☉江蘇如皋市白蒲初級(jí)中學(xué) 徐小燕

主題突出與目標(biāo)聚焦：習(xí)題課的教學(xué)追求
——以“角平分線的性質(zhì)”習(xí)題課為例

☉江蘇如皋市白蒲初級(jí)中學(xué) 徐小燕

八年級(jí)學(xué)生在初學(xué)“全等三角形”一章后，對(duì)于角平分線的性質(zhì)有了新的認(rèn)識(shí)，特別是從“正、反”兩個(gè)角度探究了“角平分線上的任意一點(diǎn)到角的兩邊距離相等”這個(gè)命題的正確性.在不少涉及角平分線的幾何較難題突破時(shí)，需要適時(shí)添加兩條垂線段（為了表述的方便，如圖1，我們稱這種圖形為“雙垂直”基本圖形），創(chuàng)造條件運(yùn)用角平分線的性質(zhì).

然而根據(jù)我們的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，不少學(xué)生在涉及添加輔助線時(shí)，往往顯得還不適應(yīng)，所以在全等三角形一章復(fù)習(xí)時(shí)，我們預(yù)設(shè)了一節(jié)習(xí)題課，主題是復(fù)習(xí)與角平分線相關(guān)的輔助線添加的策略.本文先記錄該課選用的典型問(wèn)題（限于篇幅，不給出這些例題講評(píng)之后的跟進(jìn)練習(xí)），并跟進(jìn)解讀選題、講評(píng)意圖，供研討.

圖1

一、教學(xué)課例中選用例、習(xí)題及講評(píng)預(yù)設(shè)

例1 如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=11，AC=7，射線AM平分∠BAC.射線AM上有一點(diǎn)N到△ABC的頂點(diǎn)B、C的距離相等，連接NB、NC.求四邊形ABNC的面積.

圖2

圖3

預(yù)設(shè)講解：由AM平分∠BAC，聯(lián)想到輔助線，如圖3，過(guò)N作NH⊥AB，NL⊥AC，垂足分別為H、L.由AN平分∠BAC，可得NH=NL，不難證出△ANH≌△ANL，△BHN≌△CLN.可得AH=AL，BH=CL，設(shè)BH=x，則11-x=7+x，解得x=2，所以AH=AL=9，所以S四邊形ABNC=S正方形形AHNL=92=81.

回顧反思：如果不能成功求解，究其原因，并不是沒(méi)有想到輔助線，而是輔助線帶來(lái)的兩組全等三角形信息交叉疊合，沒(méi)有理出一個(gè)等量關(guān)系，構(gòu)造方程的思路受阻.

例2 如圖4，已知△ABC中，∠ABC=100°，∠CBD=∠ACB=20°，CE是∠ACB的平分線，D是AC上一點(diǎn)，求∠CED的度數(shù).

圖4

預(yù)設(shè)講解：作EN⊥AC，EM⊥BD，EP⊥CF，垂足分別是N、M、P.

因?yàn)椤?=∠2，所以EN=EP.①

因?yàn)椤螦BC=100°，∠CBD=20°，所以∠ABM=∠ABP= 80°，從而EM=EP.②

由①和②知EM=EN.又EN⊥AD，EM⊥BD，所以∠3=∠4=（20°+20°） =20°.

所以∠CED=∠4-∠2=20°-10°=10°.

回顧反思：在推證過(guò)程中發(fā)現(xiàn)“∠ABM=∠ABP”非常關(guān)鍵，引導(dǎo)學(xué)生想清圖形中再次出現(xiàn)“雙垂直”基本圖形.

拓展思考：例2中的“三垂直”基本圖形其實(shí)是不同的“雙垂直”出現(xiàn)在同一個(gè)幾何問(wèn)題中，我們還可為“三垂直”賦予更多的內(nèi)涵，比如例3.

例3 如圖5，AD是△ABC的角平分線.

圖5

（1）若AB=8cm，AC=5cm，點(diǎn)D到AC的距離是2cm，求△ACD的面積.

（2）在（1）的條件下，能否求出△ABC的面積？如果能，則求之；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）小凡解完（1）和（2）后，經(jīng)過(guò)反思發(fā)現(xiàn)請(qǐng)判斷“小凡發(fā)現(xiàn)”是否正確，并寫(xiě)出你的理解.

預(yù)設(shè)講解：（1）如圖6，作DE⊥AC于點(diǎn)E.

由點(diǎn)D到AC的距離為2cm，可得DE=2cm.所以S△ACD=AC·DE=5（cm2）.

（2）能求出.理由如下.如圖6，作DF⊥AB于點(diǎn)F.

圖6

圖7

由AD平分∠BAC，DF⊥AB，DE⊥AC，得DF=DE= 2cm.

則S△ABC=13cm2.

（3）小敏的發(fā)現(xiàn)是正確的，理由如下.

由S△ABD∶S△ACD=且DE=DF，可得S△ABD∶S△ACD=AB∶AC.

如圖7，作AG⊥BC于點(diǎn)G.

雖然產(chǎn)業(yè)鏈金融中潛在的風(fēng)險(xiǎn)整體較少，但是財(cái)務(wù)公司依然不能忽略風(fēng)險(xiǎn)的預(yù)警與控制，但是現(xiàn)階段財(cái)務(wù)公司在風(fēng)險(xiǎn)控制方面的能力整體不夠理想。由于財(cái)務(wù)公司自身與商業(yè)銀行存在差距，所以財(cái)務(wù)公司的資金規(guī)模、金融產(chǎn)品種類(lèi)以及金融功能等方面都相對(duì)不如商業(yè)銀行，整體表現(xiàn)出抵御風(fēng)險(xiǎn)的能力較弱。其次，財(cái)務(wù)公司在識(shí)別與處理風(fēng)險(xiǎn)方面的效率還有所不足，很多時(shí)候在風(fēng)險(xiǎn)爆發(fā)后才采取措施進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)處理，將會(huì)對(duì)企業(yè)集團(tuán)和上下游企業(yè)的運(yùn)營(yíng)都造成影響。

回顧反思：這道題第（2）問(wèn)需要受到第（1）問(wèn)的啟發(fā)，想到輔助線DF；而第（3）問(wèn)要受到前兩問(wèn)對(duì)左、右兩個(gè)三角形面積的比值“S△ABD∶S△ACD”的啟發(fā)，想到這兩個(gè)三角形還可以用不同的邊與高相乘，從而想到輔助線AG.事實(shí)上，這也是三角形角平分線的一個(gè)重要性質(zhì)，在后續(xù)相似三角形學(xué)完后，還可以借助相似比的知識(shí)證明這個(gè)性質(zhì).

二、關(guān)于習(xí)題課選題的一些思考

習(xí)題課是一首老歌，當(dāng)前應(yīng)試教學(xué)的現(xiàn)實(shí)下，講評(píng)習(xí)題課、講評(píng)試題課占據(jù)著相當(dāng)?shù)谋壤?，如何選題是每位教師在備課時(shí)都會(huì)遇到的難題.以下就圍繞上文中的選例經(jīng)驗(yàn)，具體闡釋一些習(xí)題課選題的思考.

1.想清教學(xué)目標(biāo)，讓訓(xùn)練主題得以聚焦.

就我們?cè)诨窘虒W(xué)觀摩、隨堂課所見(jiàn)，一般的習(xí)題課教學(xué)往往是教師拿著一些教輔資料由第1題開(kāi)始講解，簡(jiǎn)單題核對(duì)答案，出錯(cuò)多的題目給出過(guò)程講評(píng)，經(jīng)驗(yàn)型教師常常會(huì)關(guān)注學(xué)生的錯(cuò)題資源，然后一題接著一題，把教輔資料上的題目講完就算是訂正結(jié)束.還有些經(jīng)驗(yàn)型教師善于將教輔資料上同類(lèi)試題歸類(lèi)講解，把結(jié)構(gòu)相同、相近的習(xí)題一并講解，教學(xué)效果自然要好一些.然而，我們認(rèn)為，就習(xí)題課教學(xué)來(lái)說(shuō)，首先應(yīng)該充分思考教學(xué)目標(biāo)，即通過(guò)這節(jié)習(xí)題課的教學(xué)，訓(xùn)練的主題是什么，圍繞這一教學(xué)目標(biāo)，預(yù)設(shè)哪些典型問(wèn)題，這些典型問(wèn)題來(lái)源在哪兒.像上文這樣，為了幫助學(xué)生積累角平分線性質(zhì)相關(guān)輔助線問(wèn)題，搜集了一些典型問(wèn)題，重在這些典型問(wèn)題的主題一致，并且從構(gòu)造“雙垂直”基本圖形到“三垂直”圖形的深化.

2.搜集學(xué)生錯(cuò)題，讓訓(xùn)練目標(biāo)得以落實(shí).

在構(gòu)思教學(xué)目標(biāo)的同時(shí)，充分了解學(xué)情是教學(xué)基本問(wèn)題（即認(rèn)真思考“教誰(shuí)？”，教學(xué)對(duì)象的問(wèn)題）.一個(gè)有效的方式是，對(duì)照平時(shí)作業(yè)反饋中的批閱記錄，把學(xué)生的錯(cuò)題整理出來(lái)，特別是將典型錯(cuò)題查找出來(lái)，可以通過(guò)拍照收集、投影展示，作為一個(gè)重要的教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)所有學(xué)生參與糾錯(cuò)與究錯(cuò).根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生對(duì)這類(lèi)錯(cuò)例都比較感興趣，參與糾錯(cuò)的熱情高漲，如果錯(cuò)例恰好展示的是自己的，他會(huì)更加積極糾錯(cuò)，明辨錯(cuò)因，而其他學(xué)生也會(huì)積極診評(píng)，嘗試分析這些學(xué)生出錯(cuò)的深層次原因.

3.預(yù)設(shè)追問(wèn)拓展，讓師生互動(dòng)對(duì)話深入.

在例題選定之后，一方面要貫通思路，特別是從不同角度想清問(wèn)題的解法，充分預(yù)設(shè)不同的思考方法，以便在課堂上能全面應(yīng)對(duì)學(xué)生可能不同的思維方式；另一方面就是深刻反思問(wèn)題結(jié)構(gòu)，也就是洞察問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu).像上文中的角平分線性質(zhì)的基本圖形就是一種問(wèn)題結(jié)構(gòu)，當(dāng)學(xué)生忽略或缺少解題念頭之后，就引導(dǎo)他們往這個(gè)基本圖形上想，作為必要的念頭啟示，以獲得思路，突破難點(diǎn).事實(shí)上，我們常常引用數(shù)學(xué)家所謂“數(shù)學(xué)，根本上是玩概念的”，從外延來(lái)看，針對(duì)定理的基本圖形而開(kāi)展形的習(xí)題變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生善于轉(zhuǎn)化，在一定意義上說(shuō)，也是倡導(dǎo)“玩概念”“重視概念”“回到概念來(lái)解題”的教學(xué)追求.選定例題之后，還有一個(gè)重要的備課功夫就是：深入思考例題的拓展與變式，以便在教學(xué)進(jìn)程中，將學(xué)生的思維引入深處，也是讓教學(xué)從封閉走向開(kāi)放的有效措施.

4.注重變式訓(xùn)練，讓講評(píng)效果得到反饋.

近年來(lái)《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》刊發(fā)了大量的習(xí)題課例的文章，我們注意到這些課例在教學(xué)環(huán)節(jié)中，都設(shè)計(jì)了必要的“變式再練”環(huán)節(jié)，經(jīng)過(guò)筆者確認(rèn)（曾在網(wǎng)上以這些變式題的關(guān)鍵詞進(jìn)行檢索或拍照搜題軟件都沒(méi)有查到原題），這些變式題多是作者獨(dú)立改編的，具有較大的原創(chuàng)性或深度改編，這種教學(xué)備課的自發(fā)追求值得學(xué)習(xí)，特別是在當(dāng)下搜題、組卷，簡(jiǎn)單的拿來(lái)主義、直接復(fù)制粘貼盛行的大環(huán)境，值得我們反思的確實(shí)太多.我們認(rèn)為，在習(xí)題課的最后5～10分鐘，應(yīng)該安排針對(duì)全課教學(xué)內(nèi)容的變式再練，以便檢測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，精準(zhǔn)反饋，而不是簡(jiǎn)單的“大家聽(tīng)懂了嗎？（齊答：會(huì)了）”.

三、寫(xiě)在后面

習(xí)題教學(xué)的研究是基本教學(xué)問(wèn)題，也是常常被忽略的課型，總是被各級(jí)教研課題、公開(kāi)課選題所淡化，這也是習(xí)題教學(xué)品質(zhì)整體不高的客觀原因，我們以上關(guān)于習(xí)題教學(xué)的選題思考還很膚淺，期待更多的案例跟進(jìn)，特別是優(yōu)秀課例的分享與推介.

1.張玉萍.把問(wèn)題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)——由曹才翰先生的一篇評(píng)課文獻(xiàn)說(shuō)起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（12）.

2.賀清倫.解題研究再深入：以一道習(xí)題網(wǎng)絡(luò)研討為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（3）.

3.劉東升.讓開(kāi)放題引領(lǐng)開(kāi)放的數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.

4.王成.同類(lèi)鏈接促進(jìn)感悟，模考講評(píng)提升效益——以一次?？碱}的鏈接講評(píng)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.