江蘇 傅思遠(yuǎn)

百變彈簧，功能制勝

江蘇 傅思遠(yuǎn)

百變，說的是彈簧的彈力和彈性勢(shì)能善變，涉及的問題很多。彈簧問題常常涉及胡克定律、動(dòng)能定理、功能關(guān)系，而功能關(guān)系能一錘定音，克敵制勝。

【例題】如圖1所示，水平桌面上的輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端與小物塊相連。彈簧處于自然長(zhǎng)度時(shí)物塊位于O點(diǎn)（圖中未標(biāo)出）。物塊的質(zhì)量為m，AB＝a，物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ?，F(xiàn)用水平向右的力將物塊從O點(diǎn)拉至A點(diǎn)，拉力做的功為W。撤去拉力后物塊由靜止向左運(yùn)動(dòng)，經(jīng)O點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度為零。重力加速度為g。則上述過程中 （ ）

圖1

A．物塊在A點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能等于

B．物塊在B點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能小于

C．經(jīng)O點(diǎn)時(shí)，物塊的動(dòng)能小于W－μmga

D．物塊動(dòng)能最大時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能小于物塊在B點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能

【第一印象】

（1）題干中已知AB的距離為a，卻不將O點(diǎn)的位置在圖中標(biāo)出，所以潛意識(shí)認(rèn)為判斷O點(diǎn)位置或許就是解題的突破口。

（2）物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，在運(yùn)動(dòng)過程中存在阻力作用，這無疑增大解題的難度和復(fù)雜性。

（3）初看物體的運(yùn)動(dòng)可分為兩個(gè)過程：O→A和A→B。但分析選項(xiàng)C時(shí)發(fā)現(xiàn)并不如此簡(jiǎn)單，還應(yīng)將A→B過程分為A→O和O→B兩個(gè)過程。

方法一：【解析】為了更清楚地說明情況，畫出位置示意圖如圖2所示。

圖2

如果沒有摩擦力，則O點(diǎn)應(yīng)該在AB中間，由于存在摩擦阻力，物體從A到B過程中機(jī)械能損失，故無法到達(dá)沒有摩擦力情況下的B點(diǎn)，即O點(diǎn)應(yīng)靠近B點(diǎn)。故有OA＞，此過程物體克服摩擦力做功大于，所以物塊在A點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能小于，A項(xiàng)錯(cuò)誤；由A項(xiàng)分析得物塊從開始運(yùn)動(dòng)到最終停在B點(diǎn)，路程大于a＋，故整個(gè)過程物體克服阻力做功大于，所以物塊在B點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能小于，B項(xiàng)正確；從O點(diǎn)開始到再次到達(dá)O點(diǎn)，物體路程大于a，根據(jù)動(dòng)能定理得物塊的動(dòng)能小于W－μmga，故C項(xiàng)正確；物塊動(dòng)能最大時(shí)，彈力大小等于摩擦力。而在B點(diǎn)，彈力與摩擦力的大小關(guān)系未知，故物塊動(dòng)能最大時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量與物塊在B點(diǎn)時(shí)彈簧壓縮量大小未知，故此兩位置彈性勢(shì)能大小關(guān)系不好判斷，所以D項(xiàng)錯(cuò)誤。

【答案】BC

【啟迪】上述解法亮點(diǎn)是巧妙利用反證法迅速判斷O點(diǎn)并非AB連線的中點(diǎn)。再運(yùn)用功能關(guān)系和動(dòng)能定理分別分析相應(yīng)過程的彈性勢(shì)能、動(dòng)能的大小關(guān)系。除此之外，還有讓人腦洞大開的思路和方法嗎？

令k＝100 N/m，小物塊的質(zhì)量m＝1 kg，小物塊與桌面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0．4，則滑動(dòng)摩擦力為f＝μmg＝4 N，動(dòng)能最大位置的彈簧伸長(zhǎng)量為

當(dāng)用水平向右的力將物塊從O點(diǎn)拉至A點(diǎn)，應(yīng)該有xA＞x′，撤去拉力后物塊才能由靜止向左運(yùn)動(dòng)，并且若能使小物塊過O點(diǎn)時(shí)速度大于0，需，則xA＞2x′，設(shè)xA＝0．1 m，則拉力做功0．9 J。

所以經(jīng)O點(diǎn)時(shí)，物塊的動(dòng)能為Ek＝EpA－μmgxA＝

解得xB＝0．02 m（舍去負(fù)值）

則物塊在B點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能為

故a＝xA＋xB＝0．12 m。

對(duì)于題中四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷

選項(xiàng)A：物塊在A點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能等于EpA＝

選項(xiàng)B：物塊在B點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能EpB＝0．02 J，

選項(xiàng)C：經(jīng)O點(diǎn)時(shí)，物塊的動(dòng)能為Ek＝0．1 J，而W－μmga＝0．42 J，故Ek＜W－μmga，C項(xiàng)正確；

選項(xiàng)D：物塊動(dòng)能最大時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能Epmax＝，大于物塊在B點(diǎn)時(shí)彈性勢(shì)能EpB＝0．02 J，所以D項(xiàng)錯(cuò)誤。

通過上述的分析求解可總結(jié)如下特點(diǎn)：

（1）通過例題可以看出，解決彈簧問題，分析彈簧的形變是關(guān)鍵，確定彈簧的形變及變化情況，結(jié)合受力分析、動(dòng)能定理、功能關(guān)系是解決問題的突破口；

（2）彈簧的彈性勢(shì)能與勁度系數(shù)、形變量有關(guān)，一般情況不需要計(jì)算大小，只要彈簧的形變量相同時(shí)，彈性勢(shì)能就相同，運(yùn)算過程中可以替代或約去，省去煩瑣的計(jì)算。

（作者單位：江蘇省六合高級(jí)中學(xué)高三12班）