安徽省蚌埠市教育科學(xué)研究所 陳耀忠 (郵編:233000)

安徽省蚌埠市第六中學(xué) 仲立群 (郵編:233000)

黃金分割圖形薈萃 數(shù)學(xué)文化日漸風(fēng)流
——2017年安徽中考第23題賞析與研究

安徽省蚌埠市教育科學(xué)研究所 陳耀忠 (郵編:233000)

安徽省蚌埠市第六中學(xué) 仲立群 (郵編:233000)

2017年安徽初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷第23題作為壓軸題,梯度明顯、難度適宜、解法多樣,源于教材基本圖形,嫁接經(jīng)典的黃金分割圖形,立意高妙,蘊(yùn)含豐富,啟示一線(xiàn)教師從更深層次關(guān)注初中平面幾何教學(xué),思考初中數(shù)學(xué)教學(xué).

解法研究;弦圖、黃金分割;數(shù)學(xué)文化;教學(xué)啟示

2017年中考落下帷幕,我們看到安徽省壓軸題與前兩年相比難度有所下降,風(fēng)格也由前兩年動(dòng)態(tài)幾何(雙等腰三角形旋轉(zhuǎn)變換)回歸為確定性圖形性質(zhì)的研究,小題之間梯度明顯,設(shè)問(wèn)方式各不相同,問(wèn)題難度層層遞進(jìn),很好地落實(shí)課標(biāo)精神、反映考綱要求,體現(xiàn)了學(xué)業(yè)水平考試的定位以及兼顧高中選拔的需求,是一道經(jīng)典的平面幾何好題.賞析如下:

圖1

1 試題與解法研究

試題 (2017年安徽省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷第23題)已知正方形ABCD,點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn).

(1)如圖1,點(diǎn)G為線(xiàn)段CM上一點(diǎn),且∠AGB＝90°,延長(zhǎng)AG、BG分別與邊BC、CD交于點(diǎn)E、F.

①求證:BE＝CF;

圖2

②求證:BE2＝BC ·CE.

(2)如圖2,在邊BC上取一點(diǎn)E,滿(mǎn)足BE2＝BC· CE,連接AE交CM于點(diǎn)G,連接BG并延長(zhǎng)延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F,求tan∠CBF的值.

本題以正方形為背景,因此解析法是比較容易想到的證法,限于篇幅,解析法和官方答案不再贅述!

下面重點(diǎn)研究第(1)小題第②問(wèn)和第(2)小

圖15

定理2 點(diǎn)E、F、G、H分別在正方形ABCD的四條邊BC、CD、DA、AB上(如圖16),若EG⊥FH,則EG＝FH.

圖16

圖16 中E、F、G、H若為正方形四邊中點(diǎn),所得圖形即為古埃及三角形(據(jù)傳為古埃及構(gòu)造3∶4∶5的直角三角形的圖形,如圖17),有以下性質(zhì):

圖17

定理3 已知E、F、G、H分別是正方形ABCD的邊BC、CD、DA、AB的中點(diǎn),AE、BF交于點(diǎn)P,則PF∶PA∶AF＝3∶4∶5.

本題證明不難,可以通過(guò)勾股定理計(jì)算得到,也可以通過(guò)建立直角坐標(biāo)系運(yùn)用解析法實(shí)現(xiàn)證明,還可以通過(guò)先證明PD＝PA,再延長(zhǎng)DP交BE于點(diǎn)M進(jìn)行證明(略).另外圖18其實(shí)給出了一個(gè)無(wú)字證明(Without wordproof).

圖18

由于圖17具有對(duì)稱(chēng)性,內(nèi)含極其豐富的性質(zhì),深受廣大幾何愛(ài)好者和命題專(zhuān)家的青睞,如下面例1.

圖19

例1 (全國(guó)初中競(jìng)賽試題)在△ABC中,AB＝AC,AB⊥AC,D為AC中點(diǎn),AE⊥BD交BC于E,交BD于H,求證:∠ADB＝∠CDE.

圖20

本題證法多樣,圖形簡(jiǎn)潔,性質(zhì)豐富.

本人結(jié)合自己的研究,根據(jù)此圖曾在一些初中教師群中提出:

定理4 如圖20,在△ABC中,AB＝AC,AB⊥AC.

①AD＝DC;②BE＝2EC;③AE⊥BD;④∠ADB＝∠CDE;⑤∠AEB＝∠CED;⑥∠BHC＝135°.

以其中任意兩個(gè)作為條件均可證明其余四個(gè)結(jié)論都正確!

本圖還有以下結(jié)論:

①∠DHC＝∠EHC;②∠ACH＝∠HBC;③∠BHC＝∠HAC;

④∠HBC＋∠HCB＝∠HAC＋∠HCA＝45°;

⑤△ABE∽△DCE;⑥△ACH∽△BHE;⑦BH∶HC＝

有興趣的讀者請(qǐng)自行研究,這也是初中平面幾何練習(xí)很好的素材.

2 關(guān)于黃金分割點(diǎn)作圖及圖形性質(zhì)研究

在本題中,其實(shí)給出了兩種關(guān)于黃金分割點(diǎn)的作圖:

方法一 (在直角邊為1∶2的直角三角形中的作圖)在直角△MBC中,MB∶BC＝1∶2,在MC上截取MG＝MB,則點(diǎn)G是線(xiàn)段MC的一個(gè)黃金分割點(diǎn)(如圖1所示),即CG2＝CM ·GM.

方法二 (依托正方形作圖,即本題第(1)問(wèn))在正方形ABCD中,取AB邊的中點(diǎn)M,連接MC,并在MC上截取MG＝MB,延長(zhǎng)AG交邊BC于點(diǎn)E,則點(diǎn)E為線(xiàn)段BC的一個(gè)黃金分割點(diǎn),即BE2＝BC·CE.

在幾何原本中還有一種作法,介紹如下:

圖21

方法三 在正方形ABCD中取邊AB的中點(diǎn)M,以M為圓心,MC為半徑做圓弧,交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,以BE為邊作正方形BEFG(如圖21所示),點(diǎn)G在邊BC上,則點(diǎn)G為線(xiàn)段BC的一個(gè)黃金分割點(diǎn),即BG2＝BC·CG.

圖22

其實(shí),本題圖形就源于方法三的作圖,隱去輔助正方形,并以另一種方式呈現(xiàn)出來(lái).上面的論述也證明了此作圖的正確性.

圖23

最近流行的折紙幾何中也給出了另一種黃金分割點(diǎn)的給出方式:

圖24

方法四 將正方形ABCD對(duì)折,得到折痕EF,再次對(duì)折,得到折痕AF,鋪平后折疊,使得點(diǎn)B落在折痕AF上(如圖22),得到折痕AG(點(diǎn)G在BC上),則點(diǎn)G為線(xiàn)段BC的一個(gè)黃金分割點(diǎn),即BG2＝BC·CG.(延長(zhǎng)AF交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于M,利用AG平分∠FAB即可證明).

關(guān)于黃金分割點(diǎn)的產(chǎn)生有多種方式,如利用黃金矩形、黃金三角形等等都可以,在各種教材及各級(jí)考試中都有見(jiàn)到,在此不再整理,請(qǐng)各位同仁見(jiàn)諒!

3 問(wèn)題延伸

從兩個(gè)角度進(jìn)行延伸:

3.1 正方形中BE∶EC與AM∶MB的數(shù)量關(guān)系研究

如圖23,M為正方形ABCD的邊AB上任意一點(diǎn)(與A、B不重合),以AB為直徑的圓交CM于點(diǎn)G,AG、BG交BC、CD于E、F,若＝k,求的值.

延長(zhǎng)AE、DC交于點(diǎn)N,不妨假設(shè)MB＝1,則AM＝k,AB＝BC＝k＋1,且設(shè)所求,則

當(dāng)M為AB中點(diǎn)即k＝1時(shí),是上述問(wèn)題的特例.

3.2 將正方形一般化為矩形

如圖24,M為長(zhǎng)方形ABCD的邊AB的中點(diǎn),以AB為直徑的圓交CM于點(diǎn)G,AG、BG交 BC、CD于E、F,則

證明比較簡(jiǎn)單,不再贅述!

4 教學(xué)啟示

4.1 立足《課程課標(biāo)》,重視挖掘教材,在教材中尋找教學(xué)素材和教學(xué)的衍生問(wèn)題

教材是為了實(shí)現(xiàn)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求編寫(xiě)的,為“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了學(xué)習(xí)主題、基本線(xiàn)索和知識(shí)結(jié)構(gòu)”,是“實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源”.

應(yīng)該說(shuō),目前各版本的數(shù)學(xué)教材質(zhì)量均是上乘的,內(nèi)容清晰準(zhǔn)確,素材豐富多樣,過(guò)程符合教學(xué)需求,情景提供比較恰當(dāng),問(wèn)題探究、例題示范、變式思考、練習(xí)反饋、課外延伸等欄目豐富.

教材中的例題、習(xí)題,以及公式、定理,其實(shí)都可以適度“變臉”或深度“改造”,甚至還可以進(jìn)一步探究,其蘊(yùn)含內(nèi)容往往深刻而豐富.教學(xué)時(shí),老師們要養(yǎng)成根據(jù)教學(xué)需要,不斷從學(xué)生認(rèn)知角度出發(fā),挖掘服務(wù)于教學(xué)目標(biāo)、有利于目標(biāo)達(dá)成、立足于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)素材,尤其是學(xué)生的反饋練習(xí)選擇,不必完全照抄教輔資料上自認(rèn)為很好的習(xí)題而忽視教材中的例習(xí)題.應(yīng)該說(shuō),教材上的習(xí)題能很好地承接相關(guān)概念和典型例題,難度適宜,目的明確,寓意深刻,他們才是踐行《課程標(biāo)準(zhǔn)》的真正意義上的好題.

近幾年安徽都是以幾何綜合問(wèn)題壓軸,對(duì)廣大考生和一線(xiàn)教師提出了挑戰(zhàn).但有趣的是,近幾年壓軸題都源于教材,高于教材,不僅給教學(xué)提供了豐富的教學(xué)素材,也指引我們一線(xiàn)教師如何跳出題海.在教材中多角度、多維度挖掘,立足基本圖形的性質(zhì)研究,揭示圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系,對(duì)經(jīng)典數(shù)學(xué)名題深入思考,精心捕捉教材中的經(jīng)典圖形,對(duì)其衍生問(wèn)題進(jìn)行整合,抓核心素養(yǎng),真正落實(shí)能力培養(yǎng)目標(biāo).

因此,讀懂教材是教學(xué)設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn),吃透教材是有效教學(xué)的支撐點(diǎn),深入挖掘教材是保證教學(xué)的根本.日常教學(xué)不能舍本逐末,應(yīng)該充分領(lǐng)會(huì)教材意圖、深度研究整合教材素材,創(chuàng)造性地使用教材.

4.2 關(guān)注數(shù)學(xué)文化,傳播數(shù)學(xué)之美,在經(jīng)典中落實(shí)立德樹(shù)人和核心素養(yǎng)目標(biāo)

2014年4月,教育部印發(fā)《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》,如何體現(xiàn)國(guó)家關(guān)于立德樹(shù)人的要求,不僅在教材編寫(xiě)上做出積極探索,也在各級(jí)命題中做出有益嘗試.

近幾年,安徽初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)命題在這方面進(jìn)行了有益的探索和嘗試,如2016年第10題“布洛卡點(diǎn)”弱化在直角三角形中,第22題“阿基米德窮竭法”的再現(xiàn),第23題“費(fèi)馬點(diǎn)”構(gòu)圖在問(wèn)題解決中應(yīng)用等.

今年安徽初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題的命制延續(xù)了這種風(fēng)格,本題就是一個(gè)典型代表,將“弦圖”、“古埃及三角形”、“黃金分割”等融為一體.在數(shù)學(xué)史上,“黃金分割”與“勾股定理”被稱(chēng)為“幾何雙寶”,黃金分割這個(gè)數(shù)字一直被后人奉為科學(xué)和美學(xué)的金科玉律.本題的出現(xiàn)也為廣大一線(xiàn)教師研究黃金分割提供了新的素材,也彰顯了命題專(zhuān)家對(duì)數(shù)學(xué)文化的傳承以及數(shù)學(xué)美學(xué)教育的關(guān)心.

無(wú)獨(dú)有偶,今年安徽卷第16題選自中國(guó)古代《九章算術(shù)》的“盈不足”問(wèn)題也備受矚目,在弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化做了有益嘗試,也與全國(guó)高考命題思想達(dá)成一致.

為此,我們一線(xiàn)教師應(yīng)在日常教學(xué)素材的選取上,挖掘教材時(shí)還應(yīng)在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史中尋求為人類(lèi)文化發(fā)展做出重大貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)名題,致敬經(jīng)典,研究基本圖,以此提高教學(xué)效果,提升教學(xué)品味,規(guī)避題海戰(zhàn)術(shù),將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實(shí)在數(shù)學(xué)文化中,根植于歷史命題中.

4.3 注重問(wèn)題意識(shí),著力問(wèn)題聯(lián)系,著力在幾何教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)研究的基本過(guò)程

從近幾年安徽初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷來(lái)看,試卷的第10題(選擇題壓軸題)、第14題(填空題壓軸題)、第23題(解答題壓軸題)基本都是以平面幾何為命題點(diǎn),可見(jiàn)命題老師對(duì)初中平面幾何的教學(xué)現(xiàn)狀有一定的思考.

實(shí)事求是的講,作為邏輯推理能力培養(yǎng)的重要支柱——平面幾何,在現(xiàn)在的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革中是被弱化的,從中考閱卷以及高中老師的反饋以及部分高校研究人員的研究中都對(duì)這種現(xiàn)象提出了質(zhì)疑.如何在有限的平面幾何教學(xué)內(nèi)容和課時(shí)中保證數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo),幫助初中學(xué)生能為進(jìn)一步學(xué)習(xí)提供保障也就成為我們初中數(shù)學(xué)教師不可回避的課題,今年的安徽命題老師在這方面也做了積極回應(yīng):

從問(wèn)題呈現(xiàn)上看,解答題第20題、第23題都是平面幾何試題,問(wèn)題的呈現(xiàn)極其嚴(yán)謹(jǐn)講究:嚴(yán)格按照題目條件就可以做出相應(yīng)幾何圖形,為研究試題提供保證,兩道試題都與命題的逆命題有關(guān):第20題回答了“一組對(duì)邊相等、一組對(duì)角相等得四邊形是不是平行四邊形”,并給出一種可能的反例構(gòu)圖方式,事實(shí)上是從性質(zhì)走向判定經(jīng)常需要研究的話(huà)題;第23題(1)、(2)兩問(wèn)有著內(nèi)在互逆的成分,聯(lián)系2013年安徽第23題,反思教材關(guān)于數(shù)學(xué)研究對(duì)象的研究過(guò)程,都在不同程度展示了數(shù)學(xué)研究的基本過(guò)程:確定(認(rèn)識(shí))研究對(duì)象——研究對(duì)象性質(zhì)——研究對(duì)象的判定(或運(yùn)用性質(zhì)解決問(wèn)題),這些嘗試或許透漏著命題老師對(duì)教學(xué)的思考、對(duì)數(shù)學(xué)研究的思考,更是對(duì)我們一線(xiàn)教師提出了一些希望!

總之,2017年安徽第23題是一道圖形簡(jiǎn)潔、立意高妙、內(nèi)涵豐富、梯度合適、難度貼切的一道經(jīng)典試題.限于個(gè)人水平,掛一漏萬(wàn),期待同仁批評(píng)指正!

2017-07-06)

本文系廣東省教育科學(xué)“十三五”課題(課題批準(zhǔn)號(hào):2017YQJK134)《運(yùn)用“問(wèn)題串”開(kāi)展高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐研究》的研究成果.