安徽省六安市清水河學(xué)校 楊玉峰 (郵編:237000)

挖掘問題隱含條件的解題策略

安徽省六安市清水河學(xué)校 楊玉峰 (郵編:237000)

在數(shù)學(xué)解題過程中,我們要充分利用題目的條件,但是有些問題的條件不是顯在的,而是隱含的,需要我們挖掘其隱含條件,才能順利地解答.下面我們結(jié)合幾個(gè)具體實(shí)例說明,供參考.

1 利用概念特性,挖掘隱含條件

這一類型的題目相對比較容易發(fā)現(xiàn)其中的隱含條件,只要吃透數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性,并善于歸納、總結(jié),容易找到解決問題的方法.

解析 解決本題的關(guān)鍵是要求出x、y、z的值,而已知方程一個(gè)關(guān)于x、y、z的三元方程,一般情況下難以求出它們的值.本題的隱含條件是(x－6)2,,3y＋2z 具有非負(fù)性,又(x－6)2＋＋3y＋2z＝0,所以有(x－6)2＝0,＝0, 3y＋2z ＝0,即x＝6,y＝2,z＝－3,故(x－y)2－z2＝7.

2 關(guān)注變量范圍,挖掘隱含條件

這類題目的隱含條件存在于題設(shè)之中,往往不被學(xué)生注意,特別是題中的參數(shù)取值范圍,極易被忽視.凡涉及多個(gè)參數(shù)或變量問題,務(wù)必注意范圍優(yōu)先的原則.

例2 已知x1、x2是方程x2－(k－4)x＋(k2＋2k＋8)＝0的兩根,求x21＋x22的最大值.

解析 若不找出隱含條件,下面的解法是錯(cuò)誤的:x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(k－4)2－2(k2＋2k＋8)＝－k2－12k＝－(k＋6)2＋36.

所以最大值為36.當(dāng)且僅當(dāng)k＝－6時(shí),取得最大值.

上述解法錯(cuò)誤的原因是沒有挖掘隱含條件:△＝(k－4)2－4(k2＋2k＋8)≥0,即－4≤k,所以當(dāng)k＝－4時(shí),才取得最大值32.

3 利用恒等變形,挖掘隱含條件

這類題目的隱含條件藏在已知等式或不等式之中,比較難以發(fā)現(xiàn),利用式子的恒等變形,將所給的式子朝著有利于解題方向變形,從而挖掘出隱含條件.

例3 若3(a2＋b2＋c2)＝(a＋b＋c)2(a≠0),求的值.

解析 將已知條件變形,得2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)＝(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0,得a＝b＝c,這是本題隱含的條件,從而可得

4 借助數(shù)形結(jié)合,挖掘隱含條件

平面幾何題是初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn),解決有些幾何問題的關(guān)鍵條件往往隱藏在幾何圖形中及已知條件的背后,這就需要我們大膽猜測,數(shù)形結(jié)合,從而挖掘出問題的隱含條件.

例4 (2017年安徽省中考數(shù)學(xué)第10題)如圖,在矩形ABCD中,AB＝5,AD＝3,動(dòng)點(diǎn)P滿足,則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和PA＋PB的最小值為( )

解析 設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為h,由S△PAB＝,得所以動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且距離為h的直線上.設(shè)此直線為l,問題轉(zhuǎn)化為:在直線l上求一點(diǎn)P,使得PA＋PB取得最小值.作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′,連接AB′,則AB′的長就是PA＋PB的最小值.據(jù)對稱性可得,,再由勾股定理,得AB′＝,故PA＋PB的最小值為.此題的本質(zhì)是一個(gè)典型的最值模型:在直線l上求一點(diǎn)P,使得PA＋PB取最小值.而本題利用圖形面積關(guān)系,巧妙地將點(diǎn)P在一條直線上的這一條件“隱藏”起來,解題時(shí)首先要將此隱含條件挖掘出來,否則無法往下進(jìn)行.

數(shù)學(xué)題目中的隱含條件往往是解題的關(guān)鍵,由于隱含條件的隱蔽性,我們往往不容易看出來.如果不能挖掘出關(guān)鍵的隱含條件,解題就會卡住,一籌莫展.這就要求教師除了教會學(xué)生過硬的基礎(chǔ)知識和基本技能外,還必須培養(yǎng)他們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方法和敢于發(fā)現(xiàn)問題的能力,方能達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.

2017-07-04)