莫莉薇

【摘要】本文以《方差》一課的磨課經(jīng)歷為例，論述了數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)分析教學(xué)中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 數(shù)形結(jié)合 方差

磨課

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）06A-0078-03

《統(tǒng)計(jì)與概率》是初中數(shù)學(xué)四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域之一。由于這部分課程內(nèi)容在中考中所占的比例相對(duì)較少（15%），課程目標(biāo)以體驗(yàn)、認(rèn)識(shí)、了解、簡(jiǎn)單運(yùn)用為主，所以在實(shí)際教學(xué)中，教師往往直接給出相應(yīng)的計(jì)算公式，然后通過一系列的練習(xí)讓學(xué)生熟背公式，熟練計(jì)算。這樣的教學(xué)方式表面上看非常高效，實(shí)際上并不符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，忽略了計(jì)算公式的推導(dǎo)過程和統(tǒng)計(jì)量概念的產(chǎn)生和發(fā)展形成過程，學(xué)生并沒有真正地理解公式，也不利于學(xué)生統(tǒng)計(jì)觀念的形成。那么《統(tǒng)計(jì)與概率》的教學(xué)該如何設(shè)計(jì)呢？下面以人教版八年級(jí)下冊(cè)《數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度》第一課時(shí)的磨課經(jīng)歷為例，談一談筆者對(duì)《統(tǒng)計(jì)與概率》中的數(shù)據(jù)分析教學(xué)的認(rèn)識(shí)。

一、磨課過程

（一）第一次試教

1.教學(xué)過程

（1）創(chuàng)設(shè)情境

農(nóng)科院計(jì)劃為某地選擇合適的甜玉米種子。選擇種子時(shí)，甜玉米的產(chǎn)量和產(chǎn)量的穩(wěn)定性是農(nóng)科院所關(guān)心的問題.為了解甲、乙兩種甜玉米種子的相關(guān)情況，農(nóng)科院各用10塊自然條件相同的試驗(yàn)田進(jìn)行試驗(yàn)，得到各試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量（單位：t）如表一：

根據(jù)這些數(shù)據(jù)，你認(rèn)為農(nóng)科院應(yīng)該選擇哪種甜玉米種子呢？

學(xué)生通過計(jì)算平均數(shù)得出x甲=7.537，x乙=7.515。部分學(xué)生覺得甲玉米種子的平均產(chǎn)量稍大一些，選甲玉米種子；另一部分學(xué)生覺得兩種玉米種子的平均產(chǎn)量相差不大，應(yīng)該再對(duì)比其他方面的數(shù)據(jù)。教師順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生分析兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況。

（2）引入方差計(jì)算公式

教師直接告訴學(xué)生方差可以刻畫一組數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小，即方差越大，數(shù)據(jù)波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)波動(dòng)越小，并給出方差的計(jì)算公式：

s2=[（x1-x） 2+（x2-x） 2+…+（xn-x） 2n]，

隨后對(duì)公式進(jìn)行分析解釋。

（3）運(yùn)用與鞏固

①在某樣本方差的計(jì)算公式s2=[150（x1-6） 2+（x2-6） 2+…+（x50-6） 2]中，數(shù)字50和6依次表示樣本的（ ）

A.方差，平均數(shù) B.平均數(shù)，容量

C.容量，方差 D.容量，平均數(shù)

②在某次英語競(jìng)賽中，組委會(huì)通過計(jì)算，得出甲、乙、丙三個(gè)學(xué)校的學(xué)生成績(jī)的方差分別為：

[s2甲=15.2，s2乙=6.1，s2丙=10.4]

則 學(xué)校的學(xué)生成績(jī)波動(dòng)較小。

③在一次芭蕾舞比賽中，甲、乙兩個(gè)芭蕾舞團(tuán)都表演了芭蕾舞劇《天鵝湖》，參加表演的女演員的身高（單位：cm）分別如下，哪個(gè)芭蕾舞團(tuán)女演員的隊(duì)列看上去更整齊？

甲：163，164，164，165，165，166，166，167；

乙：163，165，165，166，166，167，168，168。

2.課后研討

該教學(xué)過程的優(yōu)點(diǎn)：學(xué)生能熟記方差的計(jì)算公式且計(jì)算熟練，可以正確完成相關(guān)的習(xí)題。

該教學(xué)過程的不足：學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不夠高，課堂參與度低；學(xué)生對(duì)方差公式的產(chǎn)生和發(fā)展過程以及方差這個(gè)統(tǒng)計(jì)量為什么能表示一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小等一無所知，難以回答出難度較大的深層次的提問。

修改建議：（1）更換一個(gè)學(xué)生更為熟悉、感興趣的引入情境，用于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和明確學(xué)習(xí)方差的必要性；（2）應(yīng)更為直觀地向?qū)W生展示方差刻畫數(shù)據(jù)離散程度的合理性；（3）初中學(xué)生機(jī)械記憶力較強(qiáng)，但分析能力較弱，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)該在方差公式的推導(dǎo)方面對(duì)學(xué)生多加引導(dǎo)。

（二）第二次試教

1.教學(xué)過程

（1）創(chuàng)設(shè)情境（選取我校的傳統(tǒng)體育項(xiàng)目、體育中考項(xiàng)目：拋繡球?yàn)楸尘埃?/p>

表二是李強(qiáng)和王朋兩位同學(xué)練習(xí)拋繡球時(shí)的10次進(jìn)球數(shù)，若學(xué)校要從中選拔一人參加全市運(yùn)動(dòng)會(huì)，你能給些建議嗎？

學(xué)生通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)兩人進(jìn)球數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都相同，選擇出現(xiàn)困難。教師通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)進(jìn)行對(duì)比，說明兩組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)相同，引出要知道各數(shù)據(jù)之間的差異情況就要考察數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度，以此判斷哪位同學(xué)的發(fā)揮更穩(wěn)定。

（2）數(shù)形結(jié)合，分析數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況

教師用圖1表示表二中的數(shù)據(jù)并讓學(xué)生嘗試說明兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況。

隨后教師提問：是否能用一個(gè)量來刻畫圖中看出的結(jié)果？

（3）方差計(jì)算公式

教師告訴學(xué)生，在統(tǒng)計(jì)中常用方差來衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)的大小，方差的計(jì)算公式為：

s2=[（x1-x） 2+（x2-x） 2+…+（xn-x） 2n]，并對(duì)公式進(jìn)行分析解釋。

學(xué)生運(yùn)用方差的計(jì)算公式分別計(jì)算之前兩組數(shù)據(jù)的方差，并與從圖中看出的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

最后，師生歸納得到方差是刻畫數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的統(tǒng)計(jì)量，方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小。

（4）運(yùn)用與鞏固（練習(xí)題與第一次試教相同）

2.課后研討

該教學(xué)過程的優(yōu)點(diǎn)：拋繡球情境的引入，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又讓學(xué)生明確了學(xué)習(xí)方差的必要性；用散點(diǎn)圖的方式比較數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，使學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的情況有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)，再對(duì)比方差公式的計(jì)算結(jié)果，直觀地證實(shí)了方差刻畫數(shù)據(jù)離散程度的合理性。

該教學(xué)過程的不足：教師直接給出方差計(jì)算公式，學(xué)生對(duì)公式的形成、發(fā)展過程一無所知，不利于學(xué)生對(duì)方差概念的理解。

修改建議：教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)在方差定義的形成、發(fā)展過程和方差公式的組成結(jié)構(gòu)的分析上多下功夫，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合散點(diǎn)圖，由抽象到直觀地理解方差計(jì)算公式的推導(dǎo)過程——先求差，再求差的平方和，最后求差的平方的平均值。

（三）第三次試教

1.教學(xué)過程

（1）創(chuàng)設(shè)情境（與第二次試教相同）

（2）數(shù)形結(jié)合，分析數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況（與第二次試教相同）

（3）方差的概念

師：請(qǐng)觀察兩組數(shù)據(jù)的圖象，如圖2所示，思考下列問題。

①我們說的波動(dòng)，是以圖中哪一個(gè)量為基準(zhǔn)的？

答：進(jìn)球的平均數(shù)6。

②求每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的偏差，可以怎樣運(yùn)算？

答：分別求差：x1-x，x2-x，…，xn-x。

③求所有數(shù)據(jù)與平均數(shù)的偏差，可以怎樣運(yùn)算？

答：求和：（x1-x）+（x2-x）+…+（xn-x）。

④哪種運(yùn)算可以使偏差的值非負(fù)，避免相互抵消？

答：方法可為：[x1-x]+[x2-x]+…+[xn-x]或（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2。

練習(xí)：請(qǐng)用你剛才總結(jié)出的計(jì)算方法，評(píng)價(jià)下列兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況。

甲：9 1 0 -1 -9

乙：6 4 0 -4 -6

學(xué)生通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，甲、乙兩組數(shù)據(jù)[x1-x]+[x2-x]+…+[xn-x]的計(jì)算結(jié)果一樣，若用[x1-x]+[x2-x]+…+[xn-x]的值的大小表示數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，那么甲、乙兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況一樣，與實(shí)際不符；若用（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2的值的大小表示數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，那么計(jì)算結(jié)果為甲組數(shù)據(jù)波動(dòng)大，與實(shí)際相符。于是得出結(jié)論：在衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)“功能”上，（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2更準(zhǔn)確一些。

⑤如果兩組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)不同，用求和的方式比較大小，可行嗎？你有什么方法解決？

答：求平均數(shù)：[1n][（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]。

教師歸納方差概念：設(shè)有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方分別是（x1-x）2，（x2-x）2，…，（xn-x）2，我們用這些平方的平均數(shù)，即[1n][（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]的大小來衡量這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)的大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差，記作s2。

⑥結(jié)合方差的計(jì)算式子，說說方差是怎樣刻畫數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況的。

答：當(dāng)數(shù)據(jù)分布比較分散（即數(shù)據(jù)在平均數(shù)附近波動(dòng)較大）時(shí)，各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方和較大；當(dāng)數(shù)據(jù)分布比較集中時(shí)，各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方和較小。方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小。

（4）運(yùn)用鞏固

①在某樣本方差的計(jì)算公式s2=[1n][（x1-6）2+（x2-6）2+…+（x50-6）2]中，數(shù)字50和6依次表示樣本的（ ）

A.方差，平均數(shù) B.平均數(shù)，容量

C.容量，方差 D.容量，平均數(shù)

②在某次英語競(jìng)賽中，組委會(huì)通過計(jì)算，得出甲、乙、丙三所學(xué)校學(xué)生成績(jī)的方差分別為：[s2甲=15.2，s2乙=6.1，][s2丙=10.4]，則 學(xué)校的學(xué)生成績(jī)波動(dòng)較小。

③（請(qǐng)小組分工合作）用條形圖表示下列各組數(shù)據(jù)，計(jì)算并比較它們的平均數(shù)、極差和方差，體會(huì)方差是怎樣刻畫數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度的。

（1）6 6 6 6 6 6 6

（2）5 5 6 6 6 7 7

（3）3 3 4 6 8 9 9

（4）3 3 3 6 9 9 9

2.課后研討

整堂課使用數(shù)形結(jié)合的方式將方差公式的運(yùn)算與散點(diǎn)圖的波動(dòng)串聯(lián)起來，課堂新穎有趣又邏輯嚴(yán)密，學(xué)生對(duì)方差概念的理解由抽象轉(zhuǎn)化為直觀，巧妙地突破了難點(diǎn)。

二、磨課過程感悟

磨課是一個(gè)用心打磨的艱辛的過程，也是一個(gè)教師教學(xué)水平獲得漸進(jìn)提升的過程。筆者經(jīng)歷了“三次備課，兩輪打磨”，對(duì)教材的挖掘更加深入，教學(xué)理念得到更新，教學(xué)設(shè)計(jì)變得新穎。

教材在分析引言中甲、乙兩種甜玉米的產(chǎn)量情況時(shí)，利用兩個(gè)散點(diǎn)圖比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，隨后直接給出方差的概念，然后依據(jù)概念給出公式，并從方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)上分析了方差是怎樣刻畫數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況的。但教材對(duì)方差計(jì)算公式的推導(dǎo)過程以及方差這一概念的形成過程沒有深究。如果教師在教學(xué)時(shí)不對(duì)這些知識(shí)難點(diǎn)加以強(qiáng)調(diào)，學(xué)生很可能無法直觀、透徹地認(rèn)識(shí)方差的概念和意義。為了突破這個(gè)知識(shí)難點(diǎn)，筆者在教學(xué)設(shè)計(jì)中使用了問題串引導(dǎo)學(xué)生先從“形”的層面關(guān)注散點(diǎn)圖中單個(gè)點(diǎn)的波動(dòng)情況，進(jìn)而擴(kuò)展到關(guān)注所有點(diǎn)的波動(dòng)情況；再?gòu)摹皵?shù)”的層面將對(duì)比數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況對(duì)應(yīng)地轉(zhuǎn)化為先求差，再求差的平方和，最后除以樣本容量求差的平方的平均值。數(shù)形結(jié)合地推導(dǎo)出方差的計(jì)算公式后，再給出方差的概念，更有利于學(xué)生理解方差概念的形成、發(fā)展過程。這種將散點(diǎn)圖顯示數(shù)據(jù)的波動(dòng)和方差刻畫數(shù)據(jù)的波動(dòng)結(jié)合起來的數(shù)形結(jié)合的思想方法，更有利于學(xué)生多角度地理解方差的概念和意義。

著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形無數(shù)時(shí)難入微?！币虼耍跀?shù)據(jù)分析教學(xué)中適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過以形助數(shù)、以數(shù)解形，將抽象的概念直觀化，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，更有助于學(xué)生統(tǒng)計(jì)觀念的形成。 （責(zé)編 劉小瑗）