左曉虹

摘要： 初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)方法極其重要，不僅關(guān)系到學(xué)生未來(lái)學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的能力，也直接影響到后期各階段的學(xué)習(xí)效率，作為初中數(shù)學(xué)教師要不斷改進(jìn)教學(xué)方法及技巧，積極引導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和獨(dú)立思考能力，本文就類比教學(xué)在初中數(shù)學(xué)中的重要性及可行性進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；類比教學(xué)；教學(xué)方法

中圖分類號(hào)：○174.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1 類比教學(xué)應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的理論依據(jù)及重要意數(shù)義

一位好的數(shù)學(xué)老師不在于培養(yǎng)多少個(gè)高分學(xué)生，而在于發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)學(xué)天才。“類比是一個(gè)偉大的引路人”（波利亞）?！懊慨?dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，類比這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn)”（康德）。中國(guó)古代墨子提出“以故生，以理長(zhǎng)，以類行”的推理原則。北宋哲學(xué)家程頤、程顥兄弟更明確的把例比作為一種重要的推理方法，他們認(rèn)為“格物窮理，非是要窮盡天下之物，但于一事上窮盡，其他可以類推”。牛頓把蘋(píng)果和行星進(jìn)行類比，發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力；魯班把樹(shù)葉與木工的工具相類比，發(fā)明了鋸子。類比得到的結(jié)論也具有或然性，但是類比還是被稱為“理智的橋梁”。

所謂類比（即類比推理）就是依據(jù)兩個(gè)對(duì)象的已知相似性，有可能把一個(gè)（數(shù)學(xué)）對(duì)象的特殊知識(shí)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象上去，從而獲得對(duì)后一個(gè)對(duì)象的新知識(shí)。[1]類比教學(xué)法是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中常用的一種教學(xué)方法，在教學(xué)中通過(guò)新舊知識(shí)的類比，利用已有的舊知識(shí)，揭示新知識(shí)的本質(zhì)所在，幫助學(xué)生找出新舊知識(shí)之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，從而達(dá)到掌握知識(shí)的目的。[2]數(shù)學(xué)中應(yīng)用類比的教學(xué)案例很多，也都是多數(shù)教師常用的教學(xué)手法。這一方法之所以被廣泛接受和應(yīng)用，必然有其獨(dú)特的一面，這甚至是無(wú)可替代的。針對(duì)初級(jí)中學(xué)的學(xué)生，在熟知其認(rèn)知能力的基礎(chǔ)上，這一慣用方法毫無(wú)疑問(wèn)的起到了事半功倍的良好效果。初中生習(xí)慣于記憶，并擅長(zhǎng)記憶，但是這也會(huì)影響著后期的學(xué)習(xí)能力。作為教師，一旦急于求成或者片面追求學(xué)生成績(jī)，就可能會(huì)導(dǎo)致教學(xué)成為單純的講述，這和背誦古詩(shī)詞是沒(méi)有區(qū)別的，是數(shù)學(xué)教學(xué)中的大忌。類比教學(xué)的意義就在于打破常規(guī)的“死教死學(xué)”模式，從而得到啟發(fā)學(xué)生的目的?？v觀古今中外，我們?nèi)祟惖倪M(jìn)步似乎與類比有著密切練習(xí)，而事實(shí)是我們作為教師經(jīng)常會(huì)因?yàn)榉N種因素忽略了此方法。

2 類比教學(xué)應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的可行性

2.1平面與空間的類比教學(xué)

平面與空間的類比對(duì)于研究初等幾何圖形有著極其重要的意義。初等幾何含蓋了四個(gè)方面，即點(diǎn)、線、面、體。每一個(gè)層面的學(xué)習(xí)都關(guān)系并影響著其他層面。而類比的方法可以將這幾個(gè)層面有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，從而形成蜘蛛網(wǎng)式的知識(shí)體系。學(xué)生可以隨意的在網(wǎng)中尋找自己理想線路和獵物。這對(duì)于大多數(shù)極其依賴教師的學(xué)生而言有著不可或缺的作用。層層遞進(jìn)的知識(shí)體系也可以形成嚴(yán)密的幾何思維，對(duì)于診斷知識(shí)漏洞也很有幫助。平面中的相關(guān)推理適用于發(fā)展立體幾何的研究，而立體幾何的理論知識(shí)也可以準(zhǔn)確檢驗(yàn)平面幾何，這又相輔相成的促進(jìn)了平面與空間之間的統(tǒng)一，相得益彰。在矩形中，平面圖形里的每一個(gè)內(nèi)角都是直角，而長(zhǎng)方體是由六個(gè)矩形構(gòu)成，從而在長(zhǎng)方體中每一個(gè)面內(nèi)的角也都是直角。同樣可以推理得到每相鄰的三條棱互相垂直，每相鄰的兩個(gè)平面互相垂直。這就是平面與空間類比的實(shí)際案例。在日常教學(xué)過(guò)程中，我們不難發(fā)現(xiàn)幾乎所有的平面都可以作為推理論證立體幾何的基礎(chǔ)和工具，反之亦然。在對(duì)容器容積和體積探究中，我們發(fā)現(xiàn)正方體的體積是棱長(zhǎng)的三次方，長(zhǎng)方體的體積是長(zhǎng)寬高之積，圓柱體的體積是地面面積與柱高之積。我們進(jìn)而大膽推斷任何規(guī)則的立體圖形的體積是其底面積與高的乘積。這是用于諸多立體圖形，比如六棱柱或者其他規(guī)則的形體。這一發(fā)現(xiàn)有利于我們重視并研究平面面積與立體體積之間的關(guān)系，換言之有利于形成嚴(yán)密的幾何思想。

從美學(xué)角度講平面與空間的類比可以達(dá)到藝術(shù)家們想要的效果，形成藝術(shù)品。學(xué)生可以通過(guò)嘗試圖形的“神奇”變換產(chǎn)生愉悅心情，進(jìn)一步促進(jìn)對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，一位老師在展示圖形對(duì)稱性的時(shí)候，要求學(xué)生準(zhǔn)備各自喜歡的幾何圖形作為課堂學(xué)習(xí)工具。當(dāng)老師說(shuō)一本書(shū)是屬于軸對(duì)稱圖形的時(shí)候，一名同學(xué)機(jī)智的與老師爭(zhēng)論“那么一本卷起來(lái)的書(shū)本是不是軸對(duì)稱圖形呢？”，課堂的氣氛因此而變得十分活躍，大家爭(zhēng)先恐后的講述個(gè)人觀點(diǎn)。單不說(shuō)辯論的結(jié)果是什么，我想正是因?yàn)檫@位同學(xué)的發(fā)現(xiàn)，絕對(duì)讓同學(xué)們就本節(jié)知識(shí)認(rèn)識(shí)到位并且具有啟發(fā)意義。這其實(shí)就是類比對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義所在，作者認(rèn)為這也適用于其他學(xué)科的教學(xué)，比如美術(shù)課。

再比如教學(xué)“求多邊形內(nèi)角和”。學(xué)生通過(guò)聯(lián)想搜索，回憶求四邊形內(nèi)角和的策略——把四邊形分解為三角形，然后用三角形內(nèi)角和得到四邊形的內(nèi)角和。那么教師可以引導(dǎo)學(xué)生用同樣的策略來(lái)探索多邊形的內(nèi)角和，通過(guò)圖形的分割即從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，把多邊形分割成 個(gè)三角形，在利用三角形內(nèi)角和就可以求的多邊形的內(nèi)角和等于 。

2.2數(shù)與形的類比教學(xué)

數(shù)與形的類比推動(dòng)著代數(shù)的發(fā)展。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有這么一種被普遍運(yùn)用，即數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合其實(shí)也是一種類比，只不過(guò)這種類比就顯得不是那么明確，但它的確是存在的。如何將數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)知到類比中呢？我們不需要刻板的研究。在老師講述函數(shù)及其圖像的時(shí)候都會(huì)給學(xué)生們或多或少的灌輸這一方法，而事實(shí)上初中學(xué)生的認(rèn)知能力是有限的，作為老師如何去正確引導(dǎo)很關(guān)鍵。在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的時(shí)候，教師給學(xué)生也許教過(guò)這么幾句口訣，“正一三，線上升；負(fù)二四，線下降”（一次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)，則圖像呈現(xiàn)上升趨勢(shì)；一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，則圖像呈現(xiàn)下降趨勢(shì)）、“正正不過(guò)四，正負(fù)不過(guò)二，負(fù)正不過(guò)三，負(fù)負(fù)不過(guò)一”（當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)，并且常數(shù)項(xiàng)是正數(shù)的時(shí)候，圖像不經(jīng)過(guò)第四象限；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)，常數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù)的時(shí)候，圖像不經(jīng)過(guò)第二象限；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，常數(shù)項(xiàng)是正數(shù)的時(shí)候，圖像不經(jīng)過(guò)第三象限；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)均為負(fù)數(shù)的時(shí)候，圖像不經(jīng)過(guò)第一象限）。這些口訣就是數(shù)與形類比的案例。實(shí)踐檢驗(yàn)證明，這樣的類比不僅僅便于記憶，而且出錯(cuò)率很低，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)試，也有助于提高學(xué)生的歸類總結(jié)能力。而在講授和探討二次函數(shù)的時(shí)候，學(xué)生們會(huì)以此為借鑒進(jìn)行獨(dú)立思考，加上老師的指點(diǎn)，把二次函數(shù)這塊重要而有難度的知識(shí)輕松掌握。endprint

當(dāng)然了，數(shù)與形的類比現(xiàn)象和具備類比條件的實(shí)例很多。數(shù)與形的類比經(jīng)常在兩個(gè)相反的方向的到實(shí)際應(yīng)用。通過(guò)與形的類比推斷相關(guān)數(shù)的性質(zhì)，也可以通過(guò)數(shù)的類比得出形的相關(guān)性質(zhì)。例如通過(guò)向量、長(zhǎng)度等概念的引入賦予所研究對(duì)象的幾何意義，進(jìn)而通過(guò)幾何直觀尋求解決問(wèn)題的方法。我們上樓梯，一次只能上一個(gè)臺(tái)階、二個(gè)臺(tái)階、三個(gè)臺(tái)階，每次只能上一個(gè)臺(tái)階的整數(shù)倍，而不可以上一個(gè)臺(tái)階的0.1倍、0.2倍、0.3倍。同理下樓梯也只能下一個(gè)樓梯的整數(shù)倍，而不可能下樓梯的0.1倍、0.2倍、0.3倍?？傊?，我們上樓（下樓）每一步上升（下降）的高度只能是一個(gè)臺(tái)階高度的整數(shù)倍，著每一個(gè)臺(tái)階的高度就是上樓梯（下樓梯）這個(gè)問(wèn)題中的“量子”，通過(guò)這樣的類比大家就會(huì)恍然大悟。借助樓梯這個(gè)司空見(jiàn)慣的生活事實(shí)，有效地幫助同學(xué)們建立起“量子”的觀念。

2.3幾何與方程的類比教學(xué)

進(jìn)行類比教學(xué)時(shí)，不但要多找對(duì)象的相同點(diǎn)，而且應(yīng)找本質(zhì)的相同點(diǎn)，既要注意問(wèn)題的共性，又要注意問(wèn)題的個(gè)性，我們可以將類比教學(xué)靈活應(yīng)用。比如在七年級(jí)下冊(cè)“線段”的學(xué)習(xí)中的這道題目：一條線段上有 個(gè)點(diǎn)，問(wèn)共有幾條線段？

顯然每個(gè)點(diǎn)出發(fā)可以畫(huà) 條線段， 個(gè)點(diǎn)就構(gòu)成 條線段。但是每2個(gè)點(diǎn)之間按照上述方法計(jì)算重復(fù)了一次，所以要除以2，所以共有 條。

運(yùn)用類比的思想，比較容易解決 “一元二次方程”中的握手問(wèn)題：一次聚會(huì)，出席的每位代表都和其他代表各握一次手，統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，一共握手55次，問(wèn)參加聚會(huì)的代表有多少人？

設(shè)參加聚會(huì)的代表有 人.每個(gè)人握手的次數(shù)是 次， 人就握了 次 ，但是每2個(gè)人之間按照上述方法計(jì)算重復(fù)了一次，所以要除以2，則有 。

3避免走入類比教學(xué)的誤區(qū)

數(shù)與式的類比有助于形成獨(dú)特解題思路。這一思路在初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)和高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)解題方面都顯得獨(dú)樹(shù)一幟，但如果教師不加以強(qiáng)調(diào)，學(xué)生生搬硬套、發(fā)生定勢(shì)思維的錯(cuò)誤，極易走入類比誤區(qū)，比如這道題目：

分析：類比實(shí)系數(shù)一元二次方程，利用根的判別式判別根的個(gè)數(shù)來(lái)討論復(fù)系數(shù)方程根的情況是錯(cuò)誤的，實(shí)系數(shù)一元二次方程 ，配方得： 因此方程有實(shí)數(shù)根，由實(shí)數(shù)平方的非負(fù)性得 ，即等價(jià)于 ，而復(fù)數(shù)集中不再有非負(fù)性，因此無(wú)法用根的判別式來(lái)判別根的個(gè)數(shù)。

應(yīng)用類比，可以在兩個(gè)不同的知識(shí)領(lǐng)域之間實(shí)行知識(shí)的過(guò)渡，因此，人們常常把類比方法譽(yù)為理智的橋梁，是信息轉(zhuǎn)移的橋梁。正如康德所說(shuō)：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，類比這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn)?！?“類比是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉?！鳖惐鹊乃枷朐谖覀兲幚硪恍?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的確起著十分重要的作用，我們也應(yīng)該學(xué)習(xí)類比的思想，但是在利用類比的思想去處理一些問(wèn)題時(shí)，我們也要注意所類比的兩個(gè)事物在本質(zhì)上是否是相同或相似的，不能只顧形式上的一致而忽略本質(zhì)不同的問(wèn)題。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用類比方法的關(guān)鍵，是要善于發(fā)現(xiàn)兩個(gè)不同數(shù)學(xué)對(duì)象在空間形式或數(shù)量關(guān)系之間的“相似”， 這種“相似”并不是簡(jiǎn)單的模仿和復(fù)制，而是富有創(chuàng)造性的設(shè)想和探究。

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