【摘要】三線八角問題之所以成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，既與知識(shí)本身的復(fù)雜程度和學(xué)生的認(rèn)知水平有關(guān)，也與教材對(duì)知識(shí)的呈現(xiàn)方式有關(guān).要突破這一難點(diǎn)，需要在基本圖形中準(zhǔn)確理解概念的內(nèi)涵，還要在圖形變式中把握概念本質(zhì)，以及正確建立平行線與角的關(guān)聯(lián).

【關(guān)鍵詞】三線八角；難點(diǎn)突破；教法探討

如果兩條直線被第三條直線所截，就會(huì)形成八個(gè)角，這就是所謂的“三線八角”，在這八個(gè)角中，有“同位角”、“內(nèi)錯(cuò)角”、“同旁內(nèi)角”等幾個(gè)重要概念，因此習(xí)慣上把涉及同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的幾何問題統(tǒng)稱為“三線八角”問題.因?yàn)榻^大部分平行線的性質(zhì)和判定問題都需要借助于“三線八角”來解決，所以它是平面幾何一個(gè)傳統(tǒng)的重點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)它也是一個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容，一些學(xué)生往往因在解決三線八角問題時(shí)出錯(cuò)而導(dǎo)致學(xué)習(xí)遇阻，甚至產(chǎn)生厭學(xué)和分化.筆者在教學(xué)實(shí)踐中對(duì)這一經(jīng)典內(nèi)容的教法作了一些探索，敘述于后供大家指正.1“三線八角”問題的教學(xué)難點(diǎn)及成因分析

在解決三線八角問題時(shí)，學(xué)生的出錯(cuò)點(diǎn)主要有兩類：一類是不能正確識(shí)別圖形中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角，另一類是在判定平行線或應(yīng)用平行線的性質(zhì)時(shí)，不能正確關(guān)聯(lián)線和角.這兩類錯(cuò)誤有時(shí)也相互纏繞，使學(xué)生深受其苦.

三線八角問題之所以成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，既與知識(shí)本身的復(fù)雜程度和學(xué)生的認(rèn)知水平有關(guān)，也與教材對(duì)知識(shí)的呈現(xiàn)方式有關(guān).

知識(shí)本身的因素.三線八角問題涉及三條線、八個(gè)角，信息容量大，圖形變式多，而在變式圖形中，充斥著大量的干擾因素，這是學(xué)生感覺困難的根本原因.

學(xué)生因素.學(xué)生在之前接觸的幾何問題，除了對(duì)基本平面圖形和立體圖形名稱的識(shí)別外，系統(tǒng)學(xué)習(xí)的幾何知識(shí)主要是線段、射線、直線和角，基本沒有涉及變式圖形，對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)處于直觀感知階段，讀圖識(shí)圖能力較弱，對(duì)幾何關(guān)系的把握能力差，尤其是當(dāng)接觸到包含變式圖形的問題時(shí)，往往因?yàn)橥庑沃庇^上的改變而無所適從.

教材因素.我校使用的北師大版教材，是在探索兩直線平行的條件一課中首次出現(xiàn)“同位角”的概念的，而且只做了簡單描述，顯然是有意淡化了概念.這樣雖然把學(xué)生的注意力引向平行線本身，但卻導(dǎo)致著學(xué)生對(duì)“同位角”這一概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)模糊，也進(jìn)而導(dǎo)致了進(jìn)一步研究平行線時(shí)學(xué)生不能熟練使用三線八角這一有力工具的缺陷.實(shí)際上，作為研究平行線的重要工具，三線八角本身是需要學(xué)生在學(xué)習(xí)平行線之前深刻理解并熟練掌握的.2“三線八角”教學(xué)難點(diǎn)的突破

2.1在基本圖形中準(zhǔn)確理解概念的內(nèi)涵

筆者認(rèn)為，對(duì)初一學(xué)生來說，同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角不是單從字面就能完全理解的概念，需要教師對(duì)概念本身的含義進(jìn)行點(diǎn)撥講解，使學(xué)生準(zhǔn)確理解概念是解決問題的基礎(chǔ).

如圖1，直線AB、CD被直線EF所截，EF稱為“截線”，AB、CD是被截線.

同位角的字面意義是位置相同，識(shí)別同位角的關(guān)鍵是學(xué)生要領(lǐng)悟兩個(gè)位置上的“同”即在截線EF的同一旁，被截兩直線AB、CD的同一方向.根據(jù)以上可以判定圖中滿足“同位角”條件的有：∠1和∠5、∠2和∠6、∠3和∠7、∠4和∠8.

準(zhǔn)確辨別內(nèi)錯(cuò)角的要領(lǐng)是把握兩角在被截兩直線AB、CD的“內(nèi)部”，交錯(cuò)在截線EF兩旁.據(jù)此∠4和∠6、∠3和∠5為“內(nèi)錯(cuò)角”.

同旁內(nèi)角：在截線EF同旁，被截兩直線AB、CD之間.滿足的有∠4和∠5、∠3和∠6.

圖2也是標(biāo)準(zhǔn)的基本圖形，學(xué)生不難從基本圖形中識(shí)別有關(guān)角.

2.2在圖形變式中把握概念本質(zhì)

幾何圖形千變?nèi)f化，不管怎樣的圖形，只要能從中找到“基本圖形”，就容易識(shí)別三線八角，常用的方法有補(bǔ)齊法和分離法.

（1）補(bǔ)齊法

圖3的各圖中有同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角嗎？信息的缺失也會(huì)導(dǎo)致識(shí)別困難.和基本圖形相比，這種圖形似乎是殘缺的、不完整的，剛開始接觸這類圖形時(shí)可用補(bǔ)齊法.比如，只要把圖3各圖中的相關(guān)線段適當(dāng)延長，都可補(bǔ)齊為圖4的基本圖形，各類角也就很容易識(shí)別了.

（2）分離法

分離法，就是在復(fù)雜圖形中分離出基本圖形，以去除干擾信息（包括交點(diǎn)、線段和角），準(zhǔn)確識(shí)別三線八角.

當(dāng)考察∠1和∠2時(shí)，將與兩角無關(guān)的因素去掉，比如按圖6的方式把虛框中的圖形遮擋，剩下的圖形就是圖7，此時(shí)就很容易看到直線AB、EF被直線CD所截，∠1和∠2在截線CD同旁，被截線AB、EF同方向，所以兩角是同位角.類似的方法可識(shí)別圖5中∠1和∠3是內(nèi)錯(cuò)角，∠2和∠3是同旁內(nèi)角.

2.3正確建立平行線與角的關(guān)聯(lián)

學(xué)習(xí)“三線八角”，不可避免的會(huì)遇到由平行線推斷相關(guān)角的數(shù)量關(guān)系，或是由角的數(shù)量關(guān)系推斷直線的位置關(guān)系的題目，此時(shí)正確建立線和角的關(guān)聯(lián)是解決問題的關(guān)鍵.下面看兩個(gè)例子.

例1如圖8，（1）如果AB∥CD，可推出∠1=∠2，∠3=∠4嗎？

（2）已知∠1=∠2或∠3=∠4，能得到AB∥CD嗎？

直線AB、CD為被截線，分別將直線AC、AD、BC作為截線分離出來，得到圖9中的三個(gè)圖形，很容易觀察到∠1和∠2是內(nèi)錯(cuò)角，而∠3和∠4是無關(guān)角.圖10圖11

反過來，已知∠1=∠2或∠3=∠4，可以把與∠1、∠2或∠3、∠4無關(guān)的線段隱藏，分別得到圖10中的兩個(gè)圖形，可以看出，由∠1=∠2能推出AB∥CD，而由∠3=∠4不能推出AB∥CD.此類問題，也可用“描線法”分析，即在原圖上用紅筆或粗筆描繪出∠1和∠2的兩邊，或∠3和∠4的兩邊，可分別得到圖11中的兩個(gè)圖，這兩個(gè)圖中描了線的突出部分，就分別是圖10中的兩個(gè)圖形.

例2如圖12，已知∠1=∠2=∠3=59°，求∠4的度數(shù).

此題的難點(diǎn)在于圖形中的干擾信息多，學(xué)生面對(duì)此題，往往不能正確判斷由哪對(duì)角來判別a，b是平行的，求得a、b平行后，又不能識(shí)別哪個(gè)角與∠4是關(guān)聯(lián)的？解決此問題的關(guān)鍵是排除干擾信息，解決問題的方法是分離法，比如把圖中的線d平移到圖13的位置，則立得兩個(gè)三線八角的基本圖形，∠1和∠3的同位角關(guān)系以及∠2和∠4的關(guān)聯(lián)性也變得一目了然，問題順利得到解決.

2.4實(shí)際問題數(shù)學(xué)化

新課程注重?cái)?shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，因此教材及近幾年考試出現(xiàn)了大量以實(shí)際生活為背景的題目，解決這類問題的基本方法是把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型.

例3如圖14，潛望鏡中的兩個(gè)鏡子是互相平行放置的，光線經(jīng)過鏡子反射時(shí)，入射角等于反射角，則有∠1=∠2，∠3=∠4.請(qǐng)解釋：為什么進(jìn)入潛望鏡的光線和離開潛望鏡的光線是平行的？

由于實(shí)際問題情境的限制，雖然圖14已經(jīng)對(duì)平行鏡面作了“放大”處理，但學(xué)生仍不易識(shí)別其中的三線八角.此時(shí)可以去除無關(guān)要素，放大有用信息，把此問題進(jìn)一步抽象成幾何圖形，得到圖15，這樣原題就轉(zhuǎn)化為：已知，如圖15，a∥b，∠1=∠2，∠3=∠4，求證：c∥d.

利用分離法，去除無關(guān)因素后得到圖16，即可由鏡面a、b平行得到∠2=∠3，進(jìn)而通過推理得到∠5=∠6，再由內(nèi)錯(cuò)角相等得到c、d平行，問題得以順利解決.

作者簡介袁軍霞，碩士，榮獲青島開發(fā)區(qū)新教師優(yōu)質(zhì)課比賽二等獎(jiǎng)并成功開設(shè)區(qū)公開課.多次指導(dǎo)學(xué)生參加《全國中學(xué)生數(shù)理化學(xué)科能力展示活動(dòng)》取得省一等獎(jiǎng).