陳申寶, 史彥龍

(1.浙江工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院,浙江 寧波 315012;2.浙江醫(yī)藥高等?？茖W(xué)校,浙江 寧波 315100)

真分?jǐn)?shù)的兩項(xiàng)分拆方法

陳申寶1, 史彥龍2

(1.浙江工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院,浙江 寧波 315012;2.浙江醫(yī)藥高等?？茖W(xué)校,浙江 寧波 315100)

將真分?jǐn)?shù)(m

真分?jǐn)?shù);兩項(xiàng)分拆;互素因數(shù)法

1 引言

2 計(jì)算單位分?jǐn)?shù)的兩項(xiàng)分拆的常用方法

2.1 搜索法

設(shè)

搜索法直觀可行,涉及數(shù)學(xué)知識(shí)很少,但當(dāng)n很大時(shí)不但計(jì)算量極大,而且事先不知分拆有多少組,從而極易因計(jì)算失誤而漏去分拆,因此不能視為理想的方法.

2.2 平方因數(shù)法

我們稱n2的因數(shù)為n的平方因數(shù).設(shè)即a=n+r

例如,對(duì) n=12,n2=24×32,符合 1≤r<12的平方因數(shù) r=1,2,3,4,6,8,9,分別代入a=12+r和中,即可求得與搜索法計(jì)算相同的7組分拆.

因?yàn)閷ふ移椒揭驍?shù)時(shí),能利用n2的初等分解式較快的求得,故計(jì)算量將大為減少,但仍不能防止因計(jì)算失誤而產(chǎn)生的遺漏現(xiàn)象,究其原因是我們無(wú)法在計(jì)算分拆前就預(yù)知的值.

本文提出了一種創(chuàng)造性的計(jì)算兩項(xiàng)分拆的方法–互素因數(shù)法.首先用初等方法證明了在的每組分拆F(a,b)與n的互素因數(shù)組?s,t?之間存在著一對(duì)應(yīng)關(guān)系,進(jìn)而依據(jù)n的標(biāo)準(zhǔn)分解就能直接推出計(jì)算的分拆組數(shù)?()的初等公式,從而能有效的防止出現(xiàn)遺漏現(xiàn)象.同時(shí),以互素因數(shù)組?s,t?為工具,給出了計(jì)算真分?jǐn)?shù)的兩項(xiàng)分拆方法.

3 互素因數(shù)法

顯然a和b都是正整數(shù),且

故每組?s,t?都有惟一對(duì)應(yīng)的一組分拆F(a,b),而且由于(s,t)=1,所以不同的?s,t?必對(duì)應(yīng)不同的分拆,找出全部?s,t?,至少將求得的部分分拆。

例如，對(duì)n=12,可將它的全部?s,t?和算得的分拆列表(見(jiàn)表1）如下:

表1 的互素因數(shù)法兩項(xiàng)分拆

表1 的互素因數(shù)法兩項(xiàng)分拆

組號(hào) 1 2 3 4 5 6 7s1111123 12 3 4a=12t2346t(s+t) 18 16 15 14 13 20 21b=tsa 36 48 60 84 156 30 28

將所得的分拆,按由a從小到大的順序排列,其結(jié)果與前面兩種算法完全相同.

設(shè)命題不大于k時(shí)已成立,則對(duì)k+1,原公式可分為兩種情形:其一是對(duì)

對(duì)N1,可將其互素因數(shù)組分成兩類,第一類不含新增的p,由歸納假設(shè)知,共有

因此命題對(duì)k+1也成立.

的值.

2按素?cái)?shù)pi由小到大,由單字母因數(shù)到多字母因數(shù)的順序找出全體?s,t?.

上述“2”和“3”兩步可列表同時(shí)進(jìn)行.又為防止計(jì)算錯(cuò)誤,不妨再用平方因數(shù)法計(jì)算一次,看結(jié)果是否一致.

例3.1計(jì)算的兩項(xiàng)分拆.

表2 的互素因數(shù)法兩項(xiàng)分拆

表2 的互素因數(shù)法兩項(xiàng)分拆

組號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1t 2 22 3 5 2×3 22×3 2×5 3×5 22×5 2×3×5 22×3×5a=60st(s+t) 90 75 80 72 70 65 66 64 63 62 61b=tsa 180 300 240 360 420 780 660 960 1260 1860 3660組號(hào) 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22s3 5 5 22 5 3×5 3×5 2×5 22×5 2×3 22×3a=602 2 22 3 3 2 22 3 3 5 5tt(s+t) 100 84 108 105 96 68 76 78 69 110 85b=tsa 150 210 135 140 160 510 285 260 460 132 204

成立.

其中?s,t?是n的一組互素因數(shù).因?yàn)?(m,n)=1,(t,s+t)=1,所以m|(s+t).

例4.1計(jì)算的兩項(xiàng)分拆.

[1]蓋伊R K,張明堯.數(shù)論中未解決的問(wèn)題[M].北京:科學(xué)出版社,2003.

[2]Guy R K.Unsolved Problems in Number Theory[M].NewYork:Springe,1981.

[3]周輝.關(guān)于單位分?jǐn)?shù)的分拆個(gè)數(shù)[J].新課程,2014(11):27.

[4]王丹華,楊海文.一類方程的正整數(shù)解問(wèn)題[J].高等數(shù)學(xué)研究,2008,11(1):38-40.

[5]柯召,孫琦.單位分?jǐn)?shù)[M].北京:人民教育出版社,1981.

[6]石賽英.分拆正有理數(shù)成單位分?jǐn)?shù)之和[J].杭州師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,3(4):320-322.

[7]邊欣.單位分?jǐn)?shù)的一個(gè)猜想的簡(jiǎn)證[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2003(3):42-44.

[8]張水勝,劉艷麗.真分?jǐn)?shù)表成單位分?jǐn)?shù)和的一類特解[J].齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報(bào),2005,21(2):91-92.

[9]鄭一.關(guān)于單位分?jǐn)?shù)的丟番圖方程[J].齊齊哈爾師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1996,16(4):14-15.

[10]陳申寶,陳廷鍵.正整數(shù)解的結(jié)構(gòu)與求法[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2013,29(1):50-59.

The method of two partition of proper fraction

Chen Shenbao1,Shi Yanlong2
(1.Zhejiang Business Techonology Institute,Ningbo 315012,China;2.Zhejiang Pharmaceutical College,Ningbo 315100,China)

Two partition is de fi nded by the proper fraction(m

proper fraction,two partition,coprime factor method

O156.1

A

1008-5513(2017)03-0254-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.03.005

2017-03-05.

浙江省教育廳科研項(xiàng)目(Y201636499).

陳申寶(1971-),碩士,副教授,研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué).

2010 MSC:11D99