張倩雯,谷峰

(杭州師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,浙江 杭州 310036)

G-度量空間中次相容映象對(duì)的公共不動(dòng)點(diǎn)定理

張倩雯,谷峰

(杭州師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,浙江 杭州 310036)

在G-度量空間中,引入了映象對(duì)次相容和相對(duì)連續(xù)的概念,并使用這些概念,證明了幾個(gè)新的公共不動(dòng)點(diǎn)定理.本文結(jié)果拓展和改進(jìn)了之前文獻(xiàn)中一些相關(guān)結(jié)果.

G-度量空間;相容;次相容;相對(duì)連續(xù);次序列連續(xù);公共不動(dòng)點(diǎn).

1 引言

文獻(xiàn)[1]引入廣義度量空間的概念,簡稱G-度量空間,它是度量空間的推廣.文獻(xiàn)[2]首次在G-度量空間中研究公共不動(dòng)點(diǎn)問題.后來,文獻(xiàn)[3]在G-度量空間中引入了映象對(duì)弱交換和R-弱交換的概念,并得到了一些公共不動(dòng)點(diǎn)結(jié)果.文獻(xiàn)[4]在G-度量空間中引入了相容映象和(A)型相容映象的概念,證明了幾個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn)定理.文獻(xiàn)[5-6]研究了G-度量空間中弱相容映象的一些公共不動(dòng)點(diǎn)問題.

文獻(xiàn)[7]在度量空間中證明了幾個(gè)有關(guān)次相容映象和次序列連續(xù)映象的公共不動(dòng)點(diǎn)定理.文獻(xiàn)[8]修正了文獻(xiàn)[7]中的一些錯(cuò)誤,證明了幾個(gè)新結(jié)果.受文獻(xiàn)[7]和[8]的啟發(fā),我們?cè)贕-度量空間中引入了映象對(duì)次相容和相對(duì)連續(xù)的概念,證明了幾個(gè)新的公共不動(dòng)點(diǎn)定理,將文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果推廣到G-度量空間中,從而拓展了他們的成果.

在介紹主要結(jié)果之前,先給出有關(guān)G-度量空間中的一些基本概念.

定義 1.1[1]設(shè)X是一個(gè)非空集合,X×X×X→R+為一函數(shù),且滿足以下條件:

則稱函數(shù)G是X上的一個(gè)廣義度量,或簡稱為X上的一個(gè)G-度量,并稱(X,G)是一個(gè)廣義度量空間,簡稱為G-度量空間.

定義 1.2[1]設(shè)(X,G)為一G-度量空間,{xn}為X中的一個(gè)序列,X中的點(diǎn)x稱為序列{xn}的極限或稱序列{xn}G-收斂到x,如果

定義 1.3[1]設(shè) (X,G)和 (X′,G′)是兩個(gè) G-度量空間,函數(shù) f:(X,G)→(X′,G′).稱 f在點(diǎn)a∈X 處是 G-連續(xù)的,如果對(duì)于任意的 ε>0,存在 δ>0使得對(duì)任意的 x,y∈X,G(a,x,y)<δ,有G′(f(a),f(x),f(y))<ε.如果 f在 X 上每一點(diǎn)處都是 G-連續(xù)的，則稱f在X上是G-連續(xù)的.

命題 1.1[1]設(shè)(X,G)為一G-度量空間,則函數(shù)G(x,y,z)關(guān)于這三個(gè)變量連續(xù).

命題 1.2[1]設(shè) (X,G)和 (X′,G′)是兩個(gè) G-度量空間,則 f:X → X′在點(diǎn) x∈X處G-連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)f在x處是G-序列連續(xù)的,即若{xn}G-收斂到x,那么{f(xn)}G-收斂到f(x).

定義 1.4[4]G-度量空間(X,G)中的自映象對(duì)f與g稱為是相容的,若對(duì)任意的{xn}?X,只要

就有

文獻(xiàn)[9]在度量空間中提出了映象對(duì)相對(duì)連續(xù)的概念.文獻(xiàn)[8]提出了度量空間中映象對(duì)次相容和次序列連續(xù)的概念.下面把這些概念引入到G-度量空間中.

定義 1.5G-度量空間 (X,G)中的自映象對(duì) f與 g稱為是相對(duì)連續(xù)的,若對(duì)任意的 {xn}?X,只要

就有

定義 1.6G-度量空間 (X,G)中的自映象對(duì) f與 g稱為是次序列連續(xù)的,若存在 {xn}?X,使得

則有

注 1.1易知,連續(xù)的映象對(duì)一定是相對(duì)連續(xù)的,反之不真.連續(xù)或者相對(duì)連續(xù)的映象對(duì)一定是次序列連續(xù)的,但是存在次序列連續(xù)的映象對(duì)既不是相對(duì)連續(xù)的也不是連續(xù)的.反例如下:

例 1.1設(shè)X=[0,∞),(X,G)是一個(gè)G-度量空間.定義映象f,g:X→X 如下:

由此可見映象對(duì)f與g是次序列連續(xù)的,但不是相對(duì)連續(xù)的,也不是連續(xù)的.

定義 1.7G-度量空間(X,G)中的自映象對(duì)f與g稱為是次相容的,若存在X中的序列 {xn},使得

有

注 1.2易知,相容的映象對(duì)一定是次相容的,反之不真.反例如下:

例1.2令X=R,G是X上的任意一個(gè)G-度量.定義映象f,g:X→X如下:

這說明映象對(duì)f與g是次相容的,且是相對(duì)連續(xù)的,但不是相容的,也不是連續(xù)的.

2 主要結(jié)果

是一個(gè)下半連續(xù)函數(shù),滿足(Ψ1):Ψ(u,u,u,u)>0,?u>0.本文中提及的φ和Ψ都如上所述.

定理 2.1設(shè)f,g,h和k是G-度量空間(X,G)中的四個(gè)自映象,若映象對(duì)(f,h)和(g,k)都是次相容和相對(duì)連續(xù)的,則

(a)f和h有重合點(diǎn); (b)g和k有重合點(diǎn).

此外,如果?x,y∈X,有以下不等式成立

則f,g,h和k有唯一公共不動(dòng)點(diǎn).

證明先證f和h有重合點(diǎn),g和k有重合點(diǎn).事實(shí)上,因映象對(duì)(f,h)和(g,k)都是次相容和相對(duì)連續(xù)的,所以存在{xn},{yn}?X,t,t′∈X,使得

且

因此

即t是f和h的重合點(diǎn),t′是g和k的重合點(diǎn).

現(xiàn)在證 t=t′.由 (1)式可得

在上式中令n→∞,并使用φ的下半連續(xù)性,可得

若 G(t,t′,t′)>0 則式 (3) 式與 (φ1) 矛盾,因此 G(t,t′,t′)=0,即 t=t′.

再證ft=t.由(1)式可得

在上式中令n→∞,并使用φ的下半連續(xù)性,ft=ht以及t=t′,可得

若 G(ft,t,t)>0,則式 (4)與 (φ1)矛盾,因此 G(ft,t,t)=0,即 ft=t.

同理可證gt=t.所以有

即t是映象f,g,h和k的公共不動(dòng)點(diǎn).

下證唯一性.假設(shè)z是映象f,g,h和k的另一個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn),則由(1)可得

若 G(t,z,z)>0,則 (5)與 (φ1)矛盾,因此 G(t,z,z)=0,即 t=z.

綜上可得，f,g,h和k有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).

定理 2.2設(shè) h,k和 {fn}n∈Z+是 G-度量空間 (X,G)中的自映象,若映象對(duì) (fn,h)和(fn+1,k)(?n∈Z+)都是次相容的和相對(duì)連續(xù)的,則

(a)fn和h有重合點(diǎn); (b)fn+1和k有重合點(diǎn).

此外,如果?x,y∈X,有以下不等式成立

則h,k和{fn}n∈Z+有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).

證明當(dāng)n=1時(shí),由定理2.1可得h,k,f1和f2有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn),設(shè)為t.則t是h,k和f1的公共不動(dòng)點(diǎn),也是h,k和f2的公共不動(dòng)點(diǎn).下證唯一性,

假設(shè)h,k和f1有另外一個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn)z,且 t≠z,則由 (6)式有

此結(jié)論與(φ1)矛盾,所以G(z,t,t)=0,即t=z.因此假設(shè)不成立,h,k和f1有唯一公共不動(dòng)點(diǎn).

同理可證h,k和f2有唯一公共不動(dòng)點(diǎn).

當(dāng)n=2時(shí),由定理2.1可得h,k,f2和f3有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn),重復(fù)上面的方法可證得h,k和f3有唯一公共不動(dòng)點(diǎn).以此重復(fù)下去可證得h,k和{fn}n∈Z+有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).

定理 2.3令f,g,h和k是G-度量空間(X,G)中的四個(gè)自映象,若映象對(duì)(f,h)和(g,k)是次相容的和相對(duì)連續(xù)的,則

(a)f和h有重合點(diǎn); (b)g和k有重合點(diǎn).

此外,如果?x,y∈X,有以下不等式成立

則f,g,h和k有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).

證明首先(a),(b)的證明與定理2.1相同,即存在{xn},{yn}?X,t,t′∈X,使得(2)式成立,并且 ft=ht,gt′=kt′. 現(xiàn)在證 t=t′. 使用 (7) 式可得

在上式中令n→∞,并注意到Ψ的下半連續(xù)性,可得

若 G(t,t′,t′)>0 則 (8) 式與 (Ψ1) 矛盾,因此 G(t,t′,t′)=0,即 t=t′.

再證ft=t.事實(shí)上,由(7)式可得

在上式中令n→∞,并注意到Ψ的下半連續(xù)性,ft=ht和t=t′,可得

若 G(ft,t,t)>0,則 (9)式與 (Ψ1)矛盾,因此 G(ft,t,t)=0,即 ft=t.

同理可證gt=t.所以有

即t是映象f,g,h和k的公共不動(dòng)點(diǎn).

下證唯一性.假設(shè)f,g,h和k有另一個(gè)有公共不動(dòng)點(diǎn)z,則由(7)式可得

若 G(t,z,z)>0,則 (10)式與 (Ψ1)矛盾,因此 G(t,z,z)=0,即 t=z.

綜上可得,f,g,h和k有唯一公共不動(dòng)點(diǎn).

定理 2.4令f,g,h和k是G-度量空間(X,G)中的四個(gè)自映象,若映象對(duì)(f,h)和(g,k)是次相容的和相對(duì)連續(xù)的,則

(a)f和h有重合點(diǎn); (b)g和k有重合點(diǎn).

此外,如果存在下半連續(xù)函數(shù) Φ:[0,∞)→ [0,∞),滿足 Φ(t)=0當(dāng)且僅當(dāng) t=0,且?x,y∈X,有

其中a,b:[0,∞)→[0,1)是兩個(gè)下半連續(xù)函數(shù),且滿足條件

則f,g,h和k有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).

證明首先,與定理2.1相應(yīng)部分的證明完全相同,可證存在{xn},{yn}?X,t,t′∈X,使得(2)式成立，并且

現(xiàn)在證 t=t′.否則,使用 (11)式可得

在上式中令n→∞,并使用函數(shù)Φ,a,和b的性質(zhì)可得,

此為矛盾,所以 t=t′.

再證 ft=t,假設(shè) ft≠t,則由 (11)式可得

在上式中令n→∞,并考慮到函數(shù)Φ,a,和b的性質(zhì)以及ft=ht,可得

矛盾,故ft=t.

同理可證gt=t.所以有

即t是映象f,g,h和k的公共不動(dòng)點(diǎn).

下證唯一性.假設(shè)f,g,h和k有另一個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn)z,且t≠z,則G(t,z,z)>0.由(11)式可得

由t和z都是f,g,h和k的公共不動(dòng)點(diǎn),可得

矛盾,所以t=z.

綜上可得f,g,h和k有唯一的公共不動(dòng)點(diǎn).

注 2.1將定理2.4中的(11)式換成以下不等式,結(jié)論也是成立的.

注 2.2在本文的所有定理和推論中,將條件中的次相容和相對(duì)連續(xù)分別換為相容和次序列連續(xù),結(jié)論依然成立.

注 2.3在定理2.1、定理2.3和定理2.4中,如果取:

可以得到一些新的不動(dòng)點(diǎn)和公共不動(dòng)點(diǎn)定理,此處略去.

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Common fi xed point theorems for pairs of subcompatible maps in G-metric spaces

Zhang Qianwen,Gu Feng
(Department of Mathematics,Hangzhou Normal University,Hangzhou 310036,China)

In the framework of a G-metric spaces,we introduce notion of subcompatibility and reciprocally continuous,we prove some new fi xed point theorems using subcompatible and reciprocally continuous The results obtained in this paper extend and improve some well-known comparable results in the literature.

G-metric space,compatible,subcompatible,reciprocally continuous,subsequentially continuous,common fi xed point.

O177.91

A

1008-5513(2017)03-0298-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.03.009

2017-03-31.

國家自然科學(xué)基金(11071169);浙江省自然科學(xué)基金(Y6110287).

張倩雯(1993-),碩士生,研究方向：應(yīng)用非線性分析.

谷峰(1960-),教授,研究方向：應(yīng)用非線性分析.

2010 MSC:47H10,54H25,55M20