姜 爍，徐艷春

(梯級水電站運行與控制湖北省重點實驗室(三峽大學(xué))，湖北 宜昌 443002)

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改進(jìn)高階Vanderpol振子在微弱信號檢測中的應(yīng)用*

姜 爍，徐艷春**

(梯級水電站運行與控制湖北省重點實驗室(三峽大學(xué))，湖北 宜昌 443002)

在高精度的微弱光電信號檢測系統(tǒng)中，存在信號被強(qiáng)噪聲湮沒的情況。針對這一問題，提出了一種基于改進(jìn)高階Vanderpol振子的微弱正弦信號定量檢測方法。該方法利用改進(jìn)高階廣義Vanderpol系統(tǒng)的高靈敏度與強(qiáng)抗噪性的特點提高了微弱信號檢測的可靠性，再結(jié)合Lyapunov指數(shù)定量檢測和90°移相補(bǔ)償來實現(xiàn)混沌系統(tǒng)狀態(tài)的量化判斷和待測信號參數(shù)的高精度提取。仿真結(jié)果表明改進(jìn)的Vanderpol振子比傳統(tǒng)Vanderpol振子運算速度更快。與傳統(tǒng)Duffing振子相比，在5%幅值檢測誤差范圍內(nèi)，改進(jìn)的高階廣義Vanderpol系統(tǒng)可多獲得37 dB的信噪比增益和60 dB的檢測門限增益；與基于相軌跡突變定性檢測待測信號幅相法相比，90°移相補(bǔ)償幅相定量檢測法在信噪比降低時其檢測相對誤差仍可控制在2%以內(nèi)。改進(jìn)算法實現(xiàn)了微弱正弦信號的高靈敏度和高精度的幅相檢測。

電力系統(tǒng)；微弱信號檢測；混沌系統(tǒng)；Vanderpol振子；移相補(bǔ)償；Lyapunov指數(shù)

1 引 言

在電力系統(tǒng)中，常涉及到微弱光電信號的檢測問題，如電力設(shè)備早期產(chǎn)生的故障微弱信號檢出、電力系統(tǒng)絕緣檢測等，檢測精度關(guān)系到電力系統(tǒng)的安全和經(jīng)濟(jì)運行。在高精度的微弱光電信號檢測系統(tǒng)中，為了減小零點漂移對恒定微弱光電信號的影響，首先通過調(diào)制盤將光電信號調(diào)制成周期信號，在溫度、壓力等外界因素的影響下，會在傳感器上接收到含噪聲的微弱正弦周期信號。采用傳統(tǒng)的檢測方法提取信號參數(shù)，不能滿足現(xiàn)有的檢測精度要求，此時亟需一種將微弱周期信號從強(qiáng)噪聲中提取出來的新方法[1-3]。

在現(xiàn)研究階段，通過混沌理論去提取強(qiáng)噪聲下的微弱信號參數(shù)的方法優(yōu)于傳統(tǒng)檢測方法，并且其具有硬件易實現(xiàn)、成本低的優(yōu)勢，故有廣闊的應(yīng)用前景。文獻(xiàn)[2]實現(xiàn)了基于Duffing混沌振子高精度估計微弱信號相位參量的方法；文獻(xiàn)[3]利用多混沌振子陣列實現(xiàn)信號在不同初始相位的檢測；文獻(xiàn)[4]將互相關(guān)與混沌理論相結(jié)合，進(jìn)一步增強(qiáng)傳統(tǒng)方法微弱信號頻域檢測能力。但現(xiàn)有通過混沌檢測微弱信號的理論方法也存在以下限制：一是對一階非線性系統(tǒng)討論較多，其中大多數(shù)以Duffing方程模型為代表，而對利用高階混沌系統(tǒng)如Vanderpol系統(tǒng)等檢測強(qiáng)噪聲背景下微弱信號參量問題研究很少，并且Duffing系統(tǒng)在低信噪比時存在檢測靈敏度不足的問題；二是研究者多采用基于相軌跡突變定性檢測待測信號幅相的方法，使得檢測缺乏定量判斷依據(jù)，無法滿足電力系統(tǒng)中微弱信號的檢測精度要求，局限了其應(yīng)用范圍[2-5]。

針對以上的不足，本文提出了一種針對電力系統(tǒng)微弱周期信號檢測的新算法。該算法擬在改進(jìn)的高階廣義Vanderpol振子基礎(chǔ)上，將提出的90°移相補(bǔ)償與Lyapunov指數(shù)定量檢測相結(jié)合，實現(xiàn)混沌系統(tǒng)狀態(tài)的量化判斷和待測信號參數(shù)的高精度提取。針對這一算法，文中詳細(xì)介紹了其檢測原理及實現(xiàn)過程，并進(jìn)行了仿真驗證。

2 高階廣義Vanderpol振子的改進(jìn)

2.1 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型改進(jìn)

廣義Vanderpol振子是一個具有強(qiáng)非線性阻尼項的微分方程[6]，其方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

(1)

當(dāng)δ、α確定后，振子系統(tǒng)存在唯一的奇點(0，0)和穩(wěn)定的極限環(huán)。而周期信號檢測模型的關(guān)鍵在于，系統(tǒng)方程存在一個有界的穩(wěn)定解，即在非線性動力學(xué)范疇內(nèi)，具有一個穩(wěn)定的極限環(huán)存在,故廣義Vanderpol振子可以用于微弱諧波信號檢測。

當(dāng)i=3時，標(biāo)準(zhǔn)方程的恢復(fù)力項為α1x+α2x3+α3x5(αi>0)。仿真測試中發(fā)現(xiàn)，此時系統(tǒng)的復(fù)雜度過高，不具有良好的運算速度，但系統(tǒng)對噪聲有更強(qiáng)的免疫性。從降低系統(tǒng)的復(fù)雜度、保留系統(tǒng)對噪聲的強(qiáng)免疫性幾方面綜合考慮，構(gòu)造改進(jìn)的高階廣義Vanderpol振子系統(tǒng)，并最終確定模型為

(2)

引入變量，則式(2)可轉(zhuǎn)化為

(3)

式中：ω為待測周期信號的頻率，δ為阻尼比，γcos(ωt)為周期策動力，-α1x3+α2x5為改進(jìn)高階非線性恢復(fù)力項。

2.2 噪聲對改進(jìn)系統(tǒng)的影響分析

采用隨機(jī)微分方程理論來分析噪聲對改進(jìn)高階廣義Vanderpol混沌振子的影響。在無噪聲的情況下，令ω=1 rad/s，系統(tǒng)的微分方程為

(4)

在含噪聲情況下，設(shè)式(4)的解為x(t)。Δx(t)為噪聲對x(t)的微小擾動，n(t)為噪聲,則系統(tǒng)的微分方程為

[α1(x+Δx)3-α2(x+Δx)5]=

γcos(t)+n(t)。

(5)

式(5)減去式(4)，并略去Δx(t)的二次及以上的項，可得

(6)

式(6)的矢量式為

(7)

式(7)的解為

(8)

式中：φ是系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。由于第一項是暫態(tài)解，會很快衰減到零，可以主要考慮系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時的統(tǒng)計特性，故略去第一項，得到

(9)

若E[N(u)]=0，則E[x(t)]=0。由此可知，統(tǒng)計意義下，任意分布的零均值噪聲都不會使改進(jìn)高階廣義Vanderpol混沌振子發(fā)生相軌跡變化。

3 微弱正弦信號的定量檢測原理

利用混沌系統(tǒng)對同頻率微弱周期信號的敏感性以及強(qiáng)抗噪性的特點，將待測微弱正弦信號加入混沌系統(tǒng)，然后根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)是否發(fā)生由混沌狀態(tài)到大周期狀態(tài)的相態(tài)突變，檢測同頻微弱正弦信號是否存在及其參數(shù)(例如頻率、幅值、相位等)。本文研究針對無頻差情況下微弱正弦信號幅值和相位的定量檢測。

3.1 基于Lyapunov指數(shù)的混沌狀態(tài)定量判別

實現(xiàn)微弱周期信號的精確檢測，前提是對系統(tǒng)混沌與周期狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確的判定并得出精確的策動力值。與定性觀察相軌跡圖突變判定系統(tǒng)狀態(tài)方法相比[7]，本文采用Lyapunov特征指數(shù)法[4]可定量度量在相空間中兩條相軌跡隨時間按指數(shù)率吸引或分離的程度，即定量判定相軌跡發(fā)散或收斂的比率并反映系統(tǒng)狀態(tài)和精確的策動力值。

Lyapunov特征指數(shù)由下式定義：

(10)

式中：L1和L2分別表示點變換時沿X方向與沿Y方向距離伸長或縮短倍數(shù)的平均值，其值大于0表示會伸長，小于0表示會縮短。若有L1>0、L2<0，系統(tǒng)在X方向伸長，在Y方向縮短，從而使系統(tǒng)局部不穩(wěn)定，故有可能出現(xiàn)Smale馬蹄映射，即混沌。在混沌的判據(jù)中，Lyapunov指數(shù)起著非常重要的作用。一個系統(tǒng)是否是混沌，可以由它的Lyapunov指數(shù)是否有正值來確定，這種定量確定方式比定性觀察相圖的方法更準(zhǔn)確[8-13]。

系統(tǒng)混沌狀態(tài)具體程序判別流程如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)混沌狀態(tài)的判別流程圖

3.2 90°移相補(bǔ)償?shù)姆鄼z測方法

當(dāng)系統(tǒng)處于從混沌狀態(tài)向大周期狀態(tài)過渡的臨界狀態(tài)時，通過Lyapunov指數(shù)定量判定系統(tǒng)臨界狀態(tài)，得出策動力為γd。然后加入同頻率待測微弱正弦信號acos(ωt+φ)，此時系統(tǒng)的總周期策動力變?yōu)?/p>

γ(t)=γdcos(ωt)+acos(ωt+φ)=γ′cos(ωt+θ)。

(11)

式中：

(12)

θ=arctg[asinφ/(γd+acosφ)]。

(13)

由于所測信號幅值微弱，即a<<γd,故由式(13)可知θ影響可忽略。

設(shè)定系統(tǒng)初始臨界狀態(tài)為混沌狀態(tài)，當(dāng)γ′>γd時，系統(tǒng)狀態(tài)改變?yōu)榇笾芷跔顟B(tài)，此時待測信號被檢測到，繼續(xù)調(diào)節(jié)系統(tǒng)策動力γd，使系統(tǒng)狀態(tài)剛好回到初始臨界混沌狀態(tài)，記錄此時策動力γd′。由此可知

(14)

(15)

(16)

通過求解式(15)與式(16)，將得到的兩組相位φ1、φ2和幅值a1、a2分別取平均值，得出最終的待測信號幅值相位φ和幅值a。系統(tǒng)90°移相補(bǔ)償幅相的檢測具體流程如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)90°移相補(bǔ)償?shù)姆鄼z測流程圖

90°移相補(bǔ)償?shù)脑頌椋和ㄟ^對待測信號分別進(jìn)行90°移相，構(gòu)造兩組具有互補(bǔ)相變特性的檢測狀態(tài)(例如移相0時，檢測狀態(tài)為混沌狀態(tài)過渡到大周期狀態(tài)，與之同組移相π時，其檢測狀態(tài)為大周期狀態(tài)過渡到混沌狀態(tài))。通過互補(bǔ)相變特性檢測待測信號，可抵消部分由噪聲帶來的偏差；通過對兩組相位φ1、φ2和幅值a1、a2分別取平均值，可以消除隨機(jī)因素帶來的誤差,故90°移相補(bǔ)償幅相檢測可以提高檢測精度。

4 仿真實驗分析

4.1 改進(jìn)的高階Vanderpol振子性能測試

為驗證本文改進(jìn)的高階Vanderpol振子具有檢測微弱周期信號的優(yōu)越性，構(gòu)建模擬待測信號[5]，依據(jù)電力系統(tǒng)微弱光電信號實際存在的環(huán)境中噪聲的主要成分，構(gòu)建仿真試驗的噪聲環(huán)境。分別采用Duffing系統(tǒng)、傳統(tǒng)高階廣義Vanderpol 系統(tǒng)和改進(jìn)的高階廣義Vanderpol 系統(tǒng)對同一待測信號進(jìn)行檢測。其中，Duffing系統(tǒng)已被證明能有效檢測微弱周期信號[10-11]。以下仿真實驗均在Matlab-2012a環(huán)境下進(jìn)行(處理器為內(nèi)存4 GB、i3-3240@3.40 GHz)。

仿真實驗1：檢測門限相同時兩種混沌系統(tǒng)噪聲免疫力比較。基于前期測試，綜合考慮計算時間及效果，取迭代次數(shù)N=104，步長h=0.01 s。設(shè)置待檢微弱正弦信號幅值為A=10-8A，頻率為ω=700π rad/s。在不同信噪比情況下，對其幅值大小進(jìn)行檢測，并對傳統(tǒng)高階廣義Vanderpol 系統(tǒng)和改進(jìn)高階廣義Vanderpol 系統(tǒng)運算時間取均值。仿真結(jié)果如表1和表2所示。

表1 相同檢測門限兩類系統(tǒng)檢測結(jié)果對比表Tab.1 Comparison of detection result between two kindsof oscillator with the same detection threshold

表2 相同檢測門限兩類系統(tǒng)運算時間對比表Tab.2 Comparison of operation time between two kinds of oscillator with the same detection threshold

仿真實驗2：噪聲方差相同時兩種混沌系統(tǒng)檢測靈敏度比較。取迭代次數(shù)N=104，步長h=0.01 s。設(shè)置高斯白噪聲的噪聲方差為0.03，待檢微弱正弦信號頻率為ω=700π rad/s。對幅值大小不同的待測信號進(jìn)行檢測，并對傳統(tǒng)高階廣義Vanderpol 系統(tǒng)和改進(jìn)高階廣義Vanderpol 系統(tǒng)運算時間取均值。仿真結(jié)果如表3和表4所示。

表3 相同噪聲方差兩類系統(tǒng)檢測結(jié)果對比表Tab.3 Comparison of the detection result between two kinds of oscillator with the same noise variance

表4 相同噪聲方差兩類系統(tǒng)運算時間對比表Tab.4 Comparison of operation time between two kinds of oscillator with the same noise variance

從仿真實驗1、2的結(jié)果可知,在幅值檢測相對誤差小于5% 條件下[14]，當(dāng)檢測門限相同時，本文改進(jìn)的高階廣義Vanderpol系統(tǒng)的信噪比可達(dá)-148 dB，與Duffing系統(tǒng)相比，可獲得37 dB的信噪比增益。當(dāng)噪聲方差相同時，本文改進(jìn)的高階廣義Vanderpol系統(tǒng)的最低檢測門限可達(dá)-240 dB，與Duffing系統(tǒng)相比，可獲得60 dB的增益，大幅提高了信號檢測靈敏度。同時，與傳統(tǒng)高階廣義Vanderpol 系統(tǒng)相比，改進(jìn)的高階廣義Vanderpol系統(tǒng)的運算時間明顯縮短。故本文改進(jìn)的高階廣義Vanderpol系統(tǒng)降低系統(tǒng)的復(fù)雜度，具有良好的運算速度和檢測精確度，對噪聲也有強(qiáng)免疫性。

4.2 基于Lyapunov指數(shù)定量檢測仿真分析

為驗證本文提出的基于Lyapunov指數(shù)定量檢測微弱正弦信號幅相方法的有效性，對同一混有高斯白噪聲的待測信號，分別采用基于相軌跡突變定性檢測待測信號幅相法和本文方法進(jìn)行仿真實驗。

文獻(xiàn)[5]中介紹的基于相軌跡突變定性檢測待測信號幅相法，是經(jīng)過驗證的有效檢測方法。其基本原理是觀察混沌系統(tǒng)相軌跡的瞬態(tài)突變特征來確定混沌系統(tǒng)的狀態(tài)并估計策動力值，通過將系統(tǒng)策動力相位反相，獲得一組具有互補(bǔ)相變特性的檢測狀態(tài),再利用估計策動力，求得待測信號幅相。

仿真實驗3：使用3.1節(jié)提出的方法對改進(jìn)高階Vanderpol系統(tǒng)臨界狀態(tài)判別并得出策動力值。利用相軌跡圖初步確定了廣義Vanderpol混沌振子系統(tǒng)臨界時，初始策動力閾值為γ=0.346 499 78。令策動力迭代步長為Δγ=10-12。計算每個γ值對應(yīng)的Lyapunov特性指數(shù)，如果連續(xù)有10個最大Lyapunov特性指數(shù)小于零，則跳出循環(huán)。此時γ值減10-11，即為所求的策動力閾值γd。仿真結(jié)果如表5和圖3所示。

圖3 系統(tǒng)臨界態(tài)Lyapunov特性指數(shù)圖

由表5可知，仿真初始時系統(tǒng)最大Lyapunov特性指數(shù)大于零，說明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

從γ=0.346 499 784 894開始，連續(xù)10次循環(huán)所對應(yīng)的系統(tǒng)最大Lyapunov特性指數(shù)都小于零，說明系統(tǒng)己經(jīng)完全過渡到了周期態(tài)，則式(3)的臨界狀態(tài)閾值γ=0.346 499 784 893。觀察此時x(t)的時間歷程曲線(見圖4)，也可驗證該閾值的準(zhǔn)確性。

(a)γ=0.346 499 784 893時混沌態(tài)系統(tǒng)

(b)γ=0.346 499 784 894時周期態(tài)系統(tǒng)

同時由表5中可觀察到γ=0.346 499 784 891時，系統(tǒng)的最大Lyapunov特性指數(shù)小于零，但此時為系統(tǒng)不穩(wěn)定狀態(tài)，如通過相軌跡圖判定混沌閾值，則會出現(xiàn)誤判。參考γ=0.346 499 784 890與γ=0.346 499 784 891時的相軌跡圖(見圖5)，可看到系統(tǒng)發(fā)生了瞬態(tài)同步突變，但此時γ=0.346 499 784 890值并不是混沌系統(tǒng)閾值。采用最大Lyapunov特性指數(shù)進(jìn)行多次判定即可避免誤判。

(a)γ=0.346 499 784 890

(b)γ=0.346 499 784 891

仿真實驗4：對基于相軌跡突變定性檢測待測信號幅相法(簡稱定性檢測)和本文方法進(jìn)行檢測有效性對比。在Matlab-2012a環(huán)境下，依式(3)構(gòu)建改進(jìn)的高階廣義Vanderpol系統(tǒng)。令δ=0.5，設(shè)待測信號為

x(t)=acos(ωt+φ)+n(t)。

式中：a=0.000 1 A，ω=700π，φ=0.24π，n(t)為高斯白噪聲幅值。在不同信噪比下進(jìn)行仿真檢測，仿真結(jié)果如圖6所示。從圖6可知，采用本文方法進(jìn)行幅相檢測可將相對誤差控制在2%以內(nèi)，而定性檢測方法的檢測誤差遠(yuǎn)超2%并有隨信噪比降低相對誤差增加的趨勢。從檢測結(jié)果可知使用Lyapunov指數(shù)可定量判斷系統(tǒng)狀態(tài)，為后續(xù)幅相檢測提供精確臨界策動力值；同時采用90°移相補(bǔ)償幅相檢測，通過構(gòu)造兩組互補(bǔ)相變特性檢測待測信號，可抵消部分由噪聲帶來的偏差，對結(jié)果取平均值，可以消除隨機(jī)因素帶來的誤差,故使得本文方法具有更高檢測精度。存在誤差的原因是,受仿真時間限制，使得迭代次數(shù)有限，導(dǎo)致策動力值的精度受限?？梢酝ㄟ^優(yōu)化系統(tǒng)參數(shù)和增加迭代次數(shù)，提高待測信號幅相值的計算精度。

(a)幅值檢測相對誤差

(b)相角檢測相對誤差

5 結(jié) 論

本文提出了一種針對電力系統(tǒng)微弱周期信號檢測的新算法，在改進(jìn)的高階廣義Vanderpol系統(tǒng)基礎(chǔ)上引入了90°移相補(bǔ)償和Lyapunov指數(shù)來實現(xiàn)待測信號的定量檢測。仿真實驗對比結(jié)果顯示，在幅值檢測相對誤差小于5% 條件下，與傳統(tǒng)高階廣義Vanderpol 系統(tǒng)相比，改進(jìn)的Vanderpol系統(tǒng)具有良好的運算速度；和Duffing系統(tǒng)相比，改進(jìn)的高階廣義Vanderpol系統(tǒng)具有更高的檢測精度和抗噪免疫力；和基于相軌跡突變定性檢測待測信號幅相法相比，本文改進(jìn)方法在信噪比降低時其相對誤差仍可控制在2%以內(nèi)，使其具有更高檢測精度，證明了該方法的有效性，其在理論上是可行的。

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Application of Improved Higher Order Vanderpol Oscillatorin Weak Signal Detection

JIANG Shuo,XU Yanchun,LIU Yulong,DU Yufei

(Hubei Key Laboratory of Cascaded Hydropower Stations Operation &Control(China Three Gorges University),Yichang 443002,China)

The signal will be submerged by strong noise in the high precision weak photoelectric signal detection system. A novel approach for quantitative detection of weak sine signal based on Vanderpol oscillator is proposed to solve this problem. The new method improves the reliability of weak signal detection by refining the high order generalized Vanderpol oscillator with higher sensitivity and stronger noise immunity. At the same time,quantitative judgment of the state of chaotic system is achieved with Lyapunov index and higher precision extraction of the signal parameters is realized by combining Lyapunov index with 90 degrees phase shift compensation. Simulation result shows that the improved Vanderpol oscillator has faster computing speed than the traditional one. The improved Vanderpol oscillator can obtain 37 dB signal-to-noise ratio(SNR) gain and 60 dB detection threshold gain compared with the traditional Duffing oscillator in the range of 5% amplitude detection error. The detection based on 90° phase shift compensation can control the relative error within 2% compared with the amplitude and phase detection based on phase trajectory mutation when the SNR is reduced. Therefore the high sensitive and precise detection of weak signal's amplitude and phase is realized.

power system;weak signal detection;chaotic system;Vanderpol oscillator;phase shift compensation;Lyapunov index

2016-11-01；

2017-01-16 Received date:2016-11-01；Revised date：2017-01-16

教育部留學(xué)回國人員科研啟動基金(KJ2015QT007)

10.3969/j.issn.1001-893x.2017.06.011

姜爍，徐艷春，劉宇龍，等.改進(jìn)高階Vanderpol振子在微弱信號檢測中的應(yīng)用[J].電訊技術(shù)，2017,57(6):678-684.[JIANG Shuo,XU Yanchun,LIU Yulong,et al.Application of improved higher order Vanderpol oscillator in weak signal detection[J].Telecommunication Engineering,2017,57(6):678-684.]

TN911.23

A

1001-893X(2017)06-0678-07

姜 爍(1993—)，女，黑龍江鐵力人，2016年于三峽大學(xué)獲學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)為華北電力大學(xué)碩士研究生;

徐艷春(1973—)，女，黑龍江哈爾濱人，2010年于哈爾濱工業(yè)大學(xué)獲博士學(xué)位，現(xiàn)為三峽大學(xué)電氣與新能源學(xué)院副教授、碩士生導(dǎo)師，主要研究方向為矩陣變換器在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用、電力系統(tǒng)繼電保護(hù)中的電氣信號檢測技術(shù);

Email:xyc7309@163.com

劉宇龍(1991—)，男，湖北宜昌人，碩士研究生，主要研究方向為電網(wǎng)的諧波檢測及微弱電氣信號檢測;

杜于飛(1994—)，男，湖北宜昌人，碩士研究生，主要研究方向為電網(wǎng)的諧波檢測及微弱電氣信號檢測。

**通信作者：xyc7309@163.com Corresponding author：xyc7309@163.com，劉宇龍，杜于飛