湖北 朱木清

二輪數(shù)理融合需自我加壓的幾個方面

湖北 朱木清

高考物理“五種能力”中，應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力，是考查區(qū)分的重點(diǎn)。為應(yīng)對這一問題，各校一般會在二輪后期安排一個專題復(fù)習(xí)。但僅依賴一次短期突擊是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，重要的還在于激發(fā)內(nèi)在動力，把提升數(shù)理融合目標(biāo)變成個體的自覺行動，貫穿于全過程，落實(shí)到訓(xùn)練中。為此，建議同學(xué)們在以下幾個方面自我加壓。

一、主動梳理物理解題常用的數(shù)學(xué)知識和方法

圖1

【解析】先分析導(dǎo)線a的受力，題設(shè)a、b平行，電流分別為I和2I，此時a受到的磁場力大小為F。再在a、b的上方放置一根與a、b平行的通電長直導(dǎo)線c，a、b、c正好構(gòu)成一個等邊三角形，a受到的磁場力大小仍為F，根據(jù)平行四邊形定則，可知c對a的磁場力Fca方向由a指向c，大小等于F，如圖2所示。

圖2

再分析b的受力，a對b的磁場力大小為F，因?yàn)閞ca＝rcb，a、b電流分別為I和2I，所以c對a的磁場力大小Fca＝F，故c對b的磁場力大小Fcb＝2F，根據(jù)平行四邊形定則和余弦定理，可得b受到的磁場合力大小為Fb合＝，D項(xiàng)正確。

【答案】D

【點(diǎn)評】矢量的平行四邊形定則本身就是一個幾何圖形。本例要用到余弦定理，在解題中不常用。課標(biāo)卷物理注重?cái)?shù)學(xué)知識應(yīng)用的廣度和深度，淡化煩瑣數(shù)學(xué)計(jì)算，代數(shù)方程、函數(shù)分析、解析幾何、三角函數(shù)、指數(shù)對數(shù)、導(dǎo)數(shù)微分等均已滲透物理教材，幾何法、圖象法、極限極端法、極值法、微元法、轉(zhuǎn)化法、半定量與估算法等數(shù)學(xué)方法成為高考的“常客”，若將這些數(shù)學(xué)知識方法做些梳理，具體細(xì)化，解題很給力。

二、重視解題中輔助關(guān)系方程的分析

【例2】水平面上A、B、C三點(diǎn)固定著三個電荷量均為Q的正點(diǎn)電荷，將另一質(zhì)量為m的帶正電的小球（可視為點(diǎn)電荷）放置在O點(diǎn)，OABC恰好構(gòu)成一棱長為L的正四面體，如圖3所示。已知靜電力常量為k，重力加速度為g，為使小球能靜止在O點(diǎn)，小球所帶的電荷量q為 （ ）

圖3

【解析】O處小球受到A、B、C三個點(diǎn)電荷的庫侖力大小均為，方向沿正四面體側(cè)棱，將庫侖力F正交分解，根據(jù)平衡條件和對稱性，它們的水平合力為零，豎直合力跟小球重力平衡。

設(shè)F與水平方向夾角為α，有3Fsinα＝mg，如圖4所示，底面垂心H到頂點(diǎn)A或B的距離，聯(lián)立解得

圖4

【答案】C

【點(diǎn)評】本題牽涉到正四面體側(cè)面與底面所成的二面角，側(cè)棱與底面的夾角α，容易誤以為都是60°，混淆側(cè)棱與底面夾角與二面角關(guān)系，從而錯選A項(xiàng)或B項(xiàng)。物理解題經(jīng)常涉及這樣的輔助關(guān)系。平時練習(xí)中，常見到所列物理方程都對，但輔助方程卡殼或出錯，十分可惜。因此，列輔助方程非但不能小視，而且在接下來的訓(xùn)練中還應(yīng)加強(qiáng)。

三、重視物理難點(diǎn)中的數(shù)學(xué)破解以及數(shù)學(xué)對物理的詮釋

【例3】如圖5所示，小車用跨越定滑輪的輕繩牽引提升井下重物。某時刻小車和物體的速度大小分別為v1和v2，加速度大小分別為a1和a2，細(xì)繩與水平地面夾角為θ，則下列關(guān)系式正確的是 （ ）

圖5

A．v1cosθ＝v2B．v1＝v2cosθ

C．a(chǎn)1cosθ＝a2D．a(chǎn)1＝a2cosθ

【解析】設(shè)時間Δt內(nèi)小車向右的位移為Δx，斜繩長度變化為Δs，物體提升高度變化Δh＝Δs，斜繩傾角變化Δθ，如圖6所示，故有 Δxcosθ＝Δs，等式兩邊同除以 Δt，并取Δt→0，得v1cosθ＝v2，A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯誤。

圖6

在關(guān)系式v1cosθ＝v2中，v1、v2和θ均隨時間t變化，等式兩邊同時對時間t求導(dǎo)，有

【答案】A

【點(diǎn)評】我們知道，對有轉(zhuǎn)動的繩或桿，兩端牽連體沿繩或桿方向的分速度總等大，但加速度關(guān)系就不那么簡單，也是個“擦邊球”，上述數(shù)學(xué)推導(dǎo)結(jié)果給我們以啟示：小車的運(yùn)動可看成兩個分運(yùn)動：一是以滑輪為中心、斜繩長為半徑的變速圓周運(yùn)動（速度的大小和方向都變化），另一是沿斜繩伸長或縮短方向的運(yùn)動。

如圖7所示，小車的加速度分量a1cosθ方向沿繩方向，但它并不等于斜繩的伸長或縮短產(chǎn)生的沿繩方向加速度分量ar，還包含了繞滑輪做變速圓周運(yùn)動的向心加速度分量an，二者的矢量和滿足a1cosθ＝ar－an。

圖7

需注意，當(dāng)繩有轉(zhuǎn)動，牽連體垂直繩方向的分速度不為零時，因繞定滑輪轉(zhuǎn)動存在向心加速度（方向沿繩向），重物的加速度a2與小車的加速度沿繩方向的分量a1cosθ不等，二者加速度關(guān)系為a2＝a1cosθ±an（式中符號“±”跟小車加速運(yùn)動的方向有關(guān)，如小車向左加速，則取“＋”號）；僅當(dāng)繩無轉(zhuǎn)動，牽連體垂直繩方向的分速度為零時，才有兩端牽連體沿繩方向加速度分量等大。

【例4】如圖8所示，在xOy平面內(nèi)的y軸右側(cè)，虛線包圍圓形區(qū)域?yàn)檎婵?，圓半徑為L，圓心在O1（2L，0）處，x＝0～3L區(qū)間除虛線包圍圓形區(qū)域，其余部分有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一質(zhì)量為m、帶電量為＋q的粒子從y軸某點(diǎn)垂直y軸射入磁場，不計(jì)粒子重力作用。

圖8

（1）若粒子經(jīng)過x軸上P點(diǎn)，求其入射的位置和速度大??；

（2）若粒子經(jīng)過圓形區(qū)域中心O1點(diǎn)，求入射速度最小值。

【解析】（1）粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，有

若粒子經(jīng)過x軸上P點(diǎn)，則入射的位置坐標(biāo)為（0，3L），圓軌道半徑R1＝3L，入射速度大小

（2）若粒子經(jīng)過圓形區(qū)域中心O1點(diǎn)，必是先在磁場中做一段圓弧運(yùn)動，再沿真空圓半徑方向勻速運(yùn)動到O1點(diǎn)，設(shè)粒子圓弧運(yùn)動的軌道中心為O2，軌道半徑為R，圓弧中心角為θ，幾何位置關(guān)系如圖9所示，同理有

圖9

欲v最小，必須R最小，而

【點(diǎn)評】求解物理極值題，通常有物理和數(shù)學(xué)兩種方法，但本題必須借助數(shù)學(xué)方法。同學(xué)們對三角函數(shù)求極值、二次函數(shù)求極值、均值不等式求最值等方法玩得都很酷，但這里求分式函數(shù)極值是個難點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)為零是否能想到？物理問題的分析過程，就是數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用過程，數(shù)學(xué)用活了，物理也活了。

（作者單位：湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)）