山西 石有山

點(diǎn)擊板塊模型及其變式

山西 石有山

板塊模型是近幾年高考的熱點(diǎn)，根據(jù)初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和受力條件的不同，本文將該種模型分為兩類(lèi)，并通過(guò)變式拓展分析這兩類(lèi)問(wèn)題。

一、木塊或木板受到水平拉力

【例1】（2017·深圳第一次月考）如圖1甲所示，有一塊木板靜止在足夠長(zhǎng)的粗糙水平面上，木板質(zhì)量為M＝4 kg，長(zhǎng)為L(zhǎng)＝1．4 m；木板右端放一小滑塊，小滑塊質(zhì)量為m＝1 kg，可視為質(zhì)點(diǎn)?，F(xiàn)用水平恒力F作用在木板M右端，恒力F取不同數(shù)值時(shí)，小滑塊和木板的加速度分別對(duì)應(yīng)不同數(shù)值，兩者的a－F圖象如圖1乙所示，取g＝10 m/s2。求：

圖1

（1）小滑塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)，以及木板與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)；

（2）若水平恒力F＝27．8 N，且始終作用在木板M上，當(dāng)小滑塊m從木板上滑落時(shí)，經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間？

【解析】（1）由圖1乙可知，當(dāng)恒力F＞25 N時(shí)，小滑塊與木板將出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)。

以小滑塊為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律得

μ1mg＝ma1

代入數(shù)據(jù)解得μ1＝0．4

以木板為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律有

解得μ2＝0．1。

（2）設(shè)力滑塊在木板上滑動(dòng)的時(shí)間為t，當(dāng)水平恒力F＝27．8 N時(shí)

滑塊的加速度為a1＝μ1g＝4 m/s2

而滑塊在時(shí)間t內(nèi)的位移為

代入數(shù)據(jù)解得a2＝4．7 m/s2

而木板在時(shí)間t內(nèi)的位移為

由題可知，x2－x1＝L

代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得t＝2 s。

【答案】（1）0．4 0．1 （2）2 s

【點(diǎn)評(píng)】判斷m和M是否發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。m受到的摩擦力Ff≤μ1mg，即m的加速度a1≤μ1g。當(dāng)m和M系統(tǒng)加速度a≤μ1g時(shí)，系統(tǒng)一起加速；當(dāng)m和M系統(tǒng)加速度a＞μ1g時(shí)，m和M各自加速度不同，用隔離法求出各自的加速度，然后用兩物體的位移關(guān)系解決所求問(wèn)題。

【變式】若滑塊受到水平拉力，木板不受水平拉力，如圖2所示，其他物理情景不變，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，則需要比較μ1mg和μ2（m＋M）g的關(guān)系，當(dāng)μ1mg≤μ2（m＋M）g，M永遠(yuǎn)不會(huì)滑動(dòng)；當(dāng)μ1mg＞μ2（m＋M）g，M向右運(yùn)動(dòng)的最大加速度，當(dāng)m的加速度時(shí)，系統(tǒng)一起加速；當(dāng)m的加速度時(shí)，m和M各自加速度不同，用隔離法求出各自的加速度，用兩物體的位移關(guān)系解決所求問(wèn)題。

圖2

二、木塊或木板具有一個(gè)初速度

【例2】如圖3甲所示，一足夠長(zhǎng)的質(zhì)量M＝0．4 kg的長(zhǎng)木板靜止在水平面上，長(zhǎng)木板與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2＝0．1，一質(zhì)量為m＝0．4 kg的小滑塊以v0＝1．8 m/s的速度從長(zhǎng)木板的右端滑上木板，小滑塊剛滑上長(zhǎng)木板0．2 s內(nèi)的速度圖象如圖3乙所示。小滑塊可看作質(zhì)點(diǎn)，重力加速度g取10 m/s2，求：

（1）小滑塊與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1和小滑塊剛滑上長(zhǎng)木板時(shí)長(zhǎng)木板的加速度大小a1；

（2）小滑塊和長(zhǎng)木板速度相等時(shí)，小滑塊相對(duì)長(zhǎng)木板滑行的距離L；

（3）從小滑塊滑上長(zhǎng)木板到最后靜止下來(lái)的過(guò)程中，小滑塊運(yùn)動(dòng)的總位移x。

圖3

【解析】（1）分析小滑塊，根據(jù)v－t圖象可知

根據(jù)牛頓第二定律

解得μ1＝0．4

分析長(zhǎng)木板，根據(jù)牛頓第二定律有

解得a1＝2 m/s2。

（2）小滑塊與長(zhǎng)木板速度相等時(shí)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有

解得t＝0．3 s

所以小滑塊相對(duì)于長(zhǎng)木板運(yùn)動(dòng)的距離L＝x2－x1＝0．27 m。

（3）當(dāng)v＝a1t＝0．6 m/s，小滑塊與長(zhǎng)木板速度相等，此后它們一起做勻減速運(yùn)動(dòng)

由牛頓第二定律有

μ2（M＋m）g＝（M＋m）a2，

解得a2＝1 m/s2

小滑塊與長(zhǎng)木板共同運(yùn)動(dòng)的距離

所以小滑塊滑行的總位移

x＝x2＋x3＝0．54 m。

【答案】（1）0．4 2 m/s2（2）0．27 m （3）0．54 m

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)μ1mg≤μ2（M＋m）g，長(zhǎng)木板受到靜摩擦力，長(zhǎng)木板不運(yùn)動(dòng)；當(dāng)μ1mg＞μ2（M＋m）g時(shí)，長(zhǎng)木板運(yùn)動(dòng)，小滑塊向左做減速運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)木板向左做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)二者速度相等時(shí)，由于μ1一定大于μ2，小滑塊有足夠的靜摩擦力，使小滑塊與長(zhǎng)木板一起減速為0。

【變式】若木板有一個(gè)向左的初速度，滑塊沒(méi)有初速度，如圖4所示，其他物理情景不變，m與M之間會(huì)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，m受到向左的滑動(dòng)摩擦力，向左做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為am＝μ1g，M受到兩個(gè)向右的滑動(dòng)摩擦力，向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為，若長(zhǎng)木板足夠長(zhǎng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t1，m和M速度相等，有v0－aMt1＝amt1。之后，可能出現(xiàn)的情況有

圖4

①若μ1≥μ2，m和M之間的摩擦足夠大，則m和M一起減速，加速度滿(mǎn)足μ2（M＋m）g＝（M＋m）a。

②若μ1＜μ2，則m和M以不同的加速度做勻減速運(yùn)動(dòng)，M的加速度大，滿(mǎn)足μ2（M＋m）g－μ1mg＝Ma′M，M先停下來(lái)，m的加速度小，滿(mǎn)足μ1mg＝ma′m，m后停下來(lái)。

板塊模型問(wèn)題，至少涉及兩個(gè)物體，一般包括多個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，板塊間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)。解決板塊模型問(wèn)題，不同的階段要分析受力情況和運(yùn)動(dòng)情況的變化，牢記兩者存在相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是兩者間的摩擦力為最大靜摩擦力，根據(jù)題目中的已知信息及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合分析，分段分步列式求解。

（作者單位：山西省介休市第一中學(xué)）