程效

[摘 要] 作為初中數(shù)學(xué)中思想方法的典型代表，數(shù)形結(jié)合思想對于高效學(xué)習(xí)的價值不容小覷. 從基本教學(xué)理論出發(fā)，筆者對不同知識模塊中數(shù)形結(jié)合思想的適用進行了詳細闡述，希望在深入剖析其實際運用途徑的同時，引導(dǎo)初中學(xué)生逐步建立起思想方法的意識，助推高效學(xué)習(xí).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合

初中數(shù)學(xué)當中的知識點就像是一顆顆零散的珠子，分布于各個知識模塊當中. 為了將這些知識內(nèi)容全面且高效地加以掌握，我們就需要找到一條恰當?shù)木€，將這些“珠子”巧妙地串起來. 如此一來，整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程就會順暢許多，條理清晰，明確高效. 那么，什么才是穿梭于數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)當中的那條線呢？這就是具有普適性與規(guī)律性的數(shù)學(xué)思想方法. 在初中數(shù)學(xué)當中，這樣的思想方法不在少數(shù). 而在眾多數(shù)學(xué)思想方法當中，數(shù)形結(jié)合是頗為典型的一種.

數(shù)形結(jié)合，解答數(shù)式問題

數(shù)式問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是學(xué)生們進入初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時首先接觸到的知識內(nèi)容. 從復(fù)雜程度上來講，數(shù)式知識的難度其實并不算顯著. 但是，對于剛剛步入初中階段的學(xué)生來講，想要將這部分知識內(nèi)容全部掌握到位，也并不是那么容易的. 如果能夠?qū)D形的方法運用到數(shù)式問題的分析當中去，將會為學(xué)生們提供很大幫助.

在對有理數(shù)的內(nèi)容進行教學(xué)時，教師為學(xué)生們設(shè)計了這樣一個問題：已知，實數(shù)a和b在數(shù)軸上的位置如圖1所示，那么，+a-b的化簡結(jié)果是什么？這樣的提問形式在初中階段的數(shù)式教學(xué)當中是非常典型的. 很多時候，數(shù)字之間的大小關(guān)系并不會直接提供給學(xué)生，而是需要大家通過讀懂數(shù)軸等圖形來得出. 這樣的問題設(shè)計方式，不僅考查了學(xué)生們對于有理數(shù)式化簡規(guī)則的掌握，同時還結(jié)合了數(shù)軸表示方法的考查，問題雖然簡短，但綜合性很強.

數(shù)式知識的難度雖然不算太大，但是，在面對一些較為復(fù)雜的問題時，如果一味停留在理論文字的層面上加以思考，往往會讓學(xué)生們的思維變得混亂，甚至?xí)诔橄蠡乃篮锊恢? 圖形的適時運用，無疑為學(xué)生們的問題分析過程起到了一個撥云見日的輔助作用.

數(shù)形結(jié)合，解答方程問題

我們在這里所討論的方程是較為廣義的，既包括嚴格意義上各種類型的方程式，也包括含有未知數(shù)元素的不等式. 圍繞方程內(nèi)容所出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題，并不僅僅是單純地求解方程式，還會出現(xiàn)很多綜合性很強的題目. 如果學(xué)生們不具備以數(shù)形結(jié)合的方式來分析方程問題的能力，將會對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)造成很大阻礙.

在對一元二次方程的內(nèi)容進行教學(xué)時，教師在課堂上出示了這樣一道習(xí)題：圖2所表示的是一元二次方程y=ax2+bx+c的圖像. 如果關(guān)于x的方程ax2+bx+c-k=0有兩個不相等的實數(shù)根，那么，k的取值范圍是什么？一提到“兩個不相等的實數(shù)根”，很多學(xué)生馬上想到了根與系數(shù)的關(guān)系，進而想要通過判斷b2-4ac的符號來求解，但發(fā)現(xiàn)行不通. 這時，如果能夠結(jié)合題中所給出的方程圖像，將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點的問題，思路便會瞬間清晰起來. 具體來講，就是將y=ax2+bx+c與y=k聯(lián)立，結(jié)合圖像發(fā)現(xiàn)，只要滿足y=k<3就可以保證拋物線與直線一定存在兩個不同的交點，k<3的正確結(jié)論便會很自然地得出了. 這道題目的解答過程，很明顯地體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合思想的重要性. 一方面，要引導(dǎo)學(xué)生們勤于用圖形的邏輯思考問題，另一方面，還要讓學(xué)生們善于借助圖形的方法來解答問題. 兩個方面協(xié)同入手，才能夠?qū)?shù)形結(jié)合的思想方法落到實處.

表面看來，方程是一個純代數(shù)的知識模塊，實則不然. 方程當中的很多數(shù)量關(guān)系，都是可以通過圖形的方式加以反映的. 從這個特點入手，我們便能夠掌握解答方程問題的另一個途徑，即從方程所對應(yīng)的圖形切入，運用它的幾何意義來尋找代數(shù)關(guān)系.

數(shù)形結(jié)合，解答函數(shù)問題

在整個初中階段的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容當中，函數(shù)所占據(jù)的篇幅不可小覷. 從覆蓋率上來看，函數(shù)知識的重要性已經(jīng)不言而喻了. 函數(shù)內(nèi)容的重要性，不僅體現(xiàn)在知識點的龐大數(shù)量上，更體現(xiàn)在函數(shù)知識與函數(shù)思維在各個數(shù)學(xué)知識模塊當中的廣泛滲透上. 為了能夠?qū)⒑瘮?shù)知識理解透徹，我們必須善于運用圖形，在數(shù)形結(jié)合當中開展學(xué)習(xí)活動.

為了幫助學(xué)生將二次函數(shù)的知識理解繼續(xù)深化，教師在教學(xué)過程中出示了一道應(yīng)用性問題：運動員在進行10米跳臺的跳水訓(xùn)練時，將運動員的身體視為一個點，其在空中的運動過程可以表示為圖3當中過原點O的一條拋物線. 在對一個動作進行訓(xùn)練時，要求運動員要跳躍到距離水面10米的高度，并在距離水池邊4米的位置入水，且必須在距離水面以上5米的位置完成所有空中動作，準備入水. （1）圖中拋物線的解析式是什么？（2）如果某運動員在一次訓(xùn)練當中，整個運動過程是按照圖中的拋物線進行的，且完成全部空中動作時，距離水池邊的水平距離是3米，那么這次跳水是否能夠成功呢？請通過計算來證明你的結(jié)論. 在這個問題的分析過程當中，圖形的作用十分明顯. 雖然問題建立在運動員跳水這個實際活動背景下，但是，從中所抽象出來的二次函數(shù)圖像仍然是解題的關(guān)鍵. 只有將函數(shù)圖像讀懂了，并將其中所標出的數(shù)據(jù)翻譯對、運用好，才能順暢分析函數(shù)問題.

學(xué)好函數(shù)知識，對于很多初中學(xué)生來講都不是那么容易. 在大家看來，函數(shù)內(nèi)容的抽象性很強，特別是在面對一些疑難復(fù)雜的問題時，很難從中迅速找到分析入口. 于是，教師啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合的思想方法來處理函數(shù)問題，即使題目敘述再抽象，也要努力找出其與圖形之間的連接點. 有了圖形的輔助，原本晦澀的函數(shù)語言瞬間變得生動具體了. 在這樣的氛圍之下，學(xué)生們解答函數(shù)問題也就容易多了.

數(shù)形結(jié)合，解答統(tǒng)計問題

統(tǒng)計內(nèi)容雖然算不上是初中數(shù)學(xué)當中的主體知識，卻在各類考試當中頻繁出現(xiàn). 如果學(xué)生們在統(tǒng)計問題的解答當中出現(xiàn)錯誤，造成失分，是非?？上У? 在統(tǒng)計知識內(nèi)容的構(gòu)成當中，圖形一直是必不可少的. 將統(tǒng)計思路與統(tǒng)計圖形相結(jié)合，既是統(tǒng)計知識學(xué)習(xí)的必然要求，也是準確分析統(tǒng)計問題的一條捷徑.

為了強化訓(xùn)練學(xué)生們識讀統(tǒng)計圖的能力，教師為學(xué)生設(shè)計了這樣一道習(xí)題：某種報紙共有4個版面. 發(fā)行商為了掌握讀者們對于每個版面的滿意程度，特進行了一次廣泛的市場調(diào)查，請每位參與調(diào)查的讀者選出一個自己最為滿意的版面，并將收集到的數(shù)據(jù)匯總為下面的兩幅統(tǒng)計圖（如圖4）. （1）從下面的條形統(tǒng)計圖當中，你能夠得到什么信息？（2）你能夠依據(jù)條形統(tǒng)計圖中的信息，將扇形統(tǒng)計圖補充完全嗎？二者分別具有什么特點？（3）結(jié)合圖中所顯示的調(diào)查數(shù)據(jù)，請為該報紙的進一步完善提出一些建議. 這道統(tǒng)計問題已經(jīng)把“數(shù)”和“形”聯(lián)系得非常緊密了. 無須教師做過多講解，學(xué)生們也已經(jīng)深深感受到了數(shù)形結(jié)合思想的重要性.

從很大程度上來講，想要將統(tǒng)計知識學(xué)習(xí)到位，就是要學(xué)會如何讀懂統(tǒng)計圖. 無論是柱狀圖、餅狀圖，還是數(shù)據(jù)表格，其中都隱含著豐富的數(shù)量關(guān)系. 只有讀懂圖，找準足夠的信息，才能明確統(tǒng)計思路，順利解答問題. 因此，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想，對于統(tǒng)計知識學(xué)習(xí)的價值不言而喻.

總之，從思想方法的層面入手處理數(shù)學(xué)問題，不僅是一個具體的解題操作，更是對學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維方式設(shè)定出了一種高效率的模式. 通過這樣的教學(xué)，學(xué)生們在面對一個具體的知識內(nèi)容或是數(shù)學(xué)問題時，不再是將目光狹窄地局限于當前內(nèi)容的解答當中，而是能夠站在更高的角度分析問題，并以規(guī)律性的方法對之進行分類，從而選擇有效的思想方法來處理. 數(shù)學(xué)知識是“數(shù)”與“形”的結(jié)合，以數(shù)形結(jié)合的思想方法來分析問題，顯然是最為直接和必要的途徑. 作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)階段，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)當中強調(diào)數(shù)形結(jié)合，并廣泛使用數(shù)形結(jié)合，無疑是為整個初中數(shù)學(xué)教學(xué)的高效推進開了一個好頭.