◎李 輝 龔邦明

( 1.銅仁學(xué)院大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 銅仁 554300； 2.興義民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 興義 562400)

葉果洛夫定理教學(xué)研討

◎李 輝1龔邦明2

( 1.銅仁學(xué)院大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 銅仁 554300； 2.興義民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 興義 562400)

本文旨在對(duì)葉果洛夫定理(第二版)證明的包含關(guān)系做出解釋?zhuān)瑢W(xué)生在學(xué)習(xí)到此證明時(shí)，對(duì)集合語(yǔ)言與分析語(yǔ)言不容易接受.當(dāng)將分析語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為集合運(yùn)算時(shí)，等式的包含關(guān)系就顯而易見(jiàn)了，而這也成為理解本定理的關(guān)鍵.

分析語(yǔ)言；集合語(yǔ)言；葉果洛夫定理

一、預(yù)備知識(shí)

定義2 設(shè)有一集列{Si}，并且滿足

S1?S2?…?Sn?…，

定義3 設(shè)有一集列{Si}，并且滿足

S1?S2?…?Sn?…，

性質(zhì)1

結(jié)論1 與“存在”相對(duì)應(yīng)的是并集運(yùn)算，與“任意”相對(duì)應(yīng)的是交集運(yùn)算.

二、分析過(guò)程

首先，此種的證法偏重于分析語(yǔ)言，但這樣就會(huì)造成在用分析語(yǔ)言的思維來(lái)分析集合時(shí)，顯得抽象，不易理解.但是若我們能將分析語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為集合語(yǔ)言，在此定理的開(kāi)頭提到的包含關(guān)系就能夠迎刃而解.

對(duì)于符號(hào)E[n，ε]，我們看到在定義時(shí)是這樣定義的：

E[n，ε]=E[|fk(x)-f(x)|<ε，?k≥n].

意思是指在?k≥n下，所有滿足|fk(x)-f(x)|<ε的點(diǎn)x構(gòu)成的集合.通過(guò)對(duì)預(yù)備知識(shí)的了解，我們知道與“任意”相對(duì)應(yīng)的是交運(yùn)算，所以，?k≥n反映到集合語(yǔ)言里就是對(duì)變量k做交運(yùn)算，即：

對(duì)于符號(hào)E[fn(x)→有限f(x)]，是將分析語(yǔ)言與集合語(yǔ)言混合起來(lái)的一種表述，如果翻譯成分析表述那就應(yīng)當(dāng)是

?ε>0，?N>0，s.t.

當(dāng)?n>N(ε，x)時(shí)，有|fn(x)-f(x)|<ε，

但此處關(guān)鍵是要解決集合之間的包含關(guān)系，所以，我們將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的集合語(yǔ)言.同理，就要把“任意”轉(zhuǎn)化成交運(yùn)算，“存在”改為并運(yùn)算，即

而右邊

E[除有限個(gè)n以外都有|fn(x)-f(x)|<ε],

其實(shí)是下限集的定義，因?yàn)?/p>

而由性質(zhì)1知道

故集合E[除有限個(gè)n以外都有|fn(x)-f(x)|<ε]就變?yōu)?/p>

然后，我們將左右兩邊的集合做個(gè)比較.

右邊等于

左邊等于

因?yàn)橛疫吺窃谧筮吋系幕A(chǔ)上再做交運(yùn)算的結(jié)果，故

E[fn(x)→有限f(x)]?E[除有限個(gè)n以外都有|fn(x)-f(x)|<ε].

故開(kāi)頭所提出的問(wèn)題在對(duì)這兩種語(yǔ)言有一定的了解的情況下得到了解決.

[1]程其襄，張奠宙，魏國(guó)強(qiáng)，胡善文,等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]程其襄，張奠宙，魏國(guó)強(qiáng)，胡善文，等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2010.

類(lèi)別：卓越人才教育培養(yǎng)計(jì)劃項(xiàng)目；名稱(chēng)：卓越數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)計(jì)劃；項(xiàng)目編號(hào)：2016SJZYRC001.