金啟勝, 周宗福

(1.安慶師范大學(xué),安慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽 安慶 246003;2.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230039)

一類半線性橢圓型方程組邊值問題的可解性

金啟勝1, 周宗福2

(1.安慶師范大學(xué),安慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽 安慶 246003;2.安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230039)

利用極大值原理和Holder,Poincare不等式,證明了一類半線性橢圓型方程組解的非負(fù)性和唯一性.在此基礎(chǔ)上,又利用連續(xù)統(tǒng)理論證明了該邊值問題有且僅有唯一的正解,推廣了該邊值問題可解性的結(jié)論.

連續(xù)統(tǒng);緊正算子;極大值原理;正解

1 引言

考察一類半線性橢圓型方程組:

其中

λ>0為實(shí)參數(shù).則問題 (2)存在起始于 (0,0),延拓出的解 (λ,U)的連續(xù)統(tǒng)

引理 1.1[1]設(shè)Z是一個Banach空間,T:R+×Z→Z是一個連續(xù)映射,則非線性特征值問題:

有一個相會于(0,0)∈R+×Z的解的無界連續(xù)統(tǒng).引理1.1證明見參考文獻(xiàn)[1].

引理1.2[2](極大值原理)設(shè)Z是一個Banach空間,正錐K?Z,:Z→Z是一個線性算子,所謂極大值原理就是對于問題U?U+H,U∈Z,在H≥0時,即H∈K時,能推出它的解U≥0.

引理1.3[2]設(shè):Z→Z是一個線性緊正算子,若由條件{U∈Z,t∈[0,1],U=tU}能推出U=0,則問題U?U+H,U∈Z滿足極大值原理.

引理1.2、引理1.3證明見參考文獻(xiàn)[2].

2 主要結(jié)果及證明

該問題與問題(1)同解.

引進(jìn)范數(shù)

λ1為Dirichlet條件下-?在?里的第一特征值.

定理 2.1[3-4]如果|G(x)<λ1,那么問題(4)的解非負(fù).

因?yàn)锳(x)各項(xiàng)非負(fù)連續(xù),所以L?1A(x)仍然是緊正算子.故問題(5)等價于:

將第k個方程兩邊乘以uk,k=1,2,···,n,并且在?上積分,利用格林公式可得

使用Holder不等式和Poincare不等式,可進(jìn)一步得到:

把上面各式相加得到:

從而U≡0.又因?yàn)镠(x)≥0,根據(jù)引理1.2和引理1.3可得到問題(4)的解U≥0.從而問題(1)的解非負(fù).

定理 2.2如果問題(4)有解,那么其解必唯一.

證明不妨設(shè)U1,U2是問題(4)的兩個解,則X=U1?U2滿足方程:

這和問題(5)在t=1時等價.和定理1證明方法一樣,可得到X=0.所以U1=U2.由問題(4)的解唯一可得到問題(1)的解也唯一.

定理 2.3[6]如果|G(x)|<λ1,那么問題(1)有一個正解.

證明設(shè)定義范數(shù)

則是一個Banach空間.根據(jù)定理2.1的證明可知,L?1:Z→Z是一個線性緊正算子.

在R+×Z里考慮方程:

因?yàn)長?1A,L?1H 為緊算子,由引理1.1可知,有一個相會于(0,0)∈R+×Z的解的無界連續(xù)統(tǒng) W 存在.因?yàn)?hk(x),k=1,2,···,n中至少有一個大于零,所以如果有 (λ,0)∈W,那么 λ=0.顯然 (U,0)∈W,所以 U=0.所以與R+×{0}|W相交于(0,0).如果λ≤1,根據(jù)定理2.1的證明可知,問題(10)的每一個解都是正的.因?yàn)閃 無界，所以W可能.

分三種情況討論:

(Ⅰ)W 關(guān)于λ無界;

(Ⅱ)W 關(guān)于U無界;

(Ⅲ)W 關(guān)于λ和U無界.

如果(Ⅰ)、(Ⅲ)成立,則 W 通過線{1}×Z,所以問題(4)有正解,從而問題(1)有正解.

設(shè) (λ,U)∈W,λ ≤1,所以 W 關(guān)于 U 無界.存在一個序列 (λn,Un)∈W,滿足

所以

所以V為問題(11)的非平凡解.而λ0≤1,根據(jù)定理2.1證明可知V≡0,顯然矛盾.從而W通過線{1}×Z,問題(4)有一個正解,故問題(1)有一個正解.

參考文獻(xiàn)

[1]Rabinowit P H.Some global results for nonlinear eigenvalue problems[J].Journal of Functtional Analysis,1971,7(4):487-513.

[2]Correa F J S A,Souto M A S.On maximum principle for cooperative elliptic systems Via fi xed point index.Nonlinear Analysis[J].Theory Methods and Application,1996,26(5):997-1006.

[3]辛奎東,黃國榮.一類(p,q)-Laplacian橢圓方程組解的存在性[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2011,27(4):486-490.

[4]李華,馬飛遙.含梯度項(xiàng)的橢圓方程組的邊界爆破解[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2016,32(4):640-648.

[5]Gilbarg D,Trudinger N S.Elliptic Partical Di ff erential Equations of Second Order[M].Berlin:Springer,1983.

[6]彭超權(quán),王芳,劉穎.一類半線性橢圓型方程組非平凡解的存在性 [J].中南民族大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2014,33(4):110-112.

[7]Deimling K.Nonlinear Functional Analysis[M].Berlin:Springer,1985.

Solvability of a class of semi-linear elliptic equations boundary value

Jin Qisheng,Zhou Zongfu
(1.Anqing Normal University,Anqing Vocational and Technical College,Anqing 246003,China;2.School of Mathematics Science,Anhui University,Hefei230039,China)

In this paper,we proved the non-negativity and uniqueness of the solution to a class of semilinear elliptic equations with the maximum principle and Holder and Poincare inequality.On the basis of this theory,we prove that the boundary-value problem has only one positive solution according to continuum theory,generalizing the conclusion of the solvability of boundary-value problem.

continuum,positive operator,maximum principle,positive solution

O175.2

A

1008-5513(2017)03-0248-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.03.004

2017-01-21.

安徽省教育廳項(xiàng)目(2015jyxm539);安徽省自然科研項(xiàng)目(KJ2016A447).

金啟勝(1972-),碩士,副教授,研究方向：主要從事微分方程研究.

2010 MSC:35J55