張 佳 寧

(遼寧工程技術(shù)大學(xué)土木工程學(xué)院，遼寧 阜新 123000)

1 概述

樹狀結(jié)構(gòu)是德國建筑師Frei Otto于20世紀60年代基于仿生學(xué)概念提出的一種新型仿生結(jié)構(gòu)形式，由于其良好的受力性能和美觀的結(jié)構(gòu)外形在廣大的設(shè)計師和工程師中得到了廣泛的關(guān)注[1-7]。樹狀結(jié)構(gòu)的傳力特點是將作用于結(jié)構(gòu)頂部大范圍荷載沿著分支傳遞到最低級的分支，形成力流，逐級向下傳遞，最后匯聚到樹干，進而傳遞到地面上的一點。具有較高的結(jié)構(gòu)效率[8]，從而被廣泛的應(yīng)用于大型建筑中，如圖1所示。由于其美觀的結(jié)構(gòu)外形，樹狀結(jié)構(gòu)往往會成為地標(biāo)性建筑[1,5]。

通過以樹狀結(jié)構(gòu)作為支撐的火車站，機場等一些大跨度空間結(jié)構(gòu)，支撐起來的屋頂結(jié)構(gòu)的剛度要大大超過了樹狀結(jié)構(gòu)自身的剛度。而且樹狀結(jié)構(gòu)像自然界中的樹一樣向外擴展，直接的使自身所要承受的屋頂跨度和撓度減小，這樣就可以忽略屋頂結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的變形，假定屋頂剛度遠大于樹狀結(jié)構(gòu)自身的剛度，基于這一假定，屋頂除了會向下傳遞荷載外，樹狀結(jié)構(gòu)還會遭受到水平力的作用，而且樹狀結(jié)構(gòu)自身受力比較均勻，當(dāng)結(jié)構(gòu)遭受的荷載或者外力到達一定值時，繼續(xù)施加荷載，結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)就會發(fā)生非常大的改變，這時所出現(xiàn)的現(xiàn)象就稱之為結(jié)構(gòu)失穩(wěn)或者結(jié)構(gòu)屈曲。

在壓力的作用下，構(gòu)件會出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象。所以，不論是整體結(jié)構(gòu)還是單一的構(gòu)件都需要考慮結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性問題，結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性是樹狀結(jié)構(gòu)整體受力性能至關(guān)重要的因素。本文作者[9]已對樹狀結(jié)構(gòu)的找形和優(yōu)化進行了研究，但還未分析樹狀結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)特征和穩(wěn)定承載力[15]。本文針對于樹狀結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性分析進行了系統(tǒng)的研究與闡述，其中主要分為兩部分：分別對樹狀結(jié)構(gòu)找形前和找形后進行特征值屈曲分析和非線性屈曲分析，借此來驗證找形對于樹狀結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響。

2 模型建立

2.1 幾何參數(shù)

樹狀結(jié)構(gòu)的組成部分可以根據(jù)它們相對于樹干位置進行分類，如圖2所示。從樹干上分出的支條被定義為一級分支，從一級分支構(gòu)件分出被劃分為二級分支。屬于第i級分支的構(gòu)件分出被劃分為第(i+1)級分支。樹狀結(jié)構(gòu)連接節(jié)點可以根據(jù)每級分支的數(shù)量進行分類。不同連接類型的示意圖如圖3所示。各級分支長度如表1所示。其中Si表示樹狀結(jié)構(gòu)類型。

表1 不同情況下樹狀結(jié)構(gòu)各級分支計算長度

m

如圖4所示為樹狀結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)，H0指樹狀結(jié)構(gòu)樹干高度；Hi為第i級分支的高度;參數(shù)li指的是結(jié)構(gòu)軸向上第i級分支的長度;參數(shù)Ф指的是一個分支與其更高級分支在軸向之間的夾角。各級樹狀結(jié)構(gòu)分支夾角如表2所示。樹狀結(jié)構(gòu)截面參數(shù)見表3。

表2 不同情況下樹狀結(jié)構(gòu)各級分支計算角度

(°)

表3 樹狀結(jié)構(gòu)截面參數(shù)

2.2 有限元模型及邊界條件

通過通用有限元軟件ANSYS建立樹狀結(jié)構(gòu)，采用雙單元法[10-12]建立簡化模型，這種方法假定樹狀結(jié)構(gòu)的每一個構(gòu)件由兩個單元組成，即只有抗彎剛度的梁單元和沒有抗彎剛度的梁單元。桿單元的橫截面積遠大于梁單元，梁單元的抗彎剛度遠大于桿單元。在找形分析中，降低抗彎剛度以減小抗彎剛度的影響，因此梁單元可以更好的模擬絲線模型[13,14]。基于逆吊法[3-5]的基本思想在上方施加指定的載荷。如圖5所示為雙單元法建立的五級6-4-4-2-2樹狀結(jié)構(gòu)簡化模型。

根據(jù)連接形式的不同，一般屋架結(jié)構(gòu)與下部支撐結(jié)構(gòu)采用剛接或者鉸接，本文在考慮樹狀結(jié)構(gòu)的基本受力狀態(tài)，采用鉸接的形式，樹干底部采用固接形式，結(jié)構(gòu)的頂層各個節(jié)點豎直方向施加5 kN的荷載，如圖6所示。

2.3 找形分析

趙中偉等[7]提出并利用雙單元法模擬樹狀結(jié)構(gòu)。在本文中，上端在x和y方向上的平移度是固定的，樹干部位的平移程度均固定。在找形分析中只有水平坐標(biāo)發(fā)生變化。在數(shù)值分析中，根據(jù)逆吊法的基本概念，向上施加指定載荷。然后進行模擬分析，得到節(jié)點位移。提取所有節(jié)點的水平位移，將水平位移與初始節(jié)點坐標(biāo)求和得出新的節(jié)點坐標(biāo)，通過新的節(jié)點坐標(biāo)建立樹狀結(jié)構(gòu)的雙單元數(shù)值模型，重新計算，通過樹狀結(jié)構(gòu)找形分析的迭代程序，直到節(jié)點的最大位移小于允許誤差為止。這樣通過多次迭代，所有構(gòu)件均只受軸力的作用，彎矩較小可以忽略不計。

3 非線性屈曲分析

為了進一步探討樹狀結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)缺陷和結(jié)構(gòu)失穩(wěn)機理，對樹狀結(jié)構(gòu)進行非線性屈曲分析。其中考慮幾何非線性對于樹狀結(jié)構(gòu)的整體穩(wěn)定性能的影響。目前非線屈曲分析的應(yīng)用已經(jīng)很成熟了。

在固體力學(xué)的問題中，所有現(xiàn)象都是非線性的。然而在工程項目中遇見的很多工程問題，近似地使用線性理論來處理是簡單切實可行，并且符合工程中的精度要求。

結(jié)構(gòu)的非線性分析問題可以分為三大類：幾何非線性問題，材料非線性問題，狀態(tài)非線性問題。一般來說，結(jié)構(gòu)非線性問題并不是單純的某一類問題，可能需要同時考慮共同作用的非線性問題，其中包括三種非線性問題并存的情況，這些問題都可以用ANSYS來解決。

非線性方程一般采用Newton-Raphon方法，這是求解非線性方程的線性化方法，對于樹狀結(jié)構(gòu)來說，應(yīng)考慮的是幾何非線性問題，結(jié)構(gòu)的平衡方程為：

[K({u})]{u}={F}

(1)

寫成NR法迭代公式為：

[KT({u}n)]{Δu}n+1={F}-{F}n

(2)

{u}n+1={u}n+{Δu}n+1

(3)

本節(jié)對樹狀結(jié)構(gòu)進行非線性屈曲分析時，在進行非線性屈曲分析過程中，根據(jù)結(jié)構(gòu)在特征值屈曲分析過程中得到的一階失穩(wěn)模態(tài)施加初始缺陷。材料的非線性考慮使用理想狀態(tài)下的彈塑性模型。在進入求解狀態(tài)時，采用弧長法對樹狀結(jié)構(gòu)進行非線性整體分析。

3.1 樹狀結(jié)構(gòu)找形前非線性分析

為了探究在樹狀結(jié)構(gòu)非線性屈曲分析找形對于樹狀結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響，先對于5-6-4-4-2-2分支形式的樹狀結(jié)構(gòu)進行非線性分析，選取施加不同程度的初始缺陷大小，研究在不同參數(shù)狀態(tài)下的樹狀結(jié)構(gòu)失穩(wěn)形態(tài)和失穩(wěn)過程。如圖7所示為首先施加H/300的初始缺陷。

如圖7所示，選取樹干部位與一級分支連接處的7031節(jié)點，給出了在H/300的初始缺陷下樹狀結(jié)構(gòu)的荷載—位移曲線，可以清晰的看出，在幾何非線性條件下，樹狀結(jié)構(gòu)的荷載—位移曲線非常圓滑，在結(jié)構(gòu)失穩(wěn)變形后，尤其是發(fā)生大變形時，樹狀結(jié)構(gòu)在一定范圍內(nèi)還可以承擔(dān)荷載，在結(jié)構(gòu)達到負向的最大位移后，又趨向正向位移，此時樹干受力形式從受壓失穩(wěn)轉(zhuǎn)向受拉失穩(wěn)。同時，從圖中可以清晰的發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)失穩(wěn)已經(jīng)從樹干失穩(wěn)轉(zhuǎn)向了樹狀結(jié)構(gòu)外部高級分支的失穩(wěn)。通過樹狀結(jié)構(gòu)失穩(wěn)變形圖，可以發(fā)現(xiàn)，在考慮幾何非線性條件下樹狀結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)破壞形式和特征值屈曲分析中一階模態(tài)失穩(wěn)破壞比較相似，最大位移處也發(fā)生在最高級分支頂部邊緣處。

3.2 樹狀結(jié)構(gòu)找形后非線性分析

對樹狀結(jié)構(gòu)進行找形，探究找形對樹狀結(jié)構(gòu)非線性屈曲分析的影響，在找形后施加相同條件的初始缺陷，研究找形后樹狀結(jié)構(gòu)失穩(wěn)形態(tài)和失穩(wěn)過程。施加H/300的初始缺陷。

如圖8可以清晰的看到在H/300的初始缺陷下找形后樹狀結(jié)構(gòu)的荷載—位移曲線，在幾何非線性條件下，樹狀結(jié)構(gòu)的荷載—位移曲線非常圓滑，在結(jié)構(gòu)失穩(wěn)變形后，尤其是發(fā)生大變形時，樹狀結(jié)構(gòu)在一定范圍內(nèi)還可以承擔(dān)荷載，在結(jié)構(gòu)達到負向的最大位移后，樹狀結(jié)構(gòu)從局部受壓轉(zhuǎn)向局部受拉?？梢悦黠@看出樹狀結(jié)構(gòu)樹干部位變形明顯，和找形前進行對比，分支部位變形較小。

通過樹狀結(jié)構(gòu)失穩(wěn)變形圖，可以得出一階模態(tài)失穩(wěn)破壞變形圖，數(shù)據(jù)表明，樹狀結(jié)構(gòu)的最大位移處發(fā)生在樹根部位與最高級分支頂部邊緣處。

通過對比研究，結(jié)果表明，樹狀結(jié)構(gòu)的非線性失穩(wěn)模態(tài)，一般不受初始缺陷的影響。

4 結(jié)語

本文對找形前后的樹狀結(jié)構(gòu)進行了穩(wěn)定特性分析。以雙單元法建立的樹狀結(jié)構(gòu)數(shù)值模型為基礎(chǔ)，提出了樹狀結(jié)構(gòu)的非線性屈曲分析。

1)結(jié)果顯示找形對于樹狀結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性并沒有太大的影響，在找形前后并沒有明顯改變樹狀結(jié)構(gòu)失穩(wěn)形態(tài)。在給定荷載下，大跨度樹狀結(jié)構(gòu)的各個分支因軸力或者軸力與彎矩的共同作用，結(jié)構(gòu)發(fā)生的失穩(wěn)位移更加明顯。

2)基于幾何非線性對樹狀結(jié)構(gòu)的整體穩(wěn)定性進行了非線性分析。找形前樹狀結(jié)構(gòu)受初始缺陷影響不大，找形后樹狀結(jié)構(gòu)在失穩(wěn)后仍能在一定范圍內(nèi)承擔(dān)荷載。

3)通過樹狀結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性分析發(fā)現(xiàn)，樹狀結(jié)構(gòu)受樹干，一級分支以及結(jié)構(gòu)跨度對結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性起著明顯的作用，設(shè)計時可以通過增加樹干和一級分支剛度，減小結(jié)構(gòu)跨度等方法來提高樹狀結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。