陳威

【摘 要】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一條重要性質(zhì)，本文主要討論了函數(shù)的單調(diào)性在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；單調(diào)性；判斷方法

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，是今后研究具體函數(shù)單調(diào)性的理論基礎(chǔ)，在比較大小、解決函數(shù)圖象、值域、最值以及證券市場(chǎng)分析、財(cái)務(wù)管理等專(zhuān)業(yè)課中均有廣泛應(yīng)用。通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的研究可以讓大家對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)不斷充實(shí)、完善的過(guò)程，而且可進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，起到承上啟下的作用。

單調(diào)性在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用：

單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，該性質(zhì)有廣泛的應(yīng)用，主要用于如下幾個(gè)方面：

一、比較兩個(gè)數(shù)的大小

例1：比較log2（x+1）和log2（2x+3）的大小

分析：從題設(shè)的兩個(gè)對(duì)數(shù)，便聯(lián)想起y=log2u在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，因此，只要比較兩個(gè)真數(shù)的大小，原題就可獲解

解 ，解得x>-1當(dāng)x>-1時(shí)，有0

二、證明不等式

在證明不等式中，通過(guò)聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)，將常量作為變量的瞬時(shí)狀態(tài)，置于構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，利用其單調(diào)性證明一些不等式，十分便捷。

例2：（福建） 已知f（x）為R上的減函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍（ ）

A（-1，1） B （0，1）

C （-1，0）∪（0，1） D （-∞，1）∪（1，∞）

解析：借助單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)換為自變量應(yīng)滿足的關(guān)系式.很容易可以做出選C.

三、求參數(shù)的取值范圍

例3：已知f（x）是奇函數(shù)，在實(shí)數(shù)集R上又是單調(diào)遞減函數(shù)，且時(shí)，求t的取值范圍。

分析：因已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)將已知不等式移項(xiàng)后可得

根據(jù)f（x）是減函數(shù)脫去f，然后由式子特征構(gòu)造相應(yīng)單調(diào)函數(shù)。

解 <

設(shè)x=sinθ，0

x2-3tx<-1 解得 t>

四、利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的值域或最值

例4：若，求函數(shù)的值域。

解析 設(shè)，則

=

∵，

∴f（x1）-f（x2）<0即f（x1）

∴

f（x）值域?yàn)?/p>

綜上所述，用函數(shù)單詞性解題的關(guān)鍵是通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，若構(gòu)造的這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性不明顯，則需證明它具有單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去求解或證明。