陳軍艷

摘要：同一個(gè)教室，同一位教師，同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，不同的學(xué)生領(lǐng)悟到的本質(zhì)內(nèi)涵、掌握的層次和效果存在千差萬(wàn)別，這都源于學(xué)生對(duì)于知識(shí)的本質(zhì)屬性以及這些屬性之間關(guān)系的體驗(yàn)方式和識(shí)別路徑有區(qū)別。因此，如何讓學(xué)生在課堂中有效地識(shí)別到“知識(shí)的本質(zhì)屬性及它們之間的關(guān)系”就顯得尤為重要。本文將以分?jǐn)?shù)的意義的建構(gòu)為例，采用多種“變與不變”的范式，將“平均分”“單位‘1”“分母、分子”這些關(guān)鍵的本質(zhì)屬性剝離出來(lái)，在變易的思辨過(guò)程中提升學(xué)生對(duì)這些本質(zhì)屬性及它們之間關(guān)系的認(rèn)知空間，從而深層建構(gòu)分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵。

關(guān)鍵詞：變與不變；分?jǐn)?shù)；本質(zhì)屬性

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）06-0107

“變”與“不變”是辯證存在的，“變”是絕對(duì)的，而“不變”是相對(duì)而言。 “不變”之中存在著“可變”，“可變”之處又不斷揭示著“不變”。

——題記

課堂不僅是跑道，更是學(xué)習(xí)、奔跑的過(guò)程，期間充滿了無(wú)窮的變易。眾所周知，相同的教師相同的課堂，不同的學(xué)生對(duì)同一知識(shí)點(diǎn)的體驗(yàn)方式不同，領(lǐng)悟到的知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)也不一，掌握層次和學(xué)習(xí)效果自然就不一樣。那些能夠清楚認(rèn)識(shí)到教學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵本質(zhì)屬性以及這些屬性之間關(guān)系的學(xué)生理解會(huì)到位得多。因此，作為教師，課堂上最為關(guān)鍵的就是能設(shè)法讓學(xué)生識(shí)別到“事物本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性及它們之間的關(guān)系”，并盡可能通過(guò)必要的“變與不變的范式”，讓學(xué)生體驗(yàn)?zāi)男┓矫孀兓?，哪些方面保持不變，從而去開(kāi)啟學(xué)生思辨和學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)空間，讓學(xué)生能在種種顯現(xiàn)和潛在的變易中識(shí)別出知識(shí)點(diǎn)的關(guān)鍵屬性，進(jìn)而深刻領(lǐng)悟知識(shí)的內(nèi)涵與本質(zhì)。

分?jǐn)?shù)的意義對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較抽象的概念，五年級(jí)《分?jǐn)?shù)的意義》一課主要是使學(xué)生經(jīng)歷概括分?jǐn)?shù)意義的過(guò)程，理解分?jǐn)?shù)表示多少的相對(duì)性，體會(huì)整體與部分的關(guān)系。那么，怎樣讓學(xué)生全方位、多角度體驗(yàn)“平均分”，進(jìn)而深入感悟“單位‘1”，理解“分母分子”的含義，無(wú)疑是學(xué)生抽象、歸納出分?jǐn)?shù)的意義的基礎(chǔ)，也是教學(xué)中難啃的硬骨頭。

本文將從變易理論的角度，以多元化的活動(dòng)為載體，就如何用“變與不變的范式”引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別分?jǐn)?shù)的本質(zhì)屬性，主動(dòng)建構(gòu)分?jǐn)?shù)的意義給予全新的詮釋。

一、低起點(diǎn)、細(xì)觀察，深入體驗(yàn)“平均分”

古語(yǔ)有云：“重復(fù)是學(xué)習(xí)之母?！睂W(xué)習(xí)，本身就是不斷重復(fù)的過(guò)程，但并不是說(shuō)學(xué)習(xí)能從一成不變的簡(jiǎn)單重復(fù)中產(chǎn)生，重復(fù)中求新需要依靠變式的支撐。學(xué)生在全面認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的意義之前，已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)，尤其對(duì)“平均分”有了一定的認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上我們不再是單純地讓學(xué)生分物體，而是在課前安排了下面的活動(dòng)，也正期待學(xué)生在看似重復(fù)的學(xué)習(xí)活動(dòng)中體驗(yàn)“變與不變”的地方，識(shí)別出知識(shí)的本質(zhì)屬性。

【課前活動(dòng)】請(qǐng)選擇你喜歡的圖，用你喜歡的方式表示出它的1/4。

（課前檢查中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生基本都選擇前三個(gè)圖來(lái)完成涂色。）

師：為什么你們都喜歡前面的三幅，不喜歡最后一幅？

生1：因?yàn)榈?幅圖沒(méi)有平均分。

生2：選第4幅表示不了1/4。

【思辨“變與不變”】

A. “不變”的是4個(gè)完全一樣的正方形，“變”的是4種不同的分法；

B. 所有圖形都被分成4個(gè)部分，而且前三幅是平均分，第四幅不是平均分。

此活動(dòng)中采用對(duì)比這一范式，讓學(xué)生在自由選擇、創(chuàng)作、分享的過(guò)程中，在“變與不變”的思考中再次感受到：如果分的幾份中每一份的大小不一樣，其中的一份是不能隨便用幾分之一表示的；只有平均分成4份中的其中一份才能用分?jǐn)?shù)1/4 來(lái)表示，從而讓學(xué)生更深入地體驗(yàn)“平均分”的內(nèi)涵。

二、慢滲透、重過(guò)程，透徹感悟“單位‘1”

禪語(yǔ)有云：看山是山；看山不是山；看山仍然是山。教學(xué)亦當(dāng)如此?！白哌M(jìn)教材、走出教材、讓教材走進(jìn)內(nèi)心”，唯有如此，才能將教材內(nèi)化加工，重新創(chuàng)造，方能達(dá)到“信手拈來(lái)，為我所用”的境界。在學(xué)生對(duì)“平均分”這個(gè)關(guān)鍵屬性有了深入體驗(yàn)后，我們大膽而科學(xué)地對(duì)教材重組，從多個(gè)角度設(shè)計(jì)了較為開(kāi)放的活動(dòng)，為孩子逐層感悟“一個(gè)整體”、抽象出單位“1”提供了多元學(xué)習(xí)材料。

1. 自主創(chuàng)作，初步感知“一個(gè)物體表示一個(gè)整體”

【課堂活動(dòng)1】“想一想”：除了這三幅圖，你還能用其他形式說(shuō)明1/4的含義嗎？（展示學(xué)生畫(huà)圖作品如下）

師（指著作品1）：這個(gè)1/4是怎么來(lái)的？

生：就是把這個(gè)圓形平均分成4份，其中的1份就是1/4。

師（出示后三幅圖）：這些形狀、大小各不相同，都能用1/4來(lái)表示？為什么？

生：能。因?yàn)槎际前堰@個(gè)物體平均分成4份，取的都是其中1份，所以都是這個(gè)物體的1/4。

師適時(shí)小結(jié)：也就是說(shuō)無(wú)論什么形狀、大小如何，只要是把這個(gè)物體（或圖形）平均分成4份，取其中的1份就是這個(gè)物體的1/4。

【思辨“變與不變”】

A. 學(xué)生表示1/4的方式和手段在變化，有的是語(yǔ)言描述，有的是畫(huà)圖表示；“不變”的是其目的都是為了表示1/4。

B. 畫(huà)圖中不斷變化的是選取的素材（平面圖形，線段，實(shí)物等），“不變”的是都將這些素材平均分成4份，涂了或取了其中的1份。

此活動(dòng)學(xué)生充分發(fā)揮自己的主觀能動(dòng)性，自由提供了不同的表示方法，同時(shí)也為大家提供了多種“均分對(duì)象”，在匯報(bào)和展示的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生去關(guān)注保持不變的方面，在思考中領(lǐng)悟：“無(wú)論是一個(gè)圖形、一條線段，還是一個(gè)蛋糕，原來(lái)都是將一個(gè)整體來(lái)平均分呀”，從而初步感知在數(shù)學(xué)上“一個(gè)物體表示一個(gè)整體”的表象。

2. 巧設(shè)沖突，自然生成“把多個(gè)物體看作一個(gè)整體”

【課堂活動(dòng)2】“猜一猜”：用一張長(zhǎng)方形紙遮住其中一部分，露出的紅色三角形是一個(gè)整體的1/4，你能想象這個(gè)整體是什么樣子的嗎？能把你的想法畫(huà)出來(lái)嗎？

生1（指著圖（1））：一個(gè)三角形是一個(gè)整體的，我認(rèn)為這里一共有4個(gè)同樣的三角形，（停頓2秒），但是這4個(gè)同樣的三角形不能隨便連在一起，我就拼成了一個(gè)大的三角形，這樣看起來(lái)會(huì)整齊一些、規(guī)則一些。

生2（指著圖（2））：因?yàn)殛幱安糠值娜切问钦w的，我覺(jué)得只要是4個(gè)這樣的三角形就是這個(gè)整體了。

師追問(wèn)：你說(shuō)只要是4個(gè)同樣的三角形就是這個(gè)整體了，所以畫(huà)成這樣，那我畫(huà)成這樣呢？（出示圖（3））幾秒靜寂，生小聲議論，基本都認(rèn)定不行。

生1：這里的4個(gè)三角形不是一個(gè)整體，是4個(gè)。（眾生沉默）

生2：我覺(jué)得其實(shí)也不一定非得是連著的整體的，也可以是4個(gè)分著的。

生3：我認(rèn)為這樣畫(huà)應(yīng)該也可以，可以把4個(gè)三角形看成一個(gè)整體。

師故作疑惑：可是怎么看都更像4個(gè)三角形，不像一個(gè)整體。

生：把這4個(gè)三角形放到一個(gè)圈里。

師出示圖（4）：真是這樣，數(shù)學(xué)家們也是這樣想的，這個(gè)圈就叫做集合圈。圈起來(lái)，這4個(gè)三角形就是一個(gè)整體啦。

【思辨“變與不變”】

A. 學(xué)生所還原的“整體”的圖形在變化，但是不變的是都還原出4個(gè)完全一樣的三角形，而且這4個(gè)三角形組成一個(gè)圖形（大三角形或平行四邊形）。

B. 教師呈現(xiàn)的圖（3）是4個(gè)獨(dú)立的三角形，與學(xué)生所還原的“一個(gè)整體”不一樣；但還原的三角形都與紅色的三角形完全一樣，這一點(diǎn)是保持不變的。

有一種領(lǐng)悟，叫“柳暗花明”。此活動(dòng)教師適時(shí)制造認(rèn)知沖突，呈現(xiàn)“4個(gè)垂直擺放、相互獨(dú)立的三角形”，打破學(xué)生的已有認(rèn)知“這個(gè)整體是由四個(gè)完全一樣的三角形組成，而且還得拼成一個(gè)完整的圖形”，讓學(xué)生在“變與不變”的沖擊下獲取豐富的感性認(rèn)識(shí)，從混沌的狀態(tài)中認(rèn)知到“不但一個(gè)物體可以表示一個(gè)整體，多個(gè)物體或者說(shuō)一些物體也可以看做一個(gè)整體”，這個(gè)整體數(shù)學(xué)上稱之為單位“1”。同時(shí)也讓學(xué)生深刻體驗(yàn)到雖然還原的這個(gè)整體呈現(xiàn)的方式各不一樣，但無(wú)論是拼成的一個(gè)圖形還是獨(dú)立的4個(gè)三角形，其核心本質(zhì)是不變的，那就是：都是把單位“1”平均分成4份，露在外面的紅色三角形就是其中的1份，也就是它的1/4。此活動(dòng)中，教者不時(shí)捕捉到孩子眼睛里閃爍的點(diǎn)點(diǎn)光亮，不容置疑，如醍醐灌頂?shù)念D悟已然蔓延。

3. 變換角度，縱深詮釋“單位‘1的內(nèi)涵”

【課堂活動(dòng)3】圈一圈，分一分：把你發(fā)現(xiàn)的1/4涂上顏色。

生獨(dú)立完成，師收集作品，展示后學(xué)生逐一匯報(bào)。

師適時(shí)追問(wèn)：這1片花瓣、1朵花、2朵花，為什么都能表示1/4呢？共同點(diǎn)在哪？不同的地方又在哪呢？

生1：都是平均分成了4份，涂了其中的1份。

生2：這幾個(gè)同學(xué)選擇要分的花的朵數(shù)不一樣。

師追問(wèn)：那也就是什么不同？

眾生：整體不同。

師：整體不同，所對(duì)應(yīng)的每一份也不同。但無(wú)論怎樣不同，都是把這個(gè)整體看作單位“1”，將它平均分成4份，取其中的1份，這一份都能用來(lái)表示。

【思辨“變與不變”】

A. 學(xué)生選擇的單位“1”所對(duì)應(yīng)的對(duì)象在變化，有的是1朵花，有的是4朵花、8朵花；不變的是都是將選擇的整體平均分成4份，涂了其中的1份。

B. 由于平均分的對(duì)象在不斷變化，即單位“1”在變化，所對(duì)應(yīng)的每一份也隨著變化；但不變的是每一份都始終表示著這個(gè)整體的1/4。

有一種成長(zhǎng)，叫“峰回路轉(zhuǎn)”。這個(gè)活動(dòng)激起了學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲，為各個(gè)層次的學(xué)生留足了思考的時(shí)間和空間，讓學(xué)生生成了很多精彩，對(duì)單位“1”的認(rèn)知從混沌走向清晰。學(xué)生在操作、交流中觀察到變化的地方，同時(shí)關(guān)注到保持不變的方面，在對(duì)“變與不變”的思辨中領(lǐng)悟到：無(wú)論均分的對(duì)象是“1朵花”“4朵花”還是“8朵花”，這個(gè)單位“1”如何不同，都是將其平均分成4份，表示這樣的1份，所以，無(wú)論這1份是一片花瓣、1朵花還是2朵花，都可以用1/4來(lái)表示。此時(shí)教師順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生再次仔細(xì)觀察大家的作品，感悟其中變化的因素，學(xué)生從不同的角度思考?xì)w納出：原來(lái)平均分的整體不同，對(duì)應(yīng)的1/4也不同，從而多個(gè)角度地幫助孩子理解單位“1”的內(nèi)涵。

三、巧設(shè)計(jì)、重感知，巧妙闡釋“分母、分子”

有這樣一句話：“我聽(tīng)過(guò)了，就忘記了；我見(jiàn)過(guò)了，就記住了；我做過(guò)了，就理解了?！笔堑?，只有親自參與在有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生才能不斷地積累經(jīng)驗(yàn)，提升觀察、驗(yàn)證及推理概括的能力，從而促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。在學(xué)生對(duì)單位“1”有了縱深的感悟之后，創(chuàng)設(shè)活動(dòng)平臺(tái)，繼續(xù)剝離分?jǐn)?shù)的本質(zhì)屬性。

【課堂活動(dòng)4】把如圖的6只小船看作一個(gè)整體，創(chuàng)造出喜歡的幾分之一。

學(xué)生匯報(bào)出1/6、1/3、1/2的圖，

追問(wèn)：這里涂了3只小船呀，應(yīng)該是3/6吧？生1：是。

師：從圖中你怎么一眼就看出是，而不是呢？

生1：把這6只小船看成一個(gè)整體，這里平均分成了2份，1份就是3只小船，這3只小船就是這2份中的1份，也就是 。

生2：我覺(jué)得跟涂了幾只小船沒(méi)多大關(guān)系，跟分的份數(shù)和取的份數(shù)才有關(guān)系。

師：說(shuō)得非常好！大家觀察1/6、1/3、1/2 ，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：平均分成幾份，分母就是幾。

（下轉(zhuǎn)第108頁(yè)）

師（指著1/6的作品）：如果現(xiàn)在再涂一只小船，就是……（2/6）；再涂一只呢？（3/6）；繼續(xù)往下涂呢？你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：涂幾只小船，就是六分之幾，也就是分子就是幾。

生順勢(shì)歸納：分母就是平均分的份數(shù)，分子就是取的份數(shù)。

【思辨“變與不變”】

A. 不變的是都是把6只小船看作一個(gè)整體；變化的是平均分的份數(shù)不一樣。

B. 當(dāng)平均分的份數(shù)不一樣時(shí)，分母在不斷變化；可是不變的是取的份數(shù)一樣，比如只取1份時(shí)，分子都是一樣的。

C. 當(dāng)分的份數(shù)不變，分母保持不變；此時(shí)取的份數(shù)發(fā)生變化，分子也變了。

學(xué)生的發(fā)展是動(dòng)態(tài)的過(guò)程，分母和分子是分?jǐn)?shù)意義中極為關(guān)鍵的本質(zhì)屬性，這里讓學(xué)生在有序的反饋、思維的碰撞中，逐層剝離：觀察1/6、1/3、1/2，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注到分子不變時(shí)、分母這個(gè)變化維度，適時(shí)識(shí)別出“平均分成幾份，分母就是幾”這個(gè)本質(zhì)屬性；同時(shí)基于1/6教師適時(shí)追問(wèn)：繼續(xù)涂還可以是幾分之幾？讓學(xué)生聯(lián)想到……，自然關(guān)注到分母不變時(shí)、分子隨著取的份數(shù)而變化這個(gè)表象。在此“變與不變”的思辨中，數(shù)學(xué)的抽象美、歸納美得到充分展現(xiàn)。

“變易”的過(guò)程就是教師不斷創(chuàng)新的過(guò)程，學(xué)生不斷思考的過(guò)程，教學(xué)不斷彰顯審美化的過(guò)程。這是一種思想與方法，也是一種水平與能力，更是一種專業(yè)追求。只要充分挖掘教材、讀懂學(xué)生、用心思考，教學(xué)中對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的“本質(zhì)屬性與相關(guān)屬性”處理模糊的現(xiàn)象終將得到質(zhì)的改變，我們的數(shù)學(xué)課堂也一定會(huì)在“變與不變”中告別不溫不火的無(wú)奈，釋放出真正的精彩！

參考文獻(xiàn)：

[1] 植佩敏，馬飛龍. 如何促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)——變易理論與中國(guó)式教學(xué)[J].人民教育，2009（8）.

[2] 曹洪輝，李友中，馮子旭.運(yùn)用“變易理論”改革數(shù)學(xué)教學(xué)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2013（11）.

[3] 義務(wù)教育教科書(shū).教師教學(xué)用書(shū)[M].北京：人民教育出版社，2014.

（作者單位：廣東省東莞市南城陽(yáng)光第六小學(xué) 523000）