吳淑群

[摘 要] 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)是有針對性、有目的性的，要尋根溯源. 那種用重復(fù)訓(xùn)練替代有效復(fù)習(xí)的方式既低效又耗時，成為近年來復(fù)習(xí)教學(xué)的反面典型. 本文以復(fù)習(xí)教學(xué)典型案例和背后的思考入手，開拓教師復(fù)習(xí)教學(xué)新思路.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)；復(fù)習(xí)教學(xué)；高三；題根；題海

眾所周知，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)不是無目的的重復(fù)做題，也不是僅僅依賴大量訓(xùn)練達到目的的.但是上述方式卻依舊在很長一段時間內(nèi)獲得了教師教學(xué)的首肯，原因何在？從華東師大心理學(xué)教授孟慧對于教師教學(xué)方式的調(diào)查研究來看，發(fā)現(xiàn)了三個根本的因素：

第一，慣性的作用.孟教授將其歸結(jié)為教師的教學(xué)經(jīng)驗過度，造成了經(jīng)驗性的慣性. 考慮到新一輪課程改革實施不過數(shù)十年，而現(xiàn)在的教師卻完全在應(yīng)試教學(xué)模式下成長起來，其對于數(shù)學(xué)成績的提高的認知基本停留在一種當年自己學(xué)習(xí)的模式中，即大量訓(xùn)練、提高熟練度. 這種學(xué)習(xí)慣性加上教學(xué)慣性，教師發(fā)現(xiàn)這種教學(xué)方式對于成績的提升效果顯著，因此在于復(fù)習(xí)教學(xué)的研究上自然不需要下功夫，簡單粗暴是最有效的、最簡單的方式.

第二，課程改革和高考應(yīng)試的不調(diào)和. 這個矛盾已經(jīng)有很多資料進行了反饋和調(diào)查，但是一直解決不了. 課程改革致力于強調(diào)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，但是高考應(yīng)試依舊是傳統(tǒng)考查方式，這種不可調(diào)和的矛盾讓愈來愈多的教師無視復(fù)習(xí)教學(xué)的建構(gòu)性，無視復(fù)習(xí)教學(xué)的高效性，從而導(dǎo)致效率愈來愈低下.

第三，不懂何為復(fù)習(xí)教學(xué). 這是很多教師復(fù)習(xí)教學(xué)做了很多年，卻又感覺復(fù)習(xí)教學(xué)很累的重要原因. 從北師大一份中學(xué)數(shù)學(xué)課程復(fù)習(xí)教學(xué)調(diào)查報告顯示，認為復(fù)習(xí)教學(xué)是概念復(fù)習(xí)+例題演練+熟練操作的教師占到百分之八十五以上，在詢問教師復(fù)習(xí)教學(xué)有沒有其他建議時，幾乎沒有教師寫得出有建設(shè)性的建議，這說明我們的教師都只是知識的搬運工，而沒有在教學(xué)背后有針對性的思考，這成為復(fù)習(xí)教學(xué)止步不前的重要因素.

復(fù)習(xí)教學(xué)中概念尋根溯源

高三復(fù)習(xí)教學(xué)勢必有對概念的復(fù)習(xí)，但是以往對概念復(fù)習(xí)更多是依賴回顧、操作、鞏固，不知道大家是否發(fā)現(xiàn)這種復(fù)習(xí)方式既沒有鞏固好概念，也沒有站在高三的角度為概念復(fù)習(xí)進行深挖掘. 因為教輔資料的編寫者大都不是一線骨干教師，其無非是將試題東拼西湊，更談不上對概念有深度的思考、挖掘，在此基礎(chǔ)上的概念復(fù)習(xí)只能是淺顯的回顧，根本談不上達到高三的能力要求.

案例1（某教輔資料）：（1）雙曲線實軸長為2a，MN為過左焦點F1的一條弦，且MN=d，F(xiàn)2為右焦點，則△MNF2的周長為________；（2）P是雙曲線x2- =1上一點，焦點F（2，0），點A（3，2），使PA+ PF最小值時，則點P的坐標是________.

分析：試題（1）屬于圓錐曲線基本概念復(fù)習(xí)簡單問題，與新知教學(xué)難度相當，僅僅起到了復(fù)習(xí)圓錐曲線基本定義，大家知道這樣的問題是復(fù)習(xí)概念的主要問題；試題（2）在感官定義的基礎(chǔ)上加深了本質(zhì)定義的思考，讓學(xué)生對統(tǒng)一定義有了復(fù)習(xí). 從這樣的復(fù)習(xí)來看，教師大都比較認同復(fù)習(xí)試題的層次性.

尋根溯源：其實不然，很多教師對橢圓、雙曲線為何稱之為圓錐曲線并不了解. 因此復(fù)習(xí)教學(xué)不能有更深入的設(shè)計，僅僅以不斷重復(fù)訓(xùn)練感官定義是達不到學(xué)生能力的提高的目的. 讓我們首先翻開教材，來看一看這些考題真正的“根源”！古希臘數(shù)學(xué)家早早就認識到了，用平面截圓錐可以得到截口曲線，如圖1所示. 正是因為如此，所以圓錐曲線才需要尋根溯源. 建議復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計如下：問題（1）、（2）保持為上述原題，在掌握基本感官定義的基礎(chǔ)上，增加真正考查圓錐曲線本質(zhì)的問題（3）：如圖2，AB是平面α外固定的斜線段，B為斜足.若點C在平面α內(nèi)運動，且∠CAB等于直線AB與平面α所成的角，則動點C的軌跡為__________.（簡析：抽去平面α，可知點C在空間的軌跡為以AB為軸的圓錐表面上的點，現(xiàn)考慮到平面與直線AB所成角等于∠CAB，即兩線平行，所以線線平行可推得線面平行，所以截口曲線為拋物線.）

訓(xùn)練鞏固：二面角α-l-β大小為120°，AB垂直平面β交l于B，動點C滿足AC與AB成40°角，則點C在平面α和平面β上的軌跡分別是_________. （答案：雙曲線和圓）

說明：圓錐曲線概念復(fù)習(xí)是如何設(shè)計的？是不是跟參考書一樣，列舉如上問題？有經(jīng)驗的教師都知道，這種考查基本概念的簡單問題做得再多也毫無用處，還是難以認識到圓錐曲線概念的本質(zhì). 因此筆者深度思考，在概念復(fù)習(xí)的教學(xué)中尋根溯源，通過反應(yīng)概念本質(zhì)的試題重組，加深了概念教學(xué)的有效性，通過專題設(shè)計，我們也認識到復(fù)習(xí)教學(xué)需要針對性，有的放矢既降低了復(fù)習(xí)的無效性，也大大減少了不必要的重復(fù)訓(xùn)練.

試題設(shè)計中的尋根溯源

如果說概念教學(xué)還可以追求本源，那么高三復(fù)習(xí)教學(xué)中解題能否尋根溯源呢？即我們常常講的：試題縱有千變，但是必有最根本的題根. 低層次的解題復(fù)習(xí)教學(xué)是不斷解題、進行大量鞏固性訓(xùn)練；中層次的復(fù)習(xí)教學(xué)仰仗的是變式模式，這是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)良傳統(tǒng)，在一定程度上取得了不俗的功效；高端的解題復(fù)習(xí)教學(xué)需要尋根溯源，我們知道很多高考問題一而再、再而三的考查，盡管試題面貌不一，但是背景卻是一致的，這種一致性若能在復(fù)習(xí)教學(xué)中給以足夠的引導(dǎo)和呈現(xiàn)，勢必找到復(fù)習(xí)教學(xué)最深入人心的部分，學(xué)生對知識的理解和思考也將脫離試題的外表而直達本質(zhì).

案例2：在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則 · =____________.

分析：本題常規(guī)解答中，可以利用向量的基本分解入手，尋求突破，比較簡單.但是教師這樣教學(xué)，往往沒有讓學(xué)生了解到問題的本質(zhì).為了挖掘問題的本質(zhì)，筆者將問題進一步設(shè)計，以便突出試題設(shè)計中的本質(zhì).

變式1：P是棱長為2的正方體上一動點，AB是正方體內(nèi)切球的任意一條直徑，則 · 的取值范圍是___________.

分析：本題可以從兩個角度思考，其一是向量坐標運算，但是比較復(fù)雜；其二是向量基底分解，同樣稍顯煩瑣. 此處教師開始滲透本題設(shè)計的根——向量恒等式.本質(zhì)解法：取AB中點O，連接PO，構(gòu)造成導(dǎo)入問題的圖形. 因為 · = 2- 2= 2-1，又？搖1≤ ≤ ，所以 · ∈[0，2].

尋根溯源：向量中的數(shù)量積問題可以從三個方向思考：其一是坐標運算，思維量少，但是運算過程非常煩瑣；其二是自由向量的分解，但是這種分解是學(xué)生比較懼怕的；其三是向量數(shù)量積相關(guān)的恒等式，這體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的落地，是向量數(shù)量積問題的本質(zhì)所在. 回顧案例2，我們可以從這一性質(zhì)下手： · = [（ + ）2-（ - ）2]= [（2 ）2-（ ）2]= （36-100）=-16.

總結(jié)：a·b= [（a+b）2-（a-b）]（向量數(shù)量積恒等式）. 這是挖掘教材《普通高中課程標準實驗教科書》蘇教版數(shù)學(xué)《必修4》第2.5節(jié)《平面幾何中的向量法》例題1 = + ， = - ，從中發(fā)現(xiàn)的數(shù)量積相關(guān)恒等關(guān)系式.

變式2：已知點A，B在雙曲線 - =1上，且線段AB經(jīng)過原點，點M為圓x2+（y-2）2=1上的動點，則 · 的最大值為____________.

簡析：由向量數(shù)量積恒等式， · = 2- 2， 達到最大， 達到最小的時候取最大值.

變式3：設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B= AB，且對于邊AB上任一點P，恒有 · ≥ · . 則△ABC形狀為___________. （填寫：等腰三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形中的一種）

簡析：因為 · = 2- 2， · = 2- 2，所以 2≥ 2，所以P0D⊥AB. 取AB中點E，因為P0B= AB，所以BP0=EP0，所以BD=ED，所以AC=BC，故為等腰三角形.

說明：例題的設(shè)計要圍繞題根進行，好的問題背后往往具備了一定的高等數(shù)學(xué)背景，在高等數(shù)學(xué)中a·b= [（a+b）2-（a-b）]簡稱為極化恒等式，這是教師設(shè)計這種課的主要目的.

總之，復(fù)習(xí)教學(xué)不能一味地只求熟練度，而忽視了數(shù)學(xué)能力的提高和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的攀爬. 對于熱點問題不僅僅要能解決、會解決、多途徑解決，作為優(yōu)秀教師更要學(xué)會從更深層次的視角去尋找試題背后的本質(zhì)，即為什么試題常常要這樣考查呢？很多試題都是在高等數(shù)學(xué)背景下編制的，我們耳熟能詳?shù)臉O化恒等式、阿波羅尼斯圓、阿基米德三角形等等，都是尋根最后的數(shù)學(xué)模型.教學(xué)要更關(guān)注這些，才能讓復(fù)習(xí)教學(xué)來得高效一些.