江蘇省昆山市葛江中學(xué) 周小明 (郵編:215300)

教 學(xué)參 考

從中考閱卷分析初中概率教學(xué)對(duì)策

江蘇省昆山市葛江中學(xué) 周小明 (郵編:215300)

2016年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)卷第23題注重基礎(chǔ),關(guān)注學(xué)生思維;注重聯(lián)系,關(guān)注知識(shí)應(yīng)用;注重實(shí)踐,關(guān)注探究能力;注重遷移,關(guān)注數(shù)學(xué)素養(yǎng).結(jié)合中考閱卷情況,在分析學(xué)生答題的基礎(chǔ)上進(jìn)行思考,從語言表達(dá)、四基、知識(shí)聯(lián)系、能力提升、思維發(fā)展等方面對(duì)初中概率教學(xué)提出了建議.

互聯(lián)互通;能力提升;思維發(fā)展

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)要求:“能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡(jiǎn)單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果,以及指定事件發(fā)生的所有可能的結(jié)果,了解事件的概率”.2016年蘇州市初中畢業(yè)暨升學(xué)考試數(shù)學(xué)卷第23題就是對(duì)《課標(biāo)》這一要求的積極響應(yīng),本人作為本題的閱卷組長(zhǎng),參與了本題的閱卷、分析的全過程,下面對(duì)考生對(duì)本題的解答情況做初步分析,并對(duì)初中數(shù)學(xué)的概率教學(xué)提出一些針對(duì)性的建議.

試題 (2016,蘇州中考23題,滿分8分)在一個(gè)不透明的布袋中裝有三個(gè)小球,小球上分別標(biāo)有數(shù)字－1、0、2,它們除了數(shù)字不同外,其他都完全相同.

(1)隨機(jī)地從布袋中摸出一個(gè)小球,則摸出的球?yàn)闃?biāo)有數(shù)字2的小球的概為

(2)小麗先從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球,記下數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)M的橫坐標(biāo).再將此球放回、攪勻,然后由小華再從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球,記下數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)M的縱坐標(biāo),請(qǐng)用樹狀圖或表格列出點(diǎn)M所有可能的坐標(biāo),并求出點(diǎn)M落在如圖所示的正方形網(wǎng)格內(nèi)(包括邊界)的概率.

1 試題分析

本題解答概況分析:本題總分是8分,考生平均得分在6.8分左右,失分主要集中在第2小題.

1.1 試題評(píng)價(jià)

章建躍博士曾談過數(shù)學(xué)“好題”的標(biāo)準(zhǔn),從數(shù)學(xué)角度衡量,“好題”應(yīng):與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān),體現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系性,解題方法自然、多樣,具有自我生長(zhǎng)的能力等;從培養(yǎng)思維能力的角度,則應(yīng)有:問題是自然地,對(duì)學(xué)生的智力有適度的挑戰(zhàn)性,題意明確、不糾纏于細(xì)枝末節(jié),表述形式簡(jiǎn)潔、流暢、好懂等.從這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來衡量,本題關(guān)注了初中概率的核心內(nèi)容、主干知識(shí)(樹狀圖或列表),關(guān)注了概率和圖形與幾何的聯(lián)系,關(guān)注了過程考查(寫坐標(biāo)、求概率),關(guān)注了學(xué)生的思維層次、梯度合理(判斷是否在圖形內(nèi)部),關(guān)注了試題的思想性(滲透了用已知知識(shí)、方法去研究未知領(lǐng)域的科學(xué)的研究方法).在知識(shí)立意上,注重基礎(chǔ),關(guān)注學(xué)生思維;在能力立意上,注重聯(lián)系,關(guān)注知識(shí)應(yīng)用;在考查方向,注重實(shí)踐應(yīng)用,關(guān)注探究能力;在考查內(nèi)容上,注重遷移,關(guān)注數(shù)學(xué)素養(yǎng).本題設(shè)計(jì)新穎,比較全面的考查了初中概率的基本知識(shí)、基本技能、基本思想,強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用,符合《課標(biāo)》對(duì)概率的要求.

1.2 主要考點(diǎn)和常見錯(cuò)誤

第1小題是以摸球?yàn)楸尘暗母怕暑},考生對(duì)試題背景非常熟悉,入手容易,解答也很順利,除了極少部分考生用小數(shù)(0.3)或百分?jǐn)?shù)(33%)取近似值來作為最后的答案外,鮮有考生答錯(cuò).

第2小題在第1小題的基礎(chǔ)上增加了平面直角坐標(biāo)系和正方形的情景,問題包含3個(gè)得分點(diǎn)(考查點(diǎn)),分別是樹狀圖(或表格),點(diǎn)的坐標(biāo)(目標(biāo)總體),點(diǎn)落在網(wǎng)格內(nèi)的概率(目標(biāo)對(duì)象).解答情況整體良好,但同時(shí)存在3個(gè)主要誤解2個(gè)主要障礙和2個(gè)主要失誤.

考查點(diǎn)一 樹狀圖或表格.用樹狀圖、表格解答的考生在人數(shù)上不相上下.但本題還需列點(diǎn)M所有可能的坐標(biāo),求出點(diǎn)M落在正方形網(wǎng)格內(nèi)的概率,用表格解答優(yōu)勢(shì)明顯,說明考生在解答前并沒有仔細(xì)分析,對(duì)波利亞的解題四步驟中的擬定計(jì)劃并沒有好好的實(shí)施.障礙之一:失分的考生主要體現(xiàn)在樹狀圖(或表格)根本就不會(huì),各種似是而非的圖(或表格)多次出現(xiàn).誤解之一:樹狀圖(或表格)中的橫縱坐標(biāo)不是用的題干中所給的3個(gè)小球上的數(shù)字－1、0、2,而是誤用了平面直角坐標(biāo)系中橫軸和縱軸上的5個(gè)整數(shù)－2,－1,0,1,2.誤解之二:認(rèn)為第一次摸球后球沒有放回,導(dǎo)致樹狀圖(或表格)出錯(cuò),從而引起求概率時(shí)的目標(biāo)總體和目標(biāo)對(duì)象都出現(xiàn)錯(cuò)誤.造成這兩個(gè)誤解的主要原因是理解問題(審題)出現(xiàn)了偏差.這一問要求考生用樹狀圖或表格來求解,直接考查考生對(duì)樹狀圖或表格求等可能條件下概率的掌握情況,有較高的效度和信度.

考查點(diǎn)二 列出符合要求的點(diǎn)M的所有可能坐標(biāo).用表格解答的考生基本上都寫出了點(diǎn)的坐標(biāo),因?yàn)楸砀裰杏锌瞻滋?自然而然的就填上了坐標(biāo).也有部分考生雖然不知道樹狀圖和列表,但用窮舉法也列出了點(diǎn)的坐標(biāo).主要失誤之一:部分用樹狀圖解答的考生沒有寫點(diǎn)的坐標(biāo),同樣是由于審題不仔細(xì)造成的.

考查點(diǎn)三 求出點(diǎn)M落在網(wǎng)格內(nèi)(包括邊界)的概率.此小問解決方法較多:最直接的方法就是描點(diǎn),可以用三角形的中位線、三角形相似、一次函數(shù)的解析式等來判斷點(diǎn)是否在圖形內(nèi)部(包括邊界).解題入口很寬,遺憾的是(障礙之二):由于初中數(shù)學(xué)沒有直接學(xué)習(xí)點(diǎn)是否在正方形內(nèi)部的內(nèi)容,相當(dāng)一部分考生判斷點(diǎn)M是否落在正方形網(wǎng)格內(nèi)有障礙,從而導(dǎo)致求概率時(shí)目標(biāo)對(duì)象錯(cuò)誤.主要失誤之二:部分考生直接寫出概率,只要結(jié)果,輕視解答和計(jì)算的過程,答題行為比較隨意.主要誤解之三:出現(xiàn)個(gè)別學(xué)生把判斷點(diǎn)是否在正方形網(wǎng)格內(nèi)的過程寫出來了,并且判斷過程用了很大的篇幅,也許是由于題中出現(xiàn)“求出”的要求,導(dǎo)致個(gè)別考生誤認(rèn)為“求”的主要內(nèi)容是判斷點(diǎn)M落在網(wǎng)格內(nèi)(包括邊界),其實(shí)“求”的主要內(nèi)容應(yīng)該是“概率”,如果把“求出”改為“直接寫出”也許就不會(huì)出現(xiàn)這個(gè)誤解了.

2 主要錯(cuò)因分析

(1)基礎(chǔ)知識(shí)不牢固.樹狀圖(列表)錯(cuò)誤的考生基本就是沒有掌握.樹狀圖和列表是初中生求等可能事件概率最常用的兩種工具.理解簡(jiǎn)單、掌握也容易,絕大部分學(xué)生應(yīng)該熟練掌握并能靈活應(yīng)用.

(2)審題大意.樹狀圖(或表格)出現(xiàn)數(shù)字寫錯(cuò)(用坐標(biāo)軸上的5個(gè)整數(shù))、認(rèn)為球沒有放回、點(diǎn)的坐標(biāo)沒有寫、直接寫出概率的結(jié)果以及把判斷點(diǎn)是否在正方形網(wǎng)格內(nèi)的過程寫出來,大都是審題不仔細(xì)造成的.特別是看到熟悉的背景就認(rèn)為是做過的,從而看題馬虎、審題粗略,連題目要求都沒有看清楚就開始解答,犯了解題的大忌.

(3)知識(shí)遷移、運(yùn)用能力不強(qiáng).點(diǎn)是否在正方形內(nèi)的判斷方法雖然沒有直接講,但初中數(shù)學(xué)學(xué)過點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、正多邊形與圓以及點(diǎn)是否在直線上、是否在雙曲線上、是否在拋物線上,這些方法都是可以借鑒使用的,同時(shí)用最直接的方法:在平面直角坐標(biāo)系中描出這些點(diǎn)也可以判斷.

3 教學(xué)對(duì)策建議

中考試題備受考生、家長(zhǎng)、教師等各方的關(guān)注,對(duì)當(dāng)?shù)氐囊痪€教學(xué)具有較強(qiáng)的導(dǎo)向作用.針對(duì)以上情況,在初中數(shù)學(xué)的概率教學(xué)中可以采取一些針對(duì)性的措施和訓(xùn)練.

3.1 關(guān)注語言,為學(xué)生表達(dá)準(zhǔn)確做好示范

著名教育家葉圣陶說過:“凡是當(dāng)老師的人,絕無例外地要學(xué)好語言,才能做好教育工作和教學(xué)工作.”而數(shù)學(xué)語言作為一門特殊的語言,它精煉、準(zhǔn)確而嚴(yán)謹(jǐn),有其自己獨(dú)特的語言體系:文字語言,圖形語言,符號(hào)語言.它們以不同的方式向?qū)W生們表達(dá)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想.教師在教學(xué)中要做到用詞精煉準(zhǔn)確,用句簡(jiǎn)明扼要,切勿信口開河.但在實(shí)際教學(xué)當(dāng)中,教師可能為了便于學(xué)生的理解而出現(xiàn)了一些生活化、口語化的詞語,或者盲目追求語言的藝術(shù)性而忽視了其嚴(yán)謹(jǐn)性:比如說有的老師常常用“幾率”這個(gè)詞來代替“概率”;“一般地,在一定條件下大量重復(fù)進(jìn)行同一實(shí)驗(yàn)......”很多老師經(jīng)常忽略掉“一般地”這個(gè)詞;等可能條件下的概率忽視“等可能”這一前提;部分學(xué)生用百分?jǐn)?shù)或近似數(shù)來表示概率老師卻沒有及時(shí)糾正.概率中涉及到專用的數(shù)學(xué)語言必須要準(zhǔn)確而規(guī)范,教師的示范作用和糾錯(cuò)作用必須要足夠的重視,為學(xué)生的準(zhǔn)確表達(dá)做好示范.

3.2 關(guān)注教材,為學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)保駕護(hù)航

教材和教材中的一些數(shù)學(xué)模型是中考命題的藍(lán)本,教材的編寫也突出了“基礎(chǔ)知識(shí),基本技能,基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”.“四基”是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的主題,中考概率問題基本都是課本例題、習(xí)題的變式題.教師在立足教材的基礎(chǔ)上,努力挖掘教材的最大教學(xué)效益,注重課本例題、習(xí)題的分析講解,充分利用并發(fā)揮好教材的教學(xué)功能.樹狀圖和列表格作為求等可能條件下的概率的基本工具,有些教師認(rèn)為過于簡(jiǎn)單而忽視,造成部分學(xué)生由于基礎(chǔ)知識(shí)差、基本技能低而出現(xiàn)懂而不會(huì)、會(huì)而不對(duì)的現(xiàn)象,教師平時(shí)應(yīng)該對(duì)沒有掌握的學(xué)生針對(duì)性的個(gè)別輔導(dǎo),及時(shí)反饋,查找缺漏、適時(shí)采取補(bǔ)救措施,學(xué)生掌握并能用來解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題是完全可能的.教學(xué)應(yīng)著重在知識(shí)體系上不留死角,在解題要求上不留后患,在思想方法上不留遺憾.著眼于學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展,穩(wěn)固的基礎(chǔ)是不可或缺的,在夯實(shí)基礎(chǔ)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)能力的提升,努力達(dá)到基礎(chǔ)與能力并駕齊驅(qū)的效果.

3.3 關(guān)注聯(lián)系,為學(xué)生互聯(lián)互通編織網(wǎng)絡(luò)

《課標(biāo)》在“課程總目標(biāo)”中指出:“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),學(xué)生能體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系”.概率的教學(xué)中要處理好概率與數(shù)據(jù)的收集、整理、分析的關(guān)系,處理好概率與決策的關(guān)系,處理好概率與頻率的聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生感悟:概率是建立在頻率的穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上的,頻率和概率雖然分屬于不同的學(xué)科,但他們之間的聯(lián)系說明了統(tǒng)計(jì)與概率這兩門學(xué)科是相互聯(lián)系、相互作用的.既能促進(jìn)新知的學(xué)習(xí),又能加深舊知的鞏固.

處理好概率這一知識(shí)點(diǎn)與整個(gè)初中數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系,讓概率這一知識(shí)點(diǎn)穿梭在“知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系”中,找到它的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”,注重概率這個(gè)知識(shí)點(diǎn)和圖形、方程、函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)之間的銜接和聯(lián)系.引導(dǎo)學(xué)生既注重知識(shí)的階段性,又注重知識(shí)的整體性,既要找到知識(shí)之間的邏輯順序,又要找到知識(shí)之間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系,解讀出概率知識(shí)關(guān)聯(lián)線——確定事件與隨機(jī)事件——數(shù)據(jù)的收集、整理——統(tǒng)計(jì)圖——頻數(shù)、頻率——概率——解決問題(做決策).在概率的教學(xué)中有很多跨學(xué)科的、生活化的素材和背景,教學(xué)中要處理好概率與其他學(xué)科、與社會(huì)上的事件之間的聯(lián)系.把分散的知識(shí)點(diǎn)和不同的學(xué)科、生活如同拼圖一樣彌合起來,如同織物一樣編織在一起.

3.4 關(guān)注變式訓(xùn)練,為學(xué)生提煉共性滲透思想

要想學(xué)生能夠“做一題,會(huì)一類”,教學(xué)中不能簡(jiǎn)單的就題論題,要有相應(yīng)的變式訓(xùn)練,對(duì)一個(gè)問題從不同情形、不同角度、不同層次、不同背景做出有效的變化,使其條件或形式發(fā)生變化.這樣可以把一個(gè)看似孤立的問題從不同方面向外擴(kuò)散,揭示不同問題間的共性,并形成一個(gè)有規(guī)律可尋的系列,幫助學(xué)生在問題的解答過程中去尋找解類似問題的思路、方法,關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的滲透.一題多變可以開闊學(xué)生視野:讓學(xué)生注意到同一個(gè)背景下有不同問題出現(xiàn),不同的背景下也許有相同的解題思路,多次的變式訓(xùn)練后讓學(xué)生明白:題目的重點(diǎn)不在相同的背景、而在于不同的題設(shè).

初中概率教學(xué)雖然與生活聯(lián)系緊密,但問題的背景其實(shí)也很單調(diào):大多都是圍繞摸球、擲骰子、拋硬幣、抽卡片(或撲克牌)等展開問題.本題(2016年蘇州中考第23題)也是如此,但第(2)問的設(shè)置就給人耳目一新的感覺.為一線教師在教學(xué)中的變式訓(xùn)練指明了方向:變式可以與生活聯(lián)系、學(xué)科內(nèi)遷移、跨學(xué)科整合.讓學(xué)生通過變式訓(xùn)練促進(jìn)知識(shí)的活化、深化、內(nèi)化.

3.5 關(guān)注解題步驟,為學(xué)生能力提升架橋鋪路

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞告訴我們解題的四個(gè)步驟:理解問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧與檢驗(yàn).弄清、理解問題(審題)是解題的前提條件,題目的條件是什么?結(jié)論是什么?只有理解題意,才能進(jìn)入擬定解題計(jì)劃的過程,擬定計(jì)劃則重中之重.“你以前見過它嗎?你是否知道與此有關(guān)的問題?這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有聯(lián)系且早已解決的問題.你能不能利用它?……”經(jīng)歷一系列的自問自答,問題的解決思路及所給的每一個(gè)條件的作用就逐漸明晰了.接下來實(shí)現(xiàn)解題計(jì)劃并檢驗(yàn)每一步驟,檢查結(jié)果并檢驗(yàn)其正確性,思考是否能換一個(gè)方法做這個(gè)題,并嘗試把你的結(jié)果和方法用到其他問題上.

本題中考生的3個(gè)誤解和2個(gè)失誤中,有理解題意的疏漏(數(shù)字寫錯(cuò),球沒放回,判斷點(diǎn)是否在網(wǎng)格內(nèi)的過程寫出來),有計(jì)劃探求的失誤(如果用表格基本就不會(huì)出現(xiàn)坐標(biāo)不寫的問題了),有書寫表達(dá)的不規(guī)范(直接寫出概率的結(jié)果),也有回顧反思的忽視.波利亞的解題四步驟給出了一套解決數(shù)學(xué)問題的一般方法與模式,同時(shí)揭示了解題中的思維方法、思維過程.教學(xué)和平時(shí)的練習(xí)中要求學(xué)生認(rèn)清每一個(gè)條件,從題目中提煉有用信息,把已知和未知用所學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來,書寫、表達(dá)規(guī)范……,悉心體會(huì)并把握好每個(gè)步驟的要領(lǐng),對(duì)學(xué)生解題能力、解題效率的提升會(huì)起到很大的幫助作用.

3.6 關(guān)注應(yīng)用創(chuàng)新,為學(xué)生思維發(fā)展放飛空間

在實(shí)施素質(zhì)教育的今天,創(chuàng)造性和發(fā)散性思維越發(fā)重要,因此學(xué)生應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的養(yǎng)成顯得尤為重要.“錢學(xué)森之問”對(duì)學(xué)校教育指明了方向,沒有創(chuàng)造性思維的培養(yǎng),也不可能培養(yǎng)出創(chuàng)新型人才.在概率的教學(xué)中,可以通過一題多解來提升學(xué)生解決問題的遷移內(nèi)化能力,通過設(shè)置開放性問題來強(qiáng)化轉(zhuǎn)化策略,課堂上多一些學(xué)生自己的見解,特別要凸顯“怎么想到的”的思維過程,以供其他同學(xué)借鑒.

概率的最大特點(diǎn)是它的應(yīng)用性,不但和生活中的游戲公平性、中獎(jiǎng)、點(diǎn)數(shù)、區(qū)域配色、風(fēng)險(xiǎn)預(yù)估、決策方案等緊密聯(lián)系,還在其它領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.在概率教學(xué)中,現(xiàn)實(shí)背景的趣味性和豐富性、應(yīng)用途徑的多樣性、問題解決的挑戰(zhàn)性,都有利于學(xué)生構(gòu)建具有自我生長(zhǎng)性的學(xué)習(xí)環(huán)境.學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光關(guān)注生活,用數(shù)學(xué)的思維分析社會(huì)現(xiàn)象,用數(shù)學(xué)的方法解決各種相關(guān)問題的習(xí)慣.獲得問題解決的技能、思想創(chuàng)新的策略、思維發(fā)展的空間.

1 中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[S].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012

2 教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》解讀[M].北京:北京大學(xué)出版社,2012:62

3 石樹偉.從“冰冷的美麗”到“火熱的思考”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中旬),2017(3):56-58

4 李明樹.感悟思想把握本質(zhì)[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué), 2017(3):37-39

5 徐英,楊光偉.中國與新加坡課程標(biāo)準(zhǔn)初中學(xué)段“統(tǒng)計(jì)與概率”的比較研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2013,(4): 28-30

2017-07-05)