葉海英　潘旭東

[摘 要]數(shù)學思想方法是小學數(shù)學教學的重要內(nèi)容，數(shù)學思想方法的學習與應用，能有效促進學生理解性學習。提高學生的理解力能促進學生進一步的學習與理解?！皵?shù)與形”是“數(shù)學廣角”里的內(nèi)容，教師在教學中應強化過程，讓學生真切地體會到數(shù)學思想方法的魅力。

[關(guān)鍵詞]數(shù)與形；數(shù)學思想方法；理解力

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）23-0008-04

【目標預設】

1.通過觀察與思考，讓學生充分感知數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系。

2.在問題解決的過程中讓學生建立數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。

3.運用數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)學生的數(shù)學理解力。

【教學流程】

一、回顧形與形、數(shù)與數(shù)的聯(lián)系，引發(fā)學生思考

師：我們是怎樣推導平行四邊形面積公式的？

生1：把平行四邊形沿著一條高剪開后，拼成一個長方形，求出長方形的面積就得到平行四邊形的面積。

師：怎么計算+？

生2：先通分，轉(zhuǎn)化成同分母后再計算。

師（小結(jié)）：把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，是形與形的轉(zhuǎn)化；把異分母分數(shù)轉(zhuǎn)化成同分母分數(shù)，是數(shù)與數(shù)的轉(zhuǎn)化。無論是形與形的轉(zhuǎn)化，還是數(shù)與數(shù)的轉(zhuǎn)化，都是為了方便我們解決問題。那么數(shù)與形能不能互相轉(zhuǎn)化，數(shù)與形之間有沒有關(guān)系呢？今天這節(jié)課我們就一起來研究“數(shù)與形”。

【評析】通過復習推導平行四邊形面積公式的方法及異分母分數(shù)加減法的方法，喚起學生的認知，讓學生明白形與形之間和數(shù)與數(shù)之間都可以互相轉(zhuǎn)化。此時，教師自然地提出問題，引發(fā)學生思考：數(shù)與形能不能互相轉(zhuǎn)化，它們之間有沒有關(guān)系？讓學生圍繞這一基本問題展開探究和學習。

二、體會形中有數(shù)、數(shù)中有形，數(shù)形相關(guān)

1.探究圖形對應的數(shù)，體會形中有數(shù)

師：你發(fā)現(xiàn)圖1中四個圖形之間的規(guī)律了嗎？請用數(shù)或式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

（學生思考，教師巡視并收集三種不同的表達方式，然后全班交流）

生1：我是用數(shù)“1、4、9、16”來表示的。第一個圖形有1個小正方形，第二個圖形有4個小正方形，第三個圖形有9個小正方形，第四個圖形有16個小正方形。

生2：我是從正方形的邊長入手找規(guī)律的。一個小正方形的邊長是1，那第一個圖形就是（1×1），第二個圖形就是（2×2），后面兩個圖形分別是3×3和4×4。

生3：我用算式“1，1+3，1+3+5，1+3+5+7”來表示。第一個圖形用“1”表示，第二個圖形是在第一個圖形的基礎上增加了3個小正方形，第三個圖形是在第二個圖形的基礎上增加了5個小正方形，第四個圖形是在第三個圖形的基礎上增加了7個小正方形。

師（追問）：你們能理解生3給出的規(guī)律嗎？第四個圖形中的1、3、5、7分別是什么？請指一指。

（教師結(jié)合學生的發(fā)言，用不同顏色的筆在圖形中標記3、5、7對應的位置）

師：這幾種觀察規(guī)律的角度有什么不一樣的地方？

生4：生1從小正方形的數(shù)量來觀察，生2從圖形的邊長來觀察，生3是從圖形增加的個數(shù)來觀察的。

師（小結(jié)）：同一組圖形，盡管觀察的角度不同，但是我們都找到了數(shù)的影子。

2.探究算式對應的圖形，體會數(shù)中有形

師：生3給出的規(guī)律比較難理解，我們再進一步研究。

師：沿著1+3+5+7這個規(guī)律繼續(xù)思考，1+3+5+7+9+11+13對應的圖形會是什么樣子的？

（學生小組討論后交流）

生5：對應的是邊長為7的正方形。因為（13+1）÷2=7，所以得到邊長為7的正方形。

生6：因為1+3=4，就是2的平方；1+3+5=9，就是3的平方。以此類推，“1、3、5、7”4個數(shù)相加的和是4的平方，“1、3、5、7、9”5個數(shù)相加的和是5的平方，“1+3+5+7+9+11+13”中有7個數(shù)，就是邊長為7的正方形。

師：請?zhí)顚懀?）=102。

生7：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102，答案是從1開始的連續(xù)10個奇數(shù)相加。

師：回顧剛才的探究過程，我們在圖中想到了數(shù)，在數(shù)中想到了圖，那數(shù)與形有關(guān)系嗎？

生（齊）：有。

師：是的，數(shù)中有形、形中有數(shù)，數(shù)與形之間確實有關(guān)系，那么到底有怎樣的關(guān)系呢？我們繼續(xù)探究。

【評析】教師引導學生從不同角度觀察同一幅“正方形方格圖”，通過看一看、說一說、比一比、想一想等活動充分調(diào)動學生的多種感官，讓學生體會“形”中有“數(shù)或算式”，然后引導學生想象1+3+5+7+9+11+13這個式子對應的圖形是什么樣子，讓學生感悟“數(shù)或算式”也可以用“形”來表示，初步感知數(shù)與形的完美結(jié)合。這一環(huán)節(jié)中，學生在觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、想象、推理等過程中經(jīng)歷“數(shù)與形”的對應、轉(zhuǎn)化和結(jié)合，實現(xiàn)了多種數(shù)學基本思想和方法在數(shù)學教學中的滲透，使學生感受到了數(shù)學的魅力。

三、體會以形助數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形互助

生2：我發(fā)現(xiàn)后面還有一個省略號，說明后面還有很多很多的數(shù)，有無數(shù)個這樣的數(shù)相加。

師：和是多少呢？

（大多數(shù)學生感到茫然）

師：沒感覺是嗎？我們可以借助圖形找找感覺。

（請學生拿出教師課前發(fā)的練習紙，紙上畫了一個圓形、一個正方形和一條線段）

師：請從一個圓形、一個正方形和一條線段中任選一個，然后在你選擇的圖形中找到它的，在的基礎上加上它的，再加上它的，按算式的要求一直加下去，看看能不能找到和是多少。先獨立操作，然后小組交流，最后派代表展示。

生3：我先把一個圓形平均分成2份，找到其中的一份涂上顏色，再把另外一份平均分成2份，也就是整個圓形的，然后繼續(xù)平分，一直加到。如果再一直加下去，空白部分會越來越小，但是總有一點點空出來。

生4：我是利用線段來找的，一直加下去，和會越來越接近1，但不等于1。

師：我用正方形來演示。

師（一邊演示一邊問）：按這樣的規(guī)律加下去，和是多少？

生5：無限接近1，但不等于1。

生6：加上無窮無盡的數(shù)應該等于1。

師：有的同學認為結(jié)果等于1；有的同學認為結(jié)果越來越接近1，但不等于1，與1差了那么一點點。意見不統(tǒng)一！不著急得到最終的結(jié)果，先來看看你們在畫圖中的收獲。通過畫圖，我們知道了這個式子的和與幾有關(guān)？

生（齊）：與“1”有關(guān)。

師：無論是認為等于1，還是認為和1差一點，起碼我們有了方向——結(jié)果與“1”有關(guān)系。這就是畫圖的好處，它能幫助我們找到一種感覺、一個方向。但是，我們還有困惑，結(jié)果到底等于1，還是接近1？你們覺得畫圖能回答這個問題嗎？

生（齊）：不能。

師：這就是畫圖的缺陷，它不能準確地、精細化地表示結(jié)果。當畫圖解決不了問題時，我們可以用數(shù)來進行推理。既然“和”與1有關(guān)，我們從1開始想。

師：讓我們回顧剛才的探究過程。剛開始大家看到這樣一個算式，不知道等于幾。是誰幫助我們找到了感覺，找到了“和”與1有關(guān)系？是的，圖形幫助我們發(fā)現(xiàn)，按照這樣的規(guī)律加下去，“和”越來越接近1，甚至有同學想到等于1。當圖形不能精確地表示出“和”到底是等于1，還是接近1的時候，誰又幫助我們找到了準確結(jié)果？

生（齊）：數(shù)。

師：是的，數(shù)又幫助我們通過推理得出“和”就等于1。你們覺得數(shù)和形之間有著怎樣的關(guān)系呢？

生9：密不可分的關(guān)系。

生10：數(shù)與形可以互相幫助。

師：關(guān)系非常密切，你中有我，我中有你，互相幫助。其實，在我們以前的學習中，就有很多地方都體現(xiàn)了數(shù)形之間互相幫助的特點。

【評析】課本的例2是一道無窮遞縮等比數(shù)列的求和問題，這道題對學生來說非常抽象，不易理解。到底和等于多少？在激起學生的學習需求與愿望后，教師引導學生用圖形解決問題，讓學生在圖中找答案，學生借助這些直觀的“形”發(fā)現(xiàn)這個算式的結(jié)果好像是1，好像又不是1。因為通過直觀圖可以看到，無論怎么分割下去，圖中好像總有“剩余部分”。但就在這個畫圖的過程中，學生借助直觀圖發(fā)現(xiàn)該算式的結(jié)果應該與“1”有關(guān)?？梢姡庇^圖給求解抽象算式的任務指明了大方向。

師：我們一起回憶，利用長方形模型可以幫助我們理解分數(shù)乘法的算理；利用線段圖可以幫助我們理解分數(shù)除法的算理；學習幾何知識時，因為有了度數(shù)，我們就可以準確地說出89°是一個銳角，盡管它與直角很像。兩條平行線之間距離都是2cm，說明這兩條直線互相平行。這些例子都體現(xiàn)出數(shù)與形之間的互相幫助。

師：我國一位非常有名的數(shù)學家華羅庚很早就說過這樣的話：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”將數(shù)、形結(jié)合起來就能很好地解決數(shù)學問題，數(shù)形結(jié)合也是一種非常重要的數(shù)學思想。

【評析】教師帶領學生回顧小學階段所學習的與數(shù)形結(jié)合思想相關(guān)聯(lián)的知識，讓學生感受到“數(shù)與形”并不陌生，使學生真正體會以形助數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形互助的關(guān)系。最后引用數(shù)學家華羅庚的話，讓學生和數(shù)學家產(chǎn)生共鳴，在得到數(shù)學文化的熏陶的同時進一步感受數(shù)形結(jié)合思想的價值。

四、數(shù)形結(jié)合應用

師：你能利用圖3找出（a+b）2和a2+2ab+b2的關(guān)系嗎？

生1：（a+b）2表示大正方形的邊長乘邊長，就是大正方形的面積，把這個大正方形分割成四個部分，其中有兩個部分都是正方形，面積分別是a2和b2，另外兩個部分是長方形，它們面積相等，面積的和是2ab，因此可以推導出（a+b）2=a2+2ab+b2。

師：圖4是同樣的一個正方形，如果這樣分割，你能求出這個圖形的面積嗎？

生2：面積是c2+2ab。

生3：圖3和圖4的面積相等，得到a2+2ab+b2=c2+2ab，等式兩邊同時減2ab，得到a2+b2=c2。

師：通過數(shù)形結(jié)合，我們得到了初中時會學到的完全平方公式和勾股定理，再一次證明了“數(shù)形結(jié)合百般好”這句話。

五、課堂小結(jié)

師：今天學習的數(shù)與形，只是幫我們打開了一扇窗，更多數(shù)與形的知識還在等待同學們?nèi)ヌ骄?。如果大家有了?shù)與形的意識，相信以后的數(shù)學學習會更精彩。

【總評】

學生一開始學習數(shù)學，數(shù)形結(jié)合的思想就一直伴隨他們左右，所以學生已經(jīng)積累了一定的活動經(jīng)驗。本節(jié)課的教學把數(shù)形結(jié)合的思想作為核心教學內(nèi)容，讓學生進一步體會到數(shù)形結(jié)合思想的實際意義。

1.提煉基本問題，引領學生思考

“提問”是教師引領學生思考的重要手段。本節(jié)課圍繞“數(shù)與形之間有沒有關(guān)系？”“數(shù)與形到底有怎樣的關(guān)系呢？”這些基本問題展開教與學的互動，學生自主探究，在經(jīng)歷觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、想象、推理等活動后，能夠感受數(shù)與形密不可分的關(guān)系。在學習完例2后，教師引領學生思考：“數(shù)與形有怎樣的關(guān)系呢？”因為有了前面的討論交流，學生的回答十分精彩：“這兩個是相互依賴的關(guān)系”“相互牽連的關(guān)系”“密不可分的關(guān)系”“互相幫助的關(guān)系”。

2.細化教學目標，促進學生感悟

事實表明，有效的教學必然需要將課時目標細化，讓環(huán)節(jié)目標層層落實、步步深入。本節(jié)課的目標分為兩個層次：第一層次，體會形中有數(shù)、數(shù)中有形，數(shù)形相關(guān)；第二層次，體會以形助數(shù)、以數(shù)解形，數(shù)形互助。本節(jié)課的目標是立體的，聚焦“數(shù)形結(jié)合”思想之外，我們看到了“運算能力”“空間觀念”“極限思想”“歸納推理”等數(shù)學素養(yǎng)的滲透，看到了“事物是普遍聯(lián)系的”哲學思想的滲透。隨著環(huán)節(jié)的層層深入，學生的感悟也是層級遞進的。

3.精選學習素材，豐富學生體驗

為了讓學生體驗數(shù)形結(jié)合，除了教材例題外，教師增加了大量素材，既有以前學過的例子，又有新的問題，如：“×”“2÷”“平行線之間的距離相等”“89°角”等。通過多素材、多層次的分析交流，學生對于“數(shù)與形有緊密聯(lián)系”的感受更為充分。不僅如此，不同的素材又指向于不同目的，有些是“以形助數(shù)”，有些是“以數(shù)助形”。最后練習環(huán)節(jié)，學生運用數(shù)形結(jié)合的思想解決了初中才學習的“完全平方公式”與“勾股定理”。如此巧妙貼切的設計，令人耳目一新。

（責編 金 鈴）