云南省保山第一中學(xué) 楊竹青

數(shù)列中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，而遞推數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題具有很強(qiáng)的邏輯性，求解方法開(kāi)放、靈活，是考查學(xué)生的理性思維、邏輯推理和化歸能力的好素材。縱觀近幾年全國(guó)各地的高考試題，不難發(fā)現(xiàn)求某些形式較為簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列問(wèn)題更是近年來(lái)的高考熱點(diǎn)之一。普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出“能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題”。可見(jiàn)，讓學(xué)生運(yùn)用已有的等差、等比數(shù)列知識(shí)去解決新的數(shù)列問(wèn)題是課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，也是高考“能力立意”的要求，本文對(duì)近年的高考題或課本上的習(xí)題為例，對(duì)幾類常見(jiàn)的遞推數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題中的構(gòu)造法（轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列）作一些探求，希望對(duì)大家有所啟發(fā)。

一、加常數(shù)策略構(gòu)造等比數(shù)列

對(duì)形如an+1=pan+q(p≠1,q為常數(shù)），則令an+1+λ=p(an+λ)來(lái)構(gòu)造一個(gè)新的等比數(shù)列，并利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等求的值，求通項(xiàng)公式。

例1：（2014新課標(biāo)II卷17題改編）已知數(shù)列{an}滿足a1=1 ,an+1=3an+1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

簡(jiǎn)析：解決該試題的關(guān)鍵是化an+1=pan+q為an+1+λ=p(an+λ)的形式，與已知式子相比較得λ，且從而構(gòu)建數(shù)列{an+λ}為首項(xiàng)為a1+λ(a1+λ ≠0)、公比為p的等比數(shù)列，先求出an+λ，再求出；

解：由a1=1 ,an+1=3an+1設(shè)an+1+λ=3(an+λ)則an+1=3an+2λ與an+1=3an+1比較系數(shù)得2λ=1解得是以為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列。

二、取倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列

形如an+1an=can+1+dan（其中c、d為不等于零的常數(shù)）或的遞推式，可以用倒數(shù)法來(lái)構(gòu)造。如取倒數(shù)法得則可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或拆分變換的情形。又如將遞推公式遞推式，考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有則可歸為an+1=pan+q型。

例2、已知數(shù)列{an}滿足a1=1且求a。n

解：由即

所以，數(shù)列是首項(xiàng)為公差為的等差數(shù)列， 從而

評(píng)注：注意觀察和分析題目條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對(duì)所給的遞推關(guān)系式進(jìn)行變形，使與所求數(shù)列相關(guān)的數(shù)列（本例中數(shù)列是等差或等比數(shù)列后，就能求出通項(xiàng)公式了。

三、除以指數(shù)冪構(gòu)造等差數(shù)列

例2：已知數(shù)列{an}滿足，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

解析：兩邊同除以3n+1，得：

∴是構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列。

本例中的數(shù)列遞推公式類型為（其中q、r均為常數(shù)(q≠0)，只需先在原遞推公式兩邊同除以qn+1，得：即構(gòu)造等差數(shù)再求出數(shù)列（p、q為常數(shù)）的遞推公式的求數(shù)列通項(xiàng)必須用兩次構(gòu)造成等比數(shù)列的方法。具體做的通項(xiàng)。

四、用特征根法構(gòu)造等比數(shù)列

對(duì)形如法叫特征方程法——其特征方程為若方程兩根為則遞推公式可構(gòu)造成如下兩種對(duì)稱形式：，通過(guò)分別利用等比知識(shí)及加減消元法達(dá)到求的目的。

五、取對(duì)數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列或其他特殊數(shù)列

對(duì)數(shù)變換——如將遞推公式取對(duì)數(shù)得，將積、商、冪的形式轉(zhuǎn)化成和、差、倍的形式，從而構(gòu)成新的等差或等比數(shù)列。

對(duì)于某些比較復(fù)雜的遞推式，通過(guò)分析結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到與該遞推式結(jié)構(gòu)相同或相近的公式、函數(shù)，再構(gòu)造“橋函數(shù)”來(lái)求出所給的遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法。

總之，遞推關(guān)系式的數(shù)列題，題型多種多樣，或直接給出遞推關(guān)系、或以其他背景出現(xiàn)。要求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，解決的途徑盡管靈活多變，但關(guān)鍵是進(jìn)行適當(dāng)變形，將其轉(zhuǎn)換與化歸為我們熟知的等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化陌生為熟悉，是求通項(xiàng)公式的重要方法，也是高考重點(diǎn)考查的思想。如果我們不能很好地掌握其構(gòu)造的精髓，在解決這類問(wèn)題將不可避免地會(huì)導(dǎo)致思維混亂、費(fèi)時(shí)和失分。因此我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)充分重視，加強(qiáng)訓(xùn)練，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)運(yùn)算能力、推理論證能力水平得到的提升，才能使學(xué)生在高考時(shí)對(duì)相關(guān)題型的題境不致發(fā)怵，盡快適應(yīng)。