李元法

(湖北省當(dāng)陽市第一高級中學(xué)，湖北 當(dāng)陽 444100)

·試題研究·

運用動量定理妙解電磁感應(yīng)中的單桿問題

李元法

(湖北省當(dāng)陽市第一高級中學(xué)，湖北 當(dāng)陽 444100)

新物理考試大綱將選修3-5的內(nèi)容納入必考內(nèi)容，這將使高考命題更加突出主干內(nèi)容的整體性、綜合性，更能考查學(xué)生的核心素養(yǎng).巧用動量定理妙解電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的單桿問題，正是符合上述高考的變革要求，這類問題既強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)，又兼顧綜合，還能考查學(xué)生運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，值得廣大師生重視

動量定理；電磁感應(yīng)；單桿模型

1 引言

2017年湖北省普通高考考試大綱規(guī)定了考試內(nèi)容與形式，對指導(dǎo)高考內(nèi)容改革、規(guī)范高考命題都有重要意義.其中將選修3-5的內(nèi)容納入必考內(nèi)容，可使動量和牛頓運動定律、能量相結(jié)合，不但保證了經(jīng)典力學(xué)體系的完整性，而且使高考命題更加突出考試內(nèi)容的整體性.電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的單桿問題主要應(yīng)用了動量定理，單桿模型是電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的重要模型，常見的模型有三種類型：單桿和電阻相結(jié)合、單桿和電容器相結(jié)合、單桿和電源相結(jié)合.

2 單桿和電阻相結(jié)合模型

單桿在磁場中運動產(chǎn)生的動生電動勢和電阻相結(jié)合，相當(dāng)于電源和電阻組成閉合回路.利用動量定理和閉合電路歐姆定律、法拉第電磁感應(yīng)定律相結(jié)合，可以方便地求出金屬桿運動的距離、速度和運動時間.

2．1 單桿和電阻相結(jié)合在水平面運動

例1：如圖1所示,一水平放置的光滑足夠長平行導(dǎo)軌上放一質(zhì)量為m的金屬桿,導(dǎo)軌間距為L,導(dǎo)軌的一端連接一阻值為R的電阻,其他電阻不計,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場垂直于導(dǎo)軌平面.當(dāng)金屬桿以初速度v0水平向右運動時,試求金屬桿在導(dǎo)軌上向右移動的最大距離.

圖1

解:金屬桿受重力、支持力和水平向左的安培力作用;設(shè)金屬桿運動時間為Δt,取水平向右為正方向.

2．2 單桿和電阻相結(jié)合在豎直方向運動

例2：如圖2所示，豎直放置的平行金屬導(dǎo)軌的上端跨接一阻值為R的電阻，導(dǎo)軌間距為L.質(zhì)量為m的金屬棒MN可沿平行導(dǎo)軌豎直下滑，不計軌道與金屬棒的電阻，在垂直導(dǎo)軌平面有兩個方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場區(qū)域.兩磁場的上邊界相距為d，將金屬棒MN從第一個磁場上方高h(yuǎn)處由靜止釋放，已知金屬棒MN剛進(jìn)入第一個磁場時速度為v0，金屬棒MN剛進(jìn)入第二個磁場時速度也為v0.

圖2

求：(1) 金屬棒MN剛離開第一個磁場時的速度；

(2) 金屬棒MN由靜止釋放到離開第二個磁場時的運動時間.

解：(1) 設(shè)金屬棒穿過磁場克服安培力做功為W克，金屬棒運動時間為t、穿過任意一個磁場的時間為Δt、金屬棒剛離開磁場時的速度設(shè)為v.

金屬棒在豎直方向先做自由落體運動，進(jìn)入磁場后做變減速運動；然后做勻加速運動，再變?yōu)闇p速運動，難以用運動學(xué)公式求出變速運動的時間，巧用動量定理可迅速求出全過程的運動時間.

3 單桿和電容器相結(jié)合模型

當(dāng)單桿和電容器相結(jié)合時，桿運動切割磁感線產(chǎn)生電動勢，電容器會出現(xiàn)充、放電現(xiàn)象，電路中形成電流，桿受到安培力作用，做變速運動最后達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，做勻速運動，應(yīng)用動量定理和電流的定義式、電容的定義式、法拉第電磁感應(yīng)定律相結(jié)合可以簡潔地求出桿穩(wěn)定運動的速度和電容器所帶電荷量.

3.1 單桿和電容器相結(jié)合在水平面運動

例3：如圖3所示，U型導(dǎo)軌固定在水平面上，導(dǎo)軌左端接一電容為C的電容器，電容器原來不帶電.導(dǎo)軌間距為L且足夠長.有一質(zhì)量為m、長度為L的導(dǎo)體棒放在導(dǎo)軌上，設(shè)導(dǎo)體棒、導(dǎo)軌的電阻均可忽略，導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌間的摩擦也不計，導(dǎo)軌處于方向垂直水平面(即紙面)向下的勻強(qiáng)磁場B中.今給導(dǎo)體棒ab一個向右的初速度v0，試求：(1) 導(dǎo)體棒ab的最終運動速度；

圖3

(2) 導(dǎo)體棒ab穩(wěn)定運動時電容器所帶電荷量.

解：(1) 導(dǎo)體棒向右運動，切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢使電容器充電，當(dāng)電容器C極板間電壓與導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢相等時，電路中沒有電流，ab棒不再受安培力，向右以速度v0做勻速運動.

3.2 單桿和電容器相結(jié)合在豎直方向運動

圖4

例4：如圖4所示，豎直方向上有兩條足夠長的平行導(dǎo)軌ab、cd，導(dǎo)軌間距為L.導(dǎo)軌上端接有一平行板電容器，電容為C.導(dǎo)軌處于水平向里的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.在導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為m的金屬棒MN，讓金屬棒由靜止開始向下運動，且在運動過程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸.重力加速度大小為g，忽略所有電阻.求：

(1) 電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系；

(2) 金屬棒的速度大小隨時間變化的關(guān)系.

解：(1) 設(shè)金屬棒MN運動的速度大小為v，由法拉第電磁感應(yīng)定律得：E=BLv.

4 利用動量定理解析單桿和電源相結(jié)合模型

金屬桿和電源相結(jié)合組成回路，桿為負(fù)載，受安培力作用將做變速運動.金屬桿運動切割磁感線產(chǎn)生動生電動勢，反過來影響電路使金屬桿做變加速運動.利用動量定理可靈活地求出通過金屬桿的電荷量、金屬桿運動的時間.

4.1 單桿和電源相結(jié)合在水平面運動

例5：如圖5所示，金屬棒ab質(zhì)量m=20g，放在相距L=0.5m的兩根光滑的金屬導(dǎo)軌上，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=4T，方向豎直向上，電源電動勢E=3V，導(dǎo)軌距地面高度h=0.2m，當(dāng)電鍵閉合后，金屬棒被拋到水平距離s=1.6cm的地面上，重力加速度取10m/s2.求：

圖5

(1) 電鍵閉合瞬間金屬棒獲得的速度；

(2) 電鍵閉合瞬間通過金屬棒的電荷量.

4.2 單桿和電源相結(jié)合在豎直方向運動

圖6

例6：如圖6所示，豎直放置的平行金屬導(dǎo)軌上端跨接一電動勢為E=2V的電源，不計軌道和電源的內(nèi)阻.質(zhì)量為m=100g的金屬棒MN可沿平行導(dǎo)軌豎直下滑，金屬棒電阻R=2Ω，豎直導(dǎo)軌處在勻強(qiáng)磁場中，勻強(qiáng)磁場垂直導(dǎo)軌平面向里且B=1T.兩導(dǎo)軌足夠長，間距為L=0.5m,當(dāng)金屬棒MN在磁場中由靜止釋放后，豎直向下運動距離h=2m時達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).

求：(1) 金屬棒達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時的速度；

(2) 金屬棒MN在磁場中由靜止釋放到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)運動的時間.

解：(1) 金屬棒向下運動切割磁感線產(chǎn)生動生電動勢，做加速度越來越小的加速運動，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后做勻速運動.

(2) 設(shè)對金屬棒經(jīng)過時間t達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).

孟衛(wèi)東，何龍.高考物理改革，我們怎么學(xué)？[J].中國考試,2017,(1).