劉 鄧

(江漢大學，武漢 430010)

廣義積分上的一致收斂問題

劉 鄧

(江漢大學，武漢 430010)

文章主要討論并總結含參變量的廣義積分以及一些常規(guī)的判別法，展示并舉例了Cauchy判別法﹑M判別法﹑Dirichlet判別法﹑Abel判別法﹑微分法﹑級數判別法以及含參量廣義積分的Heine定理在實際問題中的運用，同時對各個判別法進行了詳細的闡述并對其優(yōu)缺點簡要的說明與歸納，希望對讀者們有所幫助。

廣義積分；一致收斂;判別法

我們知道定積分有兩個最重要且最基礎的限制：①積分區(qū)間的有窮性；②被積分函數的有界性,而廣義積分是突破其限制的推廣，當積分的有窮區(qū)間變?yōu)闊o窮區(qū)間，我們便得到了無窮積分，而當被積函數有界變?yōu)闊o界時，我們便得到了無界積分，也稱為瑕積分。生活中面臨的大多數實際問題經常會突破有限或有界的限制，因此廣義積分便有了誕生的意義和必要。由于許多廣義積分的計算非常困難，于是人們希望通過對其性質的判斷來為計算帶來方便，其中斂散性的判別尤其重要。

在實際生活中，自然條件遠比人為假設要復雜的多，故含參量廣義積分的應用范圍要比非含參量廣義積分的應用范圍要廣闊的多，而含參量廣義積分的計算相應的更為的復雜。而為了方便人們去計算這類積分，我們希望廣義積分和被積函數所具備性質更加優(yōu)化，故廣義積分上的一致收斂就是人們所關注的。

首先我們給出含參量廣義積分以及一致收斂的兩個具體概念。

統(tǒng)一規(guī)定下面的I都表示實數軸上的區(qū)間，且區(qū)間沒有有限或無限的限制。

定義1設f(x,y)R=[a,∞]×I上，若對?yI，廣義積分都收斂，則它是y在I上函數，記作I(y)，即：

I(y)稱為含參數yI的無窮積分，也就是我們所說的含參量廣義積分。

定義2若對?ε>0，?A0=A0(ε)，(A0c)，當A',A≥A0時，對一切yI，成立：

一、一致收斂的充要條件

我們可以直接通過定義2，得出如下直接判斷一致收斂的方法。

解因為對充分大的M>0時，有：

二、Cauchy判別法

定理1 設f(x,y)與F(x,y)定義在無界區(qū)域R=[a,∞]×I上.如果存在a'>a使得：

很明顯，當目標積分中的某部分可以與 的冪函數組成常用的積分時，使用 判別法可以將有效的對原積分進行處理，確定后續(xù)的驗證方向。

三、M判別法

設有函數g(y)，使得

M判別法類似于夾逼定理，通過與一些常見積分進行比較，可以快速判定原積分.注M判別法得到的結論是絕對一致收斂，但不是絕對一致收斂就能用M判別法來判斷。

四、Dirichlet判別法

參照級數的Dirichlet判別法，將原積分看做兩個單獨的積分，且對兩個新的積分要求和級數Dirichlet判別法十分相似。

對參量x在I上一致有界，既?M，(M>0)，對?N>c及x∈I? ，有

五、Abel判別法

參照級數的Abel判別法，將原積分看做兩個單獨的積分，且對兩個新的積分要求和級數Abel判別法十分相似。

我們可以看到Dirichlet判別法與Abel判別法的運用方法都是將目標積分拆分成兩個我們熟悉的積分，在運用這兩種方法對其進行判定。

六、微分法

當給出y在其取值范圍內可微且在范圍內使得原積分收斂時，我們可以通過求其偏導對原積分是否一致收斂進行判定。

我們可將定理3中的條件1)放寬，將條件2)變強.得如下定理：

七、級數判別法

通過教材[2]，我們可以知道含參變量反常積分的一致收斂與函數項級數的一致收斂是有一定聯系的，所以相應的可以通過函數項級數來幫助對含參量反常積分的判定。

八、含參量廣義積分的Heine定理

Heine定理也被稱之為歸結原理，在函數極限與數列之間起到相互關聯的作用，同時可將Heine定理的應用通過函數項級數向含參量積分做出推廣。

證明必要性，定理5可直接證明其必要性。

令x=nπ+t，得

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Uniformconvergenceingeneralizedintegrals

Liu Deng

(JianghanUniversity,Wuhan430010,China)

In this paper, we mainly discuss and summarize containing parameter improper integral and some conventional discriminant method, display and an example of a discriminant method, discriminant analysis, discriminant analysis, discriminant analysis, differential method, series method and application of Heine theorem of generalized parametric integrals in the practical problems with. At the same time, each of the discriminant method is described in detail and its shortcomings are briefly described and summarized, and they hope to help readers.

generalized integral；uniform convergence;discrimination method

O141

A

1673-3878(2017)05-0022-05

2017-05-16

劉鄧(1994—)，男，湖北武漢人，江漢大學數學與計算機科學學院碩士研究生；主要研究方向：廣義積分.