朱忠明

摘 要：數(shù)學(xué)是我國現(xiàn)行學(xué)校課程體系中重要的一門課程，其學(xué)段間的銜接會影響到數(shù)學(xué)教育工作的整體構(gòu)建. 對中學(xué)和高校的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的銜接進(jìn)行探究勢必是新一輪高中數(shù)學(xué)課程改革中考慮的重要方面. 梳理現(xiàn)行中學(xué)和高校的數(shù)學(xué)課程中不甚銜接的現(xiàn)狀，能給數(shù)學(xué)教材的編制提供一定的參考信息，給數(shù)學(xué)教師組織安排教學(xué)提供內(nèi)容方面的支持.

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；高校數(shù)學(xué)；課程內(nèi)容；銜接

中等教育與高等教育的銜接是基礎(chǔ)教育與專業(yè)教育的接軌，是各層次銜接中的特殊環(huán)節(jié)，對學(xué)生未來就業(yè)和發(fā)展具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革使得現(xiàn)在的中學(xué)教材里出現(xiàn)大學(xué)數(shù)學(xué)中的內(nèi)容，導(dǎo)致另外一種現(xiàn)象：初等數(shù)學(xué)中的許多重要而基本的內(nèi)容，本是中學(xué)生“應(yīng)知應(yīng)會”的內(nèi)容，許多版本的中學(xué)數(shù)學(xué)教材里很難覓得它們的蹤影. 這些“應(yīng)知應(yīng)會”知識在中學(xué)數(shù)學(xué)中的缺漏，形成學(xué)生長遠(yuǎn)發(fā)展的一種隱患.下面以高校數(shù)學(xué)教學(xué)普遍使用的經(jīng)典教材——同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編制的高等數(shù)學(xué)教材第七版，以及人民教育出版社課程教材研究所編制的普通高中實(shí)驗(yàn)教科書為主要參考資料，以其他版本的高等數(shù)學(xué)教材為輔助參考資料進(jìn)行探討，一方面從具體實(shí)例探討中學(xué)數(shù)學(xué)課程與高校數(shù)學(xué)課程銜接中的錯位和缺漏，另一方面從整體梳理重復(fù)、錯位和缺漏的數(shù)學(xué)內(nèi)容.

一、課程內(nèi)容銜接上的錯位與缺漏實(shí)例探討

傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容包括集合、函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等內(nèi)容.隨著高中數(shù)學(xué)課程改革的推進(jìn)，諸如概率與統(tǒng)計初步、極限知識、導(dǎo)數(shù)與微分的簡單內(nèi)容、積分基本知識、復(fù)數(shù)等高校數(shù)學(xué)課程中的內(nèi)容也逐漸下移到中學(xué)數(shù)學(xué)中[1].而原本屬于中學(xué)數(shù)學(xué)的一些內(nèi)容卻又被淡化，導(dǎo)致現(xiàn)時的中學(xué)和高校數(shù)學(xué)課程在內(nèi)容銜接上存在一定的錯位和缺漏現(xiàn)狀：高等數(shù)學(xué)教學(xué)需借助高中數(shù)學(xué)教材中的必修、但不要求掌握的內(nèi)容；需借助高中數(shù)學(xué)教材中的選修，但不是每個學(xué)校都學(xué)習(xí)的內(nèi)容；高等數(shù)學(xué)中頻繁出現(xiàn)，而在高中階段要求較低或者不做要求的內(nèi)容，這些都需要探討.

（一）高中數(shù)學(xué)教材中的必修，但不要求掌握

例1 證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.

解析 該題來源于高等數(shù)學(xué)教材（在沒有限定的條件下，本文中的“高等數(shù)學(xué)教材”指的是同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編制的第七版高等數(shù)學(xué)教材）上冊第一章“函數(shù)與極限”第八節(jié)“函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)”，在用連續(xù)函數(shù)的定義對其進(jìn)行證明的過程中，不可避免地要用到初等數(shù)學(xué)中三角函數(shù)的和差化積公式，而該部分知識在高中數(shù)學(xué)教材必修4中，盡管是必修內(nèi)容，但是由于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中要求“能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦公式進(jìn)行簡單的恒等變換，包括引導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶”[2]45，另外由于這部分內(nèi)容不在高考的考查范圍，通常情況下這部分內(nèi)容就成了教材中的“虛設(shè)”，很多高中生進(jìn)入大學(xué)后對和差化積、積化和差公式、萬能公式等三角公式都不清楚，就更談不上熟練應(yīng)用了.而這些公式卻是學(xué)習(xí)某些高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)，如等的推導(dǎo)需要用到三角函數(shù)的和差化積公式，“求”以及諸如等類似形式的積分問題需要用到三角函數(shù)的積化和差公式，“求”，積分過程中就需用三角函數(shù)的萬能公式.

（二）高中數(shù)學(xué)教材中的選修，但不是所有學(xué)校都學(xué)的內(nèi)容

例2 計算，其中D是由圓心在原點(diǎn)、半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域.

解析 該題來源于高等數(shù)學(xué)教材下冊第十章“重積分”第二節(jié)“二重積分的計算法”中的利用極坐標(biāo)計算二重積分.若考慮用直角坐標(biāo)來計算該題，則會因?yàn)椴荒苡贸醯群瘮?shù)表示而出現(xiàn)算不出來的情況.相反，若選擇采用極坐標(biāo)來計算該題，不僅能夠計算出結(jié)果，而且還會比較方便.在求解過程中，首先將積分區(qū)域D表示成極坐標(biāo)的形式：.再由二重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)的變換公式以及極坐標(biāo)系中的二重積分化為二次積分的公式，即可方便快捷地解決問題.此外，還可以用該題所采用的方法和結(jié)果計算工程上常用的反常積分等.可是極坐標(biāo)和參數(shù)方程這部分內(nèi)容被安排在高中數(shù)學(xué)教材的選修4-4中，很多學(xué)校都不對該內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)的講解，導(dǎo)致即使大學(xué)教師補(bǔ)充講解這部分內(nèi)容，但由于學(xué)生練習(xí)較少，對極坐標(biāo)缺乏足夠的了解和應(yīng)用，想不到使用或者使用起來不能得心應(yīng)手.

（三）高中數(shù)學(xué)教材中要求較低或不做要求的內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)中頻繁出現(xiàn)

例3 反函數(shù)、反三角函數(shù)、復(fù)合函數(shù).

解析 對于反函數(shù)，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出：“只要求以具體函數(shù)為例進(jìn)行解釋和直觀理解……不要求一般地討論形式化的反函數(shù)定義，也不要求會求已知函數(shù)的反函數(shù).”[2]23現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材中反函數(shù)部分的內(nèi)容安排與課程標(biāo)準(zhǔn)中的一致.這似乎是減輕了中學(xué)生的負(fù)擔(dān)，殊不知這不僅不利于學(xué)生對函數(shù)的整體而深入的理解，而且還會給大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來諸多困擾.即使大學(xué)老師會做一些補(bǔ)充，但是由于學(xué)生對反函數(shù)的概念、存在的條件、性質(zhì)等不熟悉或者不了解，對函數(shù)部分的許多知識就缺乏本質(zhì)的理解.復(fù)合函數(shù)，高中數(shù)學(xué)教材中沒有出現(xiàn)此概念，但復(fù)合函數(shù)的知識一直在使用，如在選修1-1“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”中就出現(xiàn)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

從前面幾個例子不難看到，中學(xué)和高校的數(shù)學(xué)課程在內(nèi)容的銜接上的確存在問題，當(dāng)然問題遠(yuǎn)不止以上幾個例題中所呈現(xiàn)出的.但是不管怎樣，無論是中學(xué)數(shù)學(xué)教師，還是高校數(shù)學(xué)教師，從整體上感知內(nèi)容銜接上的重復(fù)、錯位和缺漏，并對中學(xué)和高校的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的銜接投入更多的關(guān)注，從促進(jìn)自身教學(xué)和學(xué)生發(fā)展考慮都是一種明智的選擇.

二、課程內(nèi)容銜接上的重復(fù)、錯位和缺漏概述

對于數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，有意義的重復(fù)表現(xiàn)為內(nèi)容逐步加深、擴(kuò)展或鞏固，而無意義的重復(fù)主要是指那些表面的、簡單知識的一般性道理，缺乏不斷加深的知識含量和思維難度[3].表1是無意義重復(fù)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，表2是有意義重復(fù)的數(shù)學(xué)內(nèi)容.

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)家蘇步青曾說：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最怕的是吃夾生飯.如果一些東西學(xué)得糊里糊涂，再繼續(xù)往前學(xué)，則一定越學(xué)越糊涂，結(jié)果將是一無所獲.所以不要怕學(xué)得慢，一定要學(xué)得踏實(shí).”面對中學(xué)和高校數(shù)學(xué)課程內(nèi)容不甚銜接的現(xiàn)狀，除了寄希望于高校數(shù)學(xué)教師的“修補(bǔ)”，更應(yīng)該做足中學(xué)的數(shù)學(xué)“必修”課程，發(fā)揮中學(xué)數(shù)學(xué)課程的“育人”價值.

（一）中學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫要兼顧學(xué)生的當(dāng)下和未來

中學(xué)數(shù)學(xué)教材作為中學(xué)數(shù)學(xué)課程資源的重要組成部分，是中學(xué)數(shù)學(xué)課程實(shí)施的主要載體.因此，教材編寫者在編寫教材時既要考慮到學(xué)生學(xué)習(xí)的階段性特征，而刪減一些繁難的數(shù)學(xué)內(nèi)容，同時也要兼顧為學(xué)生的未來學(xué)習(xí)和生活做準(zhǔn)備，不能一味地借著“減負(fù)”的口號減少當(dāng)下的學(xué)習(xí)內(nèi)容，殊不知這既不能保障學(xué)習(xí)效益的最大化，還會給未來的進(jìn)一步學(xué)習(xí)增加負(fù)擔(dān).如前文中提及的復(fù)合函數(shù)，盡管在高中數(shù)學(xué)教材中講清楚其概念需要一定的篇幅，但既然教材中出現(xiàn)了復(fù)合函數(shù)的相關(guān)知識，就應(yīng)該首先明確給出其概念，而不是像現(xiàn)在的很多版本的數(shù)學(xué)教材，一直在使用復(fù)合函數(shù)，卻始終沒有解讀其概念，這樣很不利于學(xué)生對復(fù)合函數(shù)的透徹理解，進(jìn)而影響到對復(fù)合函數(shù)的對應(yīng)法則、定義域、值域等問題的求解.教材可以在介紹映射這部分知識時介紹復(fù)合映射，這樣由映射到函數(shù)，由復(fù)合映射到復(fù)合函數(shù)就顯得順理成章，對基于復(fù)合函數(shù)概念的應(yīng)用解答起來就更有章可循.

（二）中學(xué)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)要兼顧學(xué)生的升學(xué)和發(fā)展

教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者，教學(xué)的內(nèi)容除了要考慮學(xué)生的升學(xué)之需外，同時還應(yīng)該兼顧學(xué)生的發(fā)展之需.一些對學(xué)生的當(dāng)下學(xué)習(xí)和未來發(fā)展有利的內(nèi)容，即使是被放在了教材中的選修部分，也不能因?yàn)樯龑W(xué)考試中不作要求就不進(jìn)行講解.如三角恒等式中的積化和差、和差化積公式，教師在實(shí)際的教學(xué)中對待這部分內(nèi)容不能因?yàn)槠浔毁N上選修的標(biāo)簽，就對其置之不理，而應(yīng)該既給學(xué)生講解公式是什么，又給學(xué)生講解推導(dǎo)公式過程中的涉及到的一些數(shù)學(xué)思想方法，這也是數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì).正如德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲所言，數(shù)學(xué)的本質(zhì)不在于它的對象，而在于它的思想方法.因此，中學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要基于學(xué)生的升學(xué)和發(fā)展的切實(shí)需要，將數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)容教給學(xué)生.

參考文獻(xiàn)：

[1]吳強(qiáng)，李建平，朱健民.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容改革對高等數(shù)學(xué)教學(xué)影響的客觀分析及對策[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2008，24（4）：10-13.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2003.

[3]朱小蔓，王慧.關(guān)于大中小學(xué)德育課程銜接的思考[J].課程·教材·教法，2014，（34）1：44-49.