gòu)的構(gòu)型、連桿參數(shù)，此時Jp與Jq同時奇異，機(jī)構(gòu)的驅(qū)動關(guān)節(jié)和末端執(zhí)行器都存在著瞬時的互不影響的非零輸入和輸出，如圖14所示。

圖14 第三類奇異位形圖Fig.14 The third kind of singular configuration

5 樣機(jī)的CAD建模

2-RPaRSS機(jī)械手的虛擬樣機(jī)設(shè)計如圖15所示，它包含靜平臺0、動平臺1、子動平臺2、RSS 支鏈3和復(fù)雜支鏈4，以及標(biāo)準(zhǔn)驅(qū)動系統(tǒng)5，共六大部件，可分別建立它們的CAD模型單元。

0.平臺 1.動平臺 2.子動平臺 3.RSS支鏈 4.復(fù)雜支鏈 5.標(biāo)準(zhǔn)驅(qū)動系統(tǒng)圖15 2-RPaRSS并聯(lián)機(jī)械手的CAD圖Fig.15 CAD model of 2-RPaRSS mechanism

5.1 支鏈設(shè)計

支鏈?zhǔn)遣⒙?lián)機(jī)械手傳遞運動、承受載荷的重要單元，支鏈的結(jié)構(gòu)設(shè)計須在滿足剛度和強度的前提下，盡量減小其質(zhì)量。為此，4條支鏈中的主動臂均采用材質(zhì)為鋁材7075的工字形結(jié)構(gòu)，該型材具有密度小、強度高、耐腐蝕性好、易加工等特點；從動臂均選用具有質(zhì)地輕、強度高以及抗拉性高等特點的碳纖維管，其支鏈結(jié)構(gòu)如圖16所示。

(a)機(jī)構(gòu)RSS支鏈 (b)機(jī)構(gòu)復(fù)雜支鏈圖16 2-RPaRSS機(jī)械手的支鏈結(jié)構(gòu)圖Fig.16 Structural chain of 2-RPaRSS mechanism

5.2 動靜平臺的設(shè)計

動平臺1與子動平臺2相互平行，分別連接相對應(yīng)的RSS支鏈、復(fù)雜支鏈從動臂一端的球關(guān)節(jié)，并通過旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)連接，組成雙動平臺結(jié)構(gòu)，其中，旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)通過密封角接觸軸承安裝連接，可使末端執(zhí)行器實現(xiàn)繞垂直方向的旋轉(zhuǎn)運動。

靜平臺0由圓形的鋼質(zhì)底座上固定安裝4塊結(jié)構(gòu)相同的電機(jī)安裝板組成，4個伺服電機(jī)對稱地安裝于4塊電機(jī)安裝板上，為了避免主動臂與電機(jī)安裝支架發(fā)生碰撞受到損壞，在電機(jī)安裝板上開一個U形槽，其結(jié)構(gòu)如圖17所示。

圖17 靜平臺CAD結(jié)構(gòu)圖Fig.17 CAD model of the static platform

6 結(jié)論

(1)提出了一種低耦合度的非全對稱四自由度并聯(lián)機(jī)械手2-RPaRSS，結(jié)構(gòu)比H4、I4R機(jī)構(gòu)簡單，制造裝配更為容易。

(2)計算出該機(jī)構(gòu)的耦合度κ=1，給出基于序SOC的機(jī)構(gòu)位置正解建模算法，即建立一個僅含一個變量的桿長相容性方程，用一維搜索求解得到其全部正解數(shù)值解，并導(dǎo)出機(jī)構(gòu)位置反解解析式。

(3)基于機(jī)構(gòu)位置反解，求解了其雅可比矩陣，計算分析了機(jī)構(gòu)的工作空間性能和轉(zhuǎn)動能力，結(jié)果表明：在一組等效相同的尺寸參數(shù)下，2-RPaRSS機(jī)構(gòu)工作空間比I4R(H4)、CrossⅣ-3機(jī)構(gòu)工作空間分別增大13.6%、4.95%，其動平臺轉(zhuǎn)角比H4的轉(zhuǎn)角增加了30.43%。同時，分析了該機(jī)構(gòu)的奇異位形。

(4)2-RPaRSS并聯(lián)機(jī)械手具有較好開發(fā)價值。本文工作為后續(xù)的該并聯(lián)機(jī)械手的尺度綜合與優(yōu)化、樣機(jī)設(shè)計、控制及動力學(xué)分析提供了參考。

[1] BOURI M, CLAVEL R. The Linear Delta: Developments and Applications[C]// Robotics(ISR)，2010 41st International Symposium on and 2010 6th German Conference on Robotics. Munich,2010:1-8.

[2] REY L, CLAVEL R. The Delta Parallel Robot[M]// London：Parallel Kinematic Machines,1999:401-417.

[3] PIERROT F, COMPANY O. H4: a New Family of 4-DOF Parallel Robots[C]// IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics. Altlanta,1999:508-513.

[4] KRUT S, COMPANY O, BENOIT M, et al. I4: a New Parallel Mechanism for Scara Motions [C]// IEEE International Conference on Robotics & Automation. Taipei,2008:1875-1880.

[5] KRUT S, NABAT V, COMPANY O, et al. A High-speed Parallel Robot for Scara Motions [C]// IEEE International Conference on Robotics & Automation. New Orleans, LA,2004:4109-4115.

[6] NABAT V, RODRIGUEZ M D L O, COMPANY O, et al. Par4: Very High Speed Parallel Robot for Pick-and-place[C]// IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems. Edmonton,2005:553-558.

[7] LüDINGHAUSEN M V, MIURA M, WüRZLER N. Heli4: a Parallel Robot for Scara Motions with a Very Compact Traveling Plate and a Symmetrical Design[C]// Intelligent Robots and Systems, 2006 IEEE/RSJ International Conference on. Beijing,2006:1656-1661.

[8] 李玉航，梅江平，劉松濤,等. 一種新型4自由度高速并聯(lián)機(jī)械手動力尺度綜合[J]. 機(jī)械工程學(xué)報，2014,50(19):32-40. LI Yuhang, MEI Jiangping, LIU Songtao, et al. Dynamic Dimensional Synthesis of a 4-DOF High-speed Parallel Manipulator[J]. Journal of Mechanical Engineering,2014,50(19):32-40.

[9] KONG Xianwen，GOSSELIN C M. Type Synthesis of 3T1R 4-DOF Parallel Manipulators Based on Screw Theory[J]. IEEE Transactions on, Robotics and Automation，2005,22(10)：535-547.

[10] 羅玉峰，劉卓，石志新,等. 三平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合及分類[J]. 機(jī)械設(shè)計與研究，2010，26(5):40-43. LUO Yufeng, Liu Zhuo, Shi Zhixin, et al. Structural Synthesis and Classification of 3-translational and 1-rotation Parallel Manipulator[J].Journal of Machine Design and Research,2010,26(5):40-43.

[11] 金瓊，楊廷力，劉安心,等. 基于單開鏈單元的三平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)型綜合及分類[J]. 中國機(jī)械工程，2001,12(9):1038-1043. JIN Qiong, YANG Tingli, LIU Anxin, et al. Structural Synthesis and Classification of the 4-DOF(3T-1R) Parallel Robot Mechanisms Based on the Units of Single-opened-chain[J].China Mechanical Engineering，2001,12(9):1038-1043.

[12] XIE Fugui，LIU Xinjun. Design and Development of a High-speed and High-rotation Robot with Four Identical Arms and a Single Platform[J]. Journal of Mechanisms & Robotics，2015，7(4):041015.1-12.

[13] LI Zhibin，LOU Yunjiang，ZHANG Yongsheng，et al.Type Synthesis，Kinematic Analysis，and Optimal Design of a Novel Class of Sch?nflies-motion Parallel Manipulators[J]. IEEE Transactions on Automation Science & Engineering，2013,10(3):674-686.

[14] GOGU G. Structural Synthesis of Fully-isotropic Parallel Robots with Sch?nflies Motions Via Theory of Linear Transformations and Evolutionary Morphology[J]. European Journal of Mechanics-A/Solids，2007，26(2):242-269.

[15] SALGADO O, ALTUZARRA O, PETUYA V, et al. Synthesis and Design of a Novel 3T1R Fully-parallel Manipulator[J]. Journal of Mechanical Design,2008,130(4):137-139.

[16] ANCUTA A, COMPANY O, PIERROT F. Design of Lambda-quadriglide: a New 4-DOF Parallel Kinematics Mechanism for Sch?nflies Motion[C]// ASME 2010 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference. Montreal, Quebec,2010:1131-1140．

[17] RICHARD P L,GOSSELIN C M, KONG Xianwen. Kinematic Analysis and Prototyping of a Partially Decoupled 4-DOF 3T1R Parallel Manipulator [J]. Journal of Mechanical Design,2006，129(6):611-616.

[18] 王進(jìn)戈,范麗華,徐禮鉅. 3-RPS并聯(lián)平臺機(jī)構(gòu)的位置正解與奇異構(gòu)形分析的數(shù)值-符號解[J]. 機(jī)械設(shè)計,2005,22(5):15-19. WANG Jinge, FAN Lihua, XU Liju.Positional Forward Solution and Numeric-symbolic Solution of Singular Configuration Analysis for 3-RPS Parallel Platform Mechanism[J].Journal of Machine Design,2005,22(5):15-19.

[19] 楊廷力，劉安心，羅玉峰，等. 機(jī)器人機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計[M]. 北京：科學(xué)出版社，2012. YANG Tingli，LIU Anxin， LUO Yufeng，et al. Theory and Application of Robot Mechanism Topology[M]. Beijing: Sicence Press,2012.

[20] 沈惠平，楊廷力，朱小蓉，等，一種三平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)器人：中國，201510564382.5[P]．2015-09-08. SHEN Huiping，YANG Tingli，ZHU Xiaorong，et al．A Parallel Mechanism with Three Translations and One Rotation：China，201510564382.5[P]．2015-09-08.

[21] 沈惠平，楊廷力，李云峰，等，一種三平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)器人抓放器：中國，201510648948.2[P]．2015-10-09. SHEN Huiping，YANG Tingli，LI Yunfeng，et al. A Parallel Robot Picker with Three Translations and One Rotation：China，201510648948.2[P]．2015-10-09.

[22] 沈惠平，楊廷力，邵國偉，等，一種三平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)機(jī)械手：中國，201510640394.X[P].2015-10-09. SHEN Huiping，YANG Tingli，SHAO Guowei，et al．A Parallel Robot Hand with Three Translations and One Rotation：China，201510640394．X[P]．2015-10-09．

[23] YANG Tingli，LIU Anxin，SHEN Huiping，et al. Topological Structure Synthesis of 3T1R Parallel Mechanism Based on POC Equations[C]//Lecture Notes in Computer Science,Proceedings of 9th International Conference on Intelligent Robotics and Applications. Hachioji, 2016:147-161.

[24] 沈惠平，尹洪波，王振，等.基于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析的求解6-SPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解的研究[J].機(jī)械工程學(xué)報,2013,49(21)：70-80. SHEN Huiping, YIN Hongbo, WANG Zhen, et al. Research on Forward Position Solutions for 6-SPS Parallel Mechanisms Based on Topology Structure Analysis[J]. Journal of Mechanical Engineering,2013,49(21):70-80.

[25] 于暉，孫立寧，劉品寬，等.新型6-HTRT 并聯(lián)機(jī)器人工作空間和參數(shù)研究[J].機(jī)器人,2002,24(4):293-298. YU Hui, SUN Lining, LIU Pinkuan, et al. Study on the Workspace and Parameter of Novel 6-HTRT Parallel Robot[J]. Robot,2002,24(4):293-298.

[26] 劉平松. I4R型并聯(lián)機(jī)器人全域性能及其優(yōu)化研究[D]. 南京：南京理工大學(xué)，2013. LIU Pingsong. Study on Global Performance and Optimization of I4R Parallel Robot[D].Nanjing: Nanjing University of Science and Technology,2013.

[27] GOSSELIN C, ANGELES J. Singularity Analysis of Closed-loop Kinematic Chains[J]. IEEE Transactions on Robotics & Automation,1990,6(3):281-290.

(編輯袁興玲)

ANovelNot-fullySymmetrical3T1RPMwithLowCoupling-degreesandItsKinematics

SHEN Huiping SHAO Guowei DENG Jiaming MENG Qingmei YANG Tingli

Research Center for Advanced Mechanism Theory，Changzhou University，Changzhou，Jiangsu，213016

TP273

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.19.004

2016-09-09

國家自然科學(xué)基金資助項目(51375062，514755050)；江蘇省重點研發(fā)計劃資助項目(BE2015043)

沈惠平，男，1965年生。常州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。主要研究方向為并聯(lián)機(jī)構(gòu)、機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)。獲發(fā)明專利56項,發(fā)表論文220余篇。 E-mail:shp65@126.com。邵國為，男，1991年生。常州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。鄧嘉鳴，男，1963年生。常州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授。孟慶梅，女，1973年生。常州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授。楊廷力，男，1940年生。常州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院特聘教授。