廣東省惠州市第一中學(xué)高中部 李曉波 (郵編:516007)

廣東省惠州市博羅中學(xué)高中部 易 敏 (郵編:516100)

2017年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷理科壓軸題的解法分析

廣東省惠州市第一中學(xué)高中部 李曉波 (郵編:516007)

廣東省惠州市博羅中學(xué)高中部 易 敏 (郵編:516100)

2017年的高考已落下帷幕,今年的全國(guó)新課標(biāo)卷1理科壓軸題簡(jiǎn)明而清新,突出考查學(xué)生的分類討論與數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,要求學(xué)生有較好的處理函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的基本功和綜合能力,它承載著選拔的功能,但并不是讓學(xué)生感到“不可一試”,筆者按自己的解答撰文評(píng)析,供讀者參考.

題目 (2017年全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅰ理科21題)

已知函數(shù)fx()＝ae2x＋(a－2)ex－x.

(1)討論fx()的單調(diào)性;

(2)若fx()有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.為了方便,我們只討論第二問.

解法1 (“站在第一問的肩膀上”)

(i)當(dāng)a≤0時(shí),由(1)知,fx()在－∞,＋∞(

)上遞減,fx()最多有一個(gè)零點(diǎn).(ii)當(dāng)a＞0,由(1)知,fx()的最小值＋lna.又由于(或f(－2)＞0),＝＋∞(或＞0),因此要使f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則必須＋lna＜0,而g′(a)＝0,則g(a)在(0,＋∞)單調(diào)遞增,且g(1)＝0.于是0＜a＜1時(shí),g(a)＜0.即a∈(0,1),f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

評(píng)注 此解法較好地利用了第一問的結(jié)論,由(1)可知若fx()有兩個(gè)零點(diǎn),則必須使fx()的最小值小于0,然后把a(bǔ)的范圍解出來,并說明在最小值點(diǎn)的左右兩邊各取到一個(gè)零點(diǎn)即可(或者用極限方法說明).這應(yīng)該是最多考生采用的方法,比較簡(jiǎn)潔.

解法2 (“參變分離”)

圖1

評(píng)注 這種解法實(shí)質(zhì)是進(jìn)行參變分離,f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),轉(zhuǎn)化為y＝a與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),從而研

究函數(shù)y＝g(x)的圖象,再結(jié)合圖象求出a的范圍.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是思路明確,y＝a這個(gè)函數(shù)比較簡(jiǎn)單,缺點(diǎn)是函數(shù)的求導(dǎo)

等運(yùn)算比較復(fù)雜,在確定它的單調(diào)性后,還需要用極限思想(可能需要結(jié)合洛必達(dá)法則)去判斷并準(zhǔn)確地畫出函數(shù)的圖象.

解法3 (轉(zhuǎn)化為“一直一曲”)

令t＝ex,由f(x)＝0得g(t)＝at2＋(a－2)t－lnt,t＞0.

f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)即轉(zhuǎn)化為g(t)有兩個(gè)零點(diǎn).由g(t)＝0得

(i)當(dāng)a≤0時(shí),h(t)＝a(t＋1)＜0,此時(shí)y＝h(t)與y＝k(t)只有一個(gè)交點(diǎn).

(ii)當(dāng)a≥1時(shí),h(t)＝a(t＋1)≥t＋1.

所以F(t)在(0,1)遞減,在(0,1)遞增,因此F(t)的最小值為F(1)＝0,即,當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)取等號(hào).

所以y＝h(t)與y＝k(t)最多只有一個(gè)交點(diǎn).

(iii)當(dāng)0＜a＜1時(shí),h(1)＜k(1),當(dāng)t→0＋時(shí),當(dāng)t→＋∞時(shí)

所以y＝h(t)與y＝k(t)有兩個(gè)交點(diǎn).

綜上所述,當(dāng)0＜a＜1時(shí)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

評(píng)注 此方法與解法二的類似之處就是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題,是典型的轉(zhuǎn)化為“一曲一直”,雖然過程比解法二復(fù)雜一些,但是,它也是一種典型的轉(zhuǎn)化方法.

解法4 (轉(zhuǎn)化為“兩曲”)

令t＝ex,方程變形為g(t)＝at2＋(a－2)t－lnt,t＞0,g(t)有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成曲線h(t)＝at2＋(a－2)t與F(t)＝lnt有兩個(gè)交點(diǎn).(i)當(dāng)a＜0時(shí),令h(t)＝0得t＝0(舍去),

1＜0(舍去),此時(shí)h(t),F(t)最多只有一個(gè)交點(diǎn),不符題意,如圖2.

(ii)當(dāng)a＝0時(shí),h(t)＝－2t,此時(shí)h(t), F(t)只有一個(gè)交點(diǎn),不符題意.

(iii)當(dāng)a＞0時(shí),y＝h(t)的開口向上, h(t)＝0有解t1＝0(舍去),

圖2

故g(t)≥0.此時(shí)g(t)不可能有兩個(gè)零點(diǎn),如圖3.

圖3

圖4

此時(shí)h(t)與g(t)有兩個(gè)交點(diǎn),符合題意.綜上所述,當(dāng)0＜a＜1時(shí),f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),如圖4.

評(píng)注 本法轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)和一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù),雖然兩個(gè)都是曲線,但是這兩個(gè)函數(shù)都是學(xué)生熟悉的典型函數(shù),再加上一點(diǎn)數(shù)形結(jié)合的思想,不難解決.

事實(shí)上,如果我們?cè)俅竽懙亻_拓我們的思維,還可以轉(zhuǎn)化為如下兩個(gè)函數(shù)問題.

解法5 (轉(zhuǎn)化為“一凹一凸”)

(i)當(dāng)a≤0時(shí),g′(x)＝aex≤0,所以g(x)在R上單調(diào)遞減且恒小于0.y＝g(x)與y＝h(x)不可能有兩個(gè)交點(diǎn).

圖5

(ii)當(dāng)a≥1時(shí), g(x)＝aex＋a≥ex＋1.

下面證明ex＋1≥2

(iii)當(dāng)0＜a＜1時(shí),可知,g(0)＜h(0),且g(－2)＞h(－2),當(dāng)x→＋∞時(shí),顯然g(x)＞h(x),所以y＝g(x)與y＝h(x)有兩個(gè)交點(diǎn),如圖6.

綜上所述,當(dāng)0＜a＜1時(shí),f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

圖6

2017-06-29)