梁翔

【摘要】本文闡述了建立函數(shù)關(guān)系式求解初中數(shù)式規(guī)律型問題的方法，教師在指導(dǎo)學(xué)生解答數(shù)式規(guī)律型問題時(shí)，要為學(xué)生創(chuàng)造認(rèn)知沖突以加深學(xué)生的印象，循序漸進(jìn)地教學(xué)，及時(shí)幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識，提高學(xué)生能力。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 函數(shù)關(guān)系

數(shù)式規(guī)律型問題

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）06A-0122-02

一直以來，全國各地的中考試題中都出現(xiàn)探究規(guī)律性的問題，探究規(guī)律性的問題考查了初中生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、應(yīng)用能力等，是中考命題中不可缺少的部分；探究規(guī)律性問題的特點(diǎn)是：通過對問題的觀察、分析、歸納、概括、演算、判斷等一系列的探究活動(dòng)，得到問題的結(jié)論。這類問題，因其獨(dú)特的規(guī)律性和探究性，對學(xué)生分析問題、解決問題的能力提出了很高的要求；對許多考生而言，完成該類問題的難度較大，能力一般的學(xué)生基本選擇放棄；此類考題編排順序一般比較靠前，考生一旦受挫就會(huì)影響應(yīng)考情緒，繼而影響到數(shù)學(xué)學(xué)科的成績，甚至影響學(xué)生的總體成績。如何提高探究規(guī)律性的問題的教學(xué)有效性是畢業(yè)班指導(dǎo)教師都感到困惑的問題。

探究規(guī)律性問題常見的類型有：（1）數(shù)式規(guī)律型；（2）圖形變化規(guī)律型；（3）坐標(biāo)變化規(guī)律型；（4）數(shù)形結(jié)合規(guī)律型等。規(guī)律性問題是有規(guī)律可循的，數(shù)式規(guī)律型問題中存在著函數(shù)關(guān)系。近幾年來，筆者嘗試通過求函數(shù)關(guān)系式的思路來求解規(guī)律通式并將其運(yùn)用在教育教學(xué)中，筆者所指導(dǎo)的學(xué)生在中考中應(yīng)對規(guī)律性問題時(shí)得分率在90%以上，特別是數(shù)式規(guī)律型問題基本上沒有失分，在此將探究數(shù)式規(guī)律型問題的教學(xué)方法的感受與大家分享。

筆者在教學(xué)時(shí)，首先給學(xué)生展示了例1（2015·天津北辰區(qū)；一模）：如圖1，用火柴棒拼成一排由三角形組成的圖形；若拼成的圖形中有n個(gè)三角形，則需要火柴棒的根數(shù)是（ ）

圖1

A. n+2 B. n+3

C. 2n-1 D. 2n+1

在平時(shí)的教學(xué)中，教師會(huì)用學(xué)生熟悉的從特殊到一般的歸納方法來解決這類問題，具體的方法如下：

觀察圖形中的數(shù)量關(guān)系，列出表格，如表一：

表一

通過觀察兩個(gè)變量的關(guān)系、從數(shù)理關(guān)系歸納和驗(yàn)證得到結(jié)論：當(dāng)有n個(gè)三角形時(shí)，火柴棒的根數(shù)為2n+1，故答案為：D。

該方法對學(xué)生的已有認(rèn)知而言是比較抽象的，學(xué)生掌握的難度也比較大。如果用求函數(shù)關(guān)系式的思路來解決此問題，學(xué)生理解起來就會(huì)簡單和直觀多了。方法如下：

（1）確定變量：該問題有兩個(gè)變量，即三角形個(gè)數(shù)和火柴棒根數(shù)，設(shè)三角形個(gè)數(shù)為自變量x，火柴棒根數(shù)為函數(shù)y；

（2）取特殊點(diǎn)：

當(dāng)x=1時(shí)，y=3，即（1，3），

當(dāng)x=2時(shí)，y=5，即（2，5），

當(dāng)x=3時(shí)，y=7，即（3，7），

當(dāng)x=4時(shí)，y=9，即（4，9）；

（3）確定函數(shù)類型：通過描點(diǎn)、連線，觀察圖象發(fā)現(xiàn)該函數(shù)屬一次函數(shù)類型，如圖2；

（4）建立y與x的函數(shù)關(guān)系，設(shè)：y=kx+b；

（5）用待定系數(shù)法求得關(guān)系式：y=2x+1；

（6）檢驗(yàn)關(guān)系式，確定當(dāng)有n個(gè)三角形時(shí)，火柴棒根數(shù)為：2n+1；故答案為：D。

這種解決問題的方法是在利用從特殊到一般的歸納方法的基礎(chǔ)上融入了函數(shù)關(guān)系式的思路，除了比較直觀、簡單易懂外，還可以幫助學(xué)生建立解決此類問題的模型，培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想與建模思想。

接著，筆者給學(xué)生出示了例2（2016·重慶巴蜀）：如圖3，每個(gè)圖形都由同樣大小的正方形按照一定的規(guī)律組合而成，其中圖形①的面積為6cm2，圖形②的面積為18cm2，圖形③的面積為36cm2，…，那么圖形⑥的面積為（ ）

A.84cm2 B.90cm2

C.126cm2 D.168cm2

筆者首先讓學(xué)生使用他們比較熟悉的用從特殊到一般的歸納方法來解決此問題，學(xué)生大多列表如下：

但是學(xué)生很難歸納出圖形面積的變化規(guī)律，就算是筆者也很難直接觀察表格得出結(jié)論，應(yīng)試當(dāng)中的學(xué)生更是難以解決該問題。

筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)兩個(gè)變量之間沒有明顯的和、差、倍數(shù)關(guān)系時(shí)，若想直接通過觀察數(shù)理關(guān)系歸納出結(jié)論非常困難，但是如果利用建立函數(shù)關(guān)系模式來求解就容易得多了。

于是，筆者建議學(xué)生使用例1中的構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式的方法求解例2，并適時(shí)給予學(xué)生提示，具體解決過程如下：

（1）確定變量：該問題有兩個(gè)變量，即序數(shù)和圖形的面積，設(shè)定序數(shù)為自變量n，圖形的面積為函數(shù)S；

（2）取特殊點(diǎn)：

當(dāng)n=1時(shí)，S=6，即（1，6）；

當(dāng)n=2時(shí)，S=18，即（2，18）；

當(dāng)n=3時(shí)，S=36，即（3，36）；

當(dāng)x=4時(shí)，S=60，即（4，60）；

（3）確定函數(shù)類型：通過描點(diǎn)、連線，觀察圖象發(fā)現(xiàn)該函數(shù)屬二次函數(shù)類型，如圖4；

（4）建立函數(shù)關(guān)系：設(shè)S=an2+bn+c；

（5）用待定系數(shù)法求得關(guān)系式：S=3n2+3n；

（6）檢驗(yàn)關(guān)系式，確定第n個(gè)圖形的面積為：3n2+3n；

則n=6時(shí)，S=126，故答案為：C。

在此教學(xué)過程中，筆者首先為學(xué)生創(chuàng)造了認(rèn)知沖突——讓學(xué)生意識到用從特殊到一般的歸納方法難以得出例2的結(jié)論；接著，筆者引導(dǎo)學(xué)生使用建立函數(shù)關(guān)系式的方法解答例2，不僅求解過程簡單、快速，而且學(xué)生容易接受。該教學(xué)過程是成功的，既讓學(xué)生掌握了解題方法，又培養(yǎng)了學(xué)生的函數(shù)思想、舉一反三的能力。

筆者趁熱打鐵，給學(xué)生出示了練習(xí)3（2015·江蘇江陰）：觀察下面一列數(shù)：1，2，3，4，5，6，7，…，將這列數(shù)排成下列形式：記aij為第i行第j列的數(shù)，如a23=4，那么a87是 .

在巡視時(shí)，筆者驚喜地發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)掌握了用建立函數(shù)關(guān)系式求解規(guī)律問題的方法，并且還產(chǎn)生了不同的解題方法，具體如下：

方法一：先求ann的通式（如下方框內(nèi)的數(shù)）：

用類似例2的方法可求得通式：ann=n2-n+1，

則a88=82-8+1=57，由距陣中橫向數(shù)列的特征可得：a87=56。

方法二：可以先求出an（n-1）的通式（如下圖方框內(nèi)的數(shù)）：

用類似例2的方法可求得通式：an（n-1）=n2-n，

則a87=82-8=56。

當(dāng)然，每種規(guī)律性問題都存在其獨(dú)特性，并非所有的規(guī)律性問題都可以用求函數(shù)關(guān)系式的思路來求解規(guī)律通式；但因一些數(shù)式規(guī)律型問題存在某種函數(shù)關(guān)系，可以用建立函數(shù)關(guān)系式的思路來求解規(guī)律通式。通?？蓸?gòu)建解決這類問題的模型：設(shè)序數(shù)為自變量，序數(shù)對應(yīng)值為函數(shù)；取特殊值，描點(diǎn)、連線，確定函數(shù)類型；求出關(guān)系式則可得規(guī)律通式；通過檢驗(yàn)來確定通式的準(zhǔn)確性。

教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)當(dāng)多關(guān)注學(xué)生，了解學(xué)生的難點(diǎn)所在并有針對性地進(jìn)行訓(xùn)練，幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，提高學(xué)生的能力。

（責(zé)編 劉小瑗）