陳國華

[摘 要] 作為數(shù)學(xué)思維的基本形式和理解數(shù)學(xué)科學(xué)知識體系的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)已經(jīng)成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的必然要求. 本文探討了APOS理論下初中數(shù)學(xué)核心概念及其教學(xué)策略，以北師大版初中數(shù)學(xué)“函數(shù)”為例，進(jìn)行深刻闡述.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；核心概念；教學(xué)策略；函數(shù)

作為數(shù)學(xué)思維的基本形式和理解數(shù)學(xué)科學(xué)知識體系的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)已經(jīng)成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的必然要求. APOS理論是在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的一個結(jié)論，更能揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)過程，體現(xiàn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的心理特點. 因此，在APOS理論下研究初中數(shù)學(xué)核心概念及其教學(xué)策略具有重要的意義.

核心概念的內(nèi)涵及特征

數(shù)學(xué)核心概念是在一定數(shù)學(xué)概念體系中起著關(guān)鍵性作用、與其他概念是以一定的數(shù)學(xué)思想或方法聯(lián)系的、包含著豐富下位概念的一類概念. 從數(shù)學(xué)學(xué)科的角度分析，數(shù)學(xué)核心概念具有聯(lián)系性、奠基性以及豐富性等特征. 這些特征要求我們在識別、篩選核心概念時，首先要確定在一定的概念體系中；其次，厘清數(shù)學(xué)概念的發(fā)展脈絡(luò)；最后，選取那些起著核心作用、能夠生成其他下位概念的概念，這些概念或是標(biāo)志數(shù)學(xué)方法重大變革，或是反映重要數(shù)學(xué)思想，或是反映本源的概念. 從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度分析，數(shù)學(xué)核心概念的學(xué)習(xí)具有基礎(chǔ)性和可生長性特征. 這些特征要求教師在初中數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)中遵循系統(tǒng)性和整體性特征，需要在一個更長教學(xué)階段中通過其他數(shù)學(xué)內(nèi)容或與其生成的概念加深學(xué)生對數(shù)學(xué)核心概念的理解.

初中數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)的意義

一是加深對數(shù)學(xué)學(xué)科特點的理解. 新課標(biāo)中指出教師要關(guān)注數(shù)學(xué)概念中的“核心概念”，關(guān)注抽象數(shù)學(xué)概念的形成過程與實際背景，在教學(xué)中要將核心概念貫穿于初中數(shù)學(xué)的始終，這些新課程實施的要求體現(xiàn)了核心概念教學(xué)的重要意義.

二是提高數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識. 教師應(yīng)通過聯(lián)想、類比、知識的遷移和應(yīng)用等方式，找到某些重要數(shù)學(xué)內(nèi)容，并以此為載體將數(shù)學(xué)知識串聯(lián)起來，讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)知識的整體性，體會各個知識點之間的聯(lián)系，提高具體問題的解決能力. 而處于一定概念體系中的核心概念具有上述教育價值，能夠為新課程教學(xué)提供一個重要思路.

以函數(shù)這一核心概念為例，北師大版初中數(shù)學(xué)教材中涉及的函數(shù)概念的下位概念分別為一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)以及銳角三角函數(shù). 同時，許多立體幾何、求最值等問題都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題. 此外，初中函數(shù)概念教學(xué)是高中階段學(xué)習(xí)映射條件下函數(shù)概念的基礎(chǔ). 所以，在整個初中數(shù)學(xué)教學(xué)中研究函數(shù)這個核心概念具有重要的意義.

APOS理論下初中數(shù)學(xué)核心概

念教學(xué)策略

杜賓斯基提出的APOS理論是以學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的思維過程為起點，通過活動（Action）、過程（Process）、對象（Object）、圖式（Scheme）四個階段，引導(dǎo)學(xué)生再次經(jīng)歷數(shù)學(xué)史上的概念創(chuàng)造與發(fā)展過程，幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力. 筆者結(jié)合多年實踐，在APOS理論本土化教學(xué)中提出了如圖1所示的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)循環(huán)結(jié)構(gòu)模式.

1. 透過“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，導(dǎo)入概念背景

作為產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識前后的邏輯連接，數(shù)學(xué)現(xiàn)實更能體現(xiàn)現(xiàn)實問題和數(shù)學(xué)背景知識之間的內(nèi)部聯(lián)系，教師應(yīng)在課堂教學(xué)中讓學(xué)生主動地感受和體驗前人研究和創(chuàng)造的過程，并在學(xué)生已有認(rèn)知的前提下將教師講解的知識作為新知結(jié)構(gòu)的原始材料，通過內(nèi)化做出合理解釋，并將所學(xué)知識不斷完善到自己原有的認(rèn)知框架中.

2. 透過“現(xiàn)實情境”，初建概念形式

在“概念的形式初建”階段，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和認(rèn)知水平，有計劃地在已設(shè)置的“問題情境”中，透過實際生活中耳熟能詳?shù)母拍钏夭暮汀皢栴}情境”中產(chǎn)生的沖突與矛盾，激起學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望和學(xué)習(xí)的動機(jī)，積極主動地初步建構(gòu)數(shù)學(xué)概念.

3. 透過“概念的鞏固和應(yīng)用”，細(xì)化概念符號

在“概念的符號細(xì)化”階段，教師必須對數(shù)學(xué)概念內(nèi)部進(jìn)行再加工與再提煉，通過精心設(shè)計習(xí)題和例題幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識、鞏固和應(yīng)用數(shù)學(xué)概念，提煉出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性. 值得一提的是，在概念鞏固時，為了使學(xué)生達(dá)到以不變應(yīng)萬變的效果，教師應(yīng)不斷變換數(shù)學(xué)符號的多種形式. 在概念應(yīng)用時，為了充分理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，應(yīng)通過針對性強(qiáng)的變式訓(xùn)練活動，使概念的標(biāo)準(zhǔn)符號和非標(biāo)準(zhǔn)符號之間達(dá)到靈活變換，進(jìn)而多角度地充實學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和應(yīng)用.

4. 透過“概念的形式化與抽象化”，明確概念的本質(zhì)

在“概念的本質(zhì)明確”階段，為了使學(xué)生形成一個穩(wěn)定的概念，將鞏固和應(yīng)用后的數(shù)學(xué)概念上升為數(shù)學(xué)概念的形式化與抽象化. 要深刻理解數(shù)學(xué)概念的實質(zhì)，教師應(yīng)采用數(shù)學(xué)化的語言給數(shù)學(xué)概念進(jìn)行定義，反思和提煉學(xué)生已有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”和教師設(shè)計的數(shù)學(xué)情境，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)概念內(nèi)部的理想化加工和再提煉的“數(shù)學(xué)化”過程.

5. 透過“概念的聯(lián)系”，聯(lián)結(jié)概念系統(tǒng)

在該階段中，教師應(yīng)及時幫助學(xué)生回顧和總結(jié)課堂知識，設(shè)法搭建新、舊知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，挖掘其課程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生理性思考數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)觀念，不斷完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

初中數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)案例

為了研究的方便，本文選擇北師大版初中數(shù)學(xué)教材“函數(shù)”部分知識為例進(jìn)行深刻闡述.

1. 透過“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，導(dǎo)入概念背景

在上課前，要求學(xué)生通過上網(wǎng)查閱、聆聽家長講述等方式了解函數(shù)概念的背景資料，廣泛收集函數(shù)概念產(chǎn)生與發(fā)展歷程的圖片以及國內(nèi)關(guān)于函數(shù)概念的產(chǎn)生的相關(guān)內(nèi)容. 在課堂上組織學(xué)生相互交流和探討，體會函數(shù)概念產(chǎn)生的背景.

2. 透過“現(xiàn)實情境”，初建概念形式

通過糧店購買大米、乘車去學(xué)校等實際案例創(chuàng)設(shè)活動情境，引發(fā)學(xué)生積極思考哪些是常量、哪些是變量，感悟常量和變量的關(guān)系，讓學(xué)生在感性素材中構(gòu)建函數(shù)概念. 同時，深刻理解引入“函數(shù)”概念的必要性. 例如，筆者在教學(xué)中設(shè)計了以下現(xiàn)實情境：

教師每天開車上班，小車的耗油量平均為0.1升/公里，并且通過小車自身攜帶的行程儀可知，學(xué)校到自己家中的距離為30公里.

（1）隨著油費(fèi)的上漲和下跌，教師每天需要支付的油費(fèi)是如何變化的？請學(xué)生思考哪些量是變化的，哪些量是不變的.

（2）若93號汽油的價格為x元，教師每天需支付的油費(fèi)為y元，則它們之間的關(guān)系是什么，怎樣應(yīng)用解析式進(jìn)行表示？

3. 透過“概念的鞏固和應(yīng)用”，細(xì)化概念符號

為了突破教學(xué)的重難點知識，理解函數(shù)概念的實質(zhì)，應(yīng)用y=x進(jìn)一步理解函數(shù)的兩個變量，理解y是隨著x的變化而變化，只要x的值確定了，則y的值也就隨著確定了. 并理解解析式中x，y的形式符號定義，要求學(xué)生應(yīng)用其他符號寫出函數(shù)的解析式，進(jìn)一步拓展應(yīng)用概念的認(rèn)識.

4. 透過“概念的形式化與抽象化”，明確概念的本質(zhì)

除了文字表述外，函數(shù)還可以通過解析表達(dá)式進(jìn)行表示. 當(dāng)教師提及某個具體函數(shù)時，學(xué)生能夠聯(lián)想到函數(shù)的概念、解析表達(dá)式等具體內(nèi)容. 例如，在概念的形式化與抽象化階段，筆者設(shè)置了以下題目組織學(xué)生抽象函數(shù)概念：

（1）填表格.

（2）y是x的函數(shù)嗎，為什么？那么x是y的函數(shù)嗎？

（3）若輸入一個實數(shù)a，會輸出一個實數(shù)b，則b是a的函數(shù)嗎？

5. 透過“概念的聯(lián)系”，聯(lián)結(jié)概念系統(tǒng)

通過回顧學(xué)生學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識、學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法等方式，強(qiáng)化函數(shù)概念的內(nèi)涵和外延，真正理解函數(shù)是學(xué)生進(jìn)行分析、綜合、比較、抽象、概括等一系列過程，并強(qiáng)化常量和變量之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，領(lǐng)悟函數(shù)概念形成過程中歸納和抽象概括的思維. 同時，布置課后練習(xí)題目，進(jìn)一步理解和深化函數(shù)概念.

綜上所述，初中數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)不可能一勞永逸，而是按照“導(dǎo)入概念背景、初建概念形式、細(xì)化概念符號、明確概念本質(zhì)、聯(lián)結(jié)概念系統(tǒng)”五個階段組織學(xué)生學(xué)習(xí). 只有這樣，才能不斷提高初中學(xué)生對于核心概念的理解和認(rèn)識，才能不斷提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量.