湯獲, 李文娟, 張海燕, 周海燕

(1.赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,內(nèi)蒙古赤峰 024000;2.赤峰學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,內(nèi)蒙古赤峰 024000)

Ma-Minda型雙向單葉螺旋函數(shù)類的Fekete-Szeg?不等式

湯獲1,2, 李文娟1,2, 張海燕1,2, 周海燕1,2

(1.赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,內(nèi)蒙古赤峰 024000;2.赤峰學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,內(nèi)蒙古赤峰 024000)

引入單位圓盤 D={z∈C:|z|<1}內(nèi) Ma-Minda型雙向單葉螺旋函數(shù)類(λ,β,φ),利用從屬關(guān)系討論了該類中函數(shù)的Fekete-Szeg¨o不等式,所得結(jié)果推廣了一些作者的相關(guān)工作.

解析函數(shù);Ma-Minda型雙向單葉螺旋函數(shù);從屬關(guān)系;Fekete-Szeg¨o不等式

1 引言

設(shè) R是實(shí)數(shù)集,C是復(fù)數(shù)集,N={1,2,3,···}=N0{0}是正整數(shù)集,A表示在單位圓盤D={z∈C:|z|<1}內(nèi)具有如下形式:

的解析函數(shù)族.用S表示在D內(nèi)單葉且滿足A的所有子類.對于任意函數(shù)f∈S,它是可逆的且其逆函數(shù)f?1滿足:

和

這里

如果函數(shù)f和f?1在D內(nèi)單葉,則稱函數(shù)f∈A在D內(nèi)雙向單葉[1].用σ表示D內(nèi)雙向單葉函數(shù)類.

設(shè)函數(shù)f(z)和g(z)在D內(nèi)解析,若存在一個Schwarz函數(shù)w(z),使得

滿足

則稱函數(shù)g(z)從屬于f(z),記為g(z)?f(z)(見文獻(xiàn)[2])．

利用從屬定義,在文獻(xiàn)[3]中引入如下的Ma-Minda型星象函數(shù)和Ma-Minda型凸象函數(shù):

其中 φ(z)是在D 內(nèi)實(shí)部為正的解析函數(shù),且滿足 φ(0)=1,φ′(0)>0,φ(z)將D 映射到關(guān)于1星象和實(shí)軸對稱的一個區(qū)域.

若 f和 f?1是 Ma-Minda型星象函數(shù),則稱 f是 Ma-Minda型雙向星象函數(shù),記為(見文獻(xiàn)[3]);若f和f?1是Ma-Minda型凸象函數(shù),則稱f是Ma-Minda型雙向凸象函數(shù),記為 Kσ(φ)(見文獻(xiàn)[3]).

近年來,許多學(xué)者引入并研究了雙向單葉函數(shù)的各種子類[4-6],并得到了該類中函數(shù)系數(shù)|a2|和|a3|的估計.最近,文獻(xiàn)[7-10]借助從屬關(guān)系討論了某些廣義雙向單葉函數(shù)類中函數(shù)系數(shù)|a2|和|a3|的估計.受上述工作的啟發(fā),本文引進(jìn)并研究一類Ma-Minda型雙向單葉螺旋函數(shù)類,利用從屬關(guān)系討論該類中函數(shù)的Fekete-Szeg¨o不等式,所得結(jié)果推廣一些已知結(jié)果.

2 主要結(jié)果

假設(shè) φ(z)是在 D 內(nèi)的正實(shí)部單葉解析函數(shù),且 φ(0)=1,φ′(0)>0,φ(z)映射單位圓盤D到D內(nèi)的星形區(qū)域是關(guān)于實(shí)軸對稱的星象域,其泰勒級數(shù)展開式具有如下形式:

其中 Bj∈ R(j=1,2,···),B1>0.

下面引入Ma-Minda型雙向單葉螺旋函數(shù)類.

定義 2.1設(shè)函數(shù)f(z)∈σ由(1.1)式給出,如果函數(shù)f(z)滿足下列條件:

和

注 2.1在定義2.1中,若適當(dāng)選取參數(shù)λ,β和φ,可得下列函數(shù)子類:

為了得出本文主要結(jié)果,需要以下引理.

引理2.1[2]設(shè)函數(shù)

為 D 內(nèi)正實(shí)部解析函數(shù),則 |pj|≤2(j=1,2,···).

定理2.1設(shè)δ∈R,函數(shù)f由(1)式給出,若則有

定義兩個函數(shù)p和q如下:

定理2.1得證.證畢.

在定理2.1中,若取β=0,則有下列推論2.1.

推論2.1設(shè)δ∈R,函數(shù)f由(1)式給出,若則有

在定理2.1中,若取μ=1,則有下列推論2.2.

推論 2.2設(shè) δ∈R,函數(shù) f由 (1)式給出,若 f∈Hσ(λ,β,φ),則有

在定理2.1中,若取λ=1,則有下列推論2.3.

推論2.3設(shè) δ∈R,函數(shù)f由(1)式給出,若f∈(β,φ),則有

在定理2.1中,若取μ=λ=1,則有下列推論2.4.

推論 2.4設(shè) δ∈R,函數(shù) f由 (1)式給出,若 f∈Hσ(β,φ),則有

在定理2.1中,若取δ=1,則有下列推論2.5.

推論2.5設(shè)函數(shù)f由(1)式給出,若f∈(λ,β,φ),則有

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Fekete-Szeg? inequalities for the class of Ma-Minda bi-univalent spirlike functions

Tang Huo1,2,Li Wenjuan1,2,Zhang Haiyan1,2,Zhou Haiyan1,2
(1.School of Mathematics and Statistics,Chifeng University,Chifeng 024000,China;2.Institute of Applied Mathematics,Chifeng University,Chifeng 024000,China)

In this paper,we introduce the class Hμσ(λ,β,φ)of Ma-Minda bi-univalent spirlike functions in the open unit disk D={z ∈ C:|z|<1}.By using the subordination relationship,we investigate Fekete-Szeg¨o inequalities for functions belonging to the above class.The results obtained generalize some known works.

Ma-Minda bi-univalent spirlike function,subordination relationship,Fekete-Szeg¨o inequality

O174.51

A

1008-5513(2017)03-0241-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.03.003

2017-03-13.

國家自然科學(xué)基金(11561001);內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金(2014MS0101);內(nèi)蒙古高?？蒲谢?NJZY16251).

湯獲(1979-),博士,副教授,研究方向:復(fù)分析及其應(yīng)用.

2010 MSC:16D13