羅旭 費為銀 夏登峰

摘要自Markowitz投資組合理論問世以來，投資組合選擇問題就受到了國內(nèi)外很多學(xué)者的關(guān)注，并對其進行了大量研究.本文首先闡述了現(xiàn)代投資組合的理論框架，然后介紹了不同時期國內(nèi)外學(xué)者的研究成果和方法，接著較為詳細(xì)地介紹了帶有行為投資的最優(yōu)消費和投資組合問題并給出了含損失厭惡的投資組合模型，最后在通脹、跳擴散以及Knight不確定環(huán)境下對含有損失厭惡的最優(yōu)消費和投資組合模型進行了拓展.關(guān)鍵詞行為金融；損失厭惡；投資組合；通脹；跳擴散；Knight不確定；鞅方法

中圖分類號O21163；F8309

文獻標(biāo)志碼A

0引言

現(xiàn)代投資組合理論主要由投資組合理論、資本資產(chǎn)定價模型、套利定價模型、有效市場理論以及行為金融理論等部分組成.它們的發(fā)展極大地改變了過去主要依賴基本分析的傳統(tǒng)投資管理實踐，使現(xiàn)代投資管理日益朝著系統(tǒng)化、科學(xué)化和組合化的方向發(fā)展.

均值方差模型是由Markowitz[1]提出的衡量風(fēng)險的模型，其中投資者的收益和風(fēng)險通過均值和方差來刻畫，開創(chuàng)了理性投資者在金融市場中投資的新領(lǐng)域.在Markowitz[1]和Tobin[2]的工作基礎(chǔ)上，Sharpe[3]提出了資本資產(chǎn)定價模型，該模型在不確定情形下介紹了資產(chǎn)定價問題，也為投資組合理論和投資實踐奠定了基礎(chǔ).有效市場假說是由Fama[4]深化并提出的，他指出價格信息的完全公開是有效市場的基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上就不能根據(jù)過去的價格信息來進行投資獲利.對于資本資產(chǎn)定價模型所存在的缺陷，Ross[5]提出了套利定價理論模型，該模型使得在投資組合的運用更加廣泛，從而使現(xiàn)代投資組合理論更加完善.

隨后，投資組合選擇問題一直是國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點問題之一，特別是動態(tài)投資組合選擇問題.動態(tài)的消費與投資組合決策的研究問題可以追溯到Samuelson[6]，他利用動態(tài)規(guī)劃的方法求解了一個離散時間的最優(yōu)消費和投資組合選擇的多期模型.其后，Merton[7]提出在隨機動態(tài)規(guī)劃所刻畫的不確定環(huán)境下，具有連續(xù)時間的最優(yōu)跨期消費和投資組合策略.在Merton初步研究了連續(xù)時間模型中的最優(yōu)消費和投資組合規(guī)則之后，Ocone等[8]研究了在時變的投資機會集下的最優(yōu)消費和投資組合；Liu[9]分析了帶有一般仿射或者是二次型市場結(jié)構(gòu)的投資組合選擇，當(dāng)資產(chǎn)價格是二次的并且代理人有一個常數(shù)相對風(fēng)險厭惡系數(shù)（CRRA）時，明確地得出了動態(tài)投資組合的解；Kim等[10]研究了投資者的動態(tài)非短視投資組合行為全部來自于HARA效用函數(shù)和隨機風(fēng)險溢價的問題，最后得出最優(yōu)的投資組合；Wachter[11]假設(shè)投資者的偏好結(jié)構(gòu)為冪效用函數(shù)，而且是常利率，但是股票的價格服從均值回復(fù)過程，并且在完備市場下得出最優(yōu)策略的閉式解，這是與之前的求解方法不同的，之前的都是近似解、數(shù)值方法或者投資者的消費沒有假定在整個生命周期內(nèi)；Munk[12]研究了

學(xué)報（自然科學(xué)版），2017，9（4）：437444Journal of Nanjing University of Information Science and Technology（Natural Science Edition），2017，9（4）：437444

羅旭，等.損失厭惡投資者最優(yōu)消費和投資組合選擇理論的研究進展.

LUO Xu，et al.

Research advances on the theory of optimal consumption

and portfolio for loss aversion.

投資者有習(xí)慣形成偏好，并且在完備的市場下有時變的投資機會集的動態(tài)消費和投資組合選擇問題.

關(guān)于動態(tài)投資組合選擇問題學(xué)者們也從各自不同的角度進行了深入的研究.Fama等[13]研究了紅利收益和股票預(yù)期收益的問題，其中股票收益是通過回歸的R2來度量的，而且隨著投資區(qū)間的增加而增加；Koo[14]考慮了帶有未投保的勞動收入風(fēng)險以及無限時間區(qū)間下的投資組合選擇模型；Campbell等[15]提出了一種基于消費的模型，并且這種模型解釋了股票收益的周期性變化、股票市場波動率的反周期性等各種動態(tài)資產(chǎn)定價現(xiàn)象，通過股票的歷史數(shù)據(jù)應(yīng)用到模型中，也解釋了短期和長期的股權(quán)溢價之謎；Cocco等[16]解決了一個帶有不可交易的勞動收入和借貸約束下的消費與投資組合選擇的實際校準(zhǔn)的生命周期模型問題，在這里由于勞動收入為無風(fēng)險資產(chǎn)的替代品，投資在股票上的最優(yōu)比例是隨著年齡的增長而逐漸減少的，并且發(fā)現(xiàn)人力資本對投資行為的重要性，從而忽略勞動收入產(chǎn)生較大的效用成本.

在投資組合理論求解方面，一些學(xué)者做出了很大的貢獻.Merton[17]首次提出在隨機動態(tài)規(guī)劃所刻畫的不確定環(huán)境下，具有連續(xù)時間的最優(yōu)跨期消費和投資組合策略；Karatzas等[18]給出了對于值函數(shù)和最優(yōu)消費和投資組合策略的閉式解，其中投資區(qū)間是無限期的；更進一步的Karatzas等[19]研究了在有限區(qū)間內(nèi)的“小投資者”的最優(yōu)投資組合和消費問題，在使得消費效用和終端財富效用最大化的基礎(chǔ)上，給出了最優(yōu)的消費和財富過程；Cox等[20]研究了在不確定的環(huán)境下，考慮一個連續(xù)時間的消費投資組合問題，當(dāng)消費和終端財富存在非負(fù)的約束，鞅方法能刻畫最優(yōu)的消費投資組合策略，不像動態(tài)規(guī)劃的非線性偏微分方程，這里的最優(yōu)策略的檢驗定理涉及一個線性的偏微分方程；Schroder等[21]利用對偶技術(shù)與鞅方法把帶有線性的內(nèi)部習(xí)慣形成的消費與投資組合選擇模型轉(zhuǎn)化為沒有線性的內(nèi)部習(xí)慣形成的對偶的消費與投資組合選擇模型，并且得出最優(yōu)解.

1損失厭惡下的消費和投資組合理論

20世紀(jì)以來，以資本資產(chǎn)定價模型和現(xiàn)代資產(chǎn)組合理論為基礎(chǔ)，標(biāo)準(zhǔn)金融理論確立了在金融經(jīng)濟領(lǐng)域的地位，成為現(xiàn)代金融經(jīng)濟理論的主流.但是，隨著金融市場上各種異?，F(xiàn)象的累積以及人們對金融異?，F(xiàn)象研究的日益重視，標(biāo)準(zhǔn)金融理論受到了很大的挑戰(zhàn)，其理論上的日漸完善以及其在實踐指導(dǎo)意義上的蒼白無力，由此促成了一批力圖解釋金融異?，F(xiàn)象的全新金融理論逐漸興起，行為金融理論就是其中之一.

行為金融理論是在對標(biāo)準(zhǔn)金融理論的挑戰(zhàn)和質(zhì)疑的背景下形成的，使得我們看到了金融理論與實際的溝壑有了彌合的可能.行為金融理論將人類心理和行為納入金融的研究框架中.1979年，Kahneman等[22]提出了“展望理論”，使之成為行為金融研究中的代表學(xué)說.

由于標(biāo)準(zhǔn)金融理論受到了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，近來許多國外學(xué)者研究了在行為金融下的消費與投資組合相關(guān)的問題.首先一些學(xué)者研究了消費習(xí)慣偏好的問題.例如，Abel[23]研究了習(xí)慣形成和消費攀比的資產(chǎn)定價；Constantinides[24]說明了代理人變得習(xí)慣于消費的確定水平；Detemple等[25]研究了在習(xí)慣形成下的最優(yōu)消費和投資組合選擇模型，解釋了基于消費的資產(chǎn)定價，并且解釋了在帶有低的風(fēng)險厭惡時的模型中，高水平的股權(quán)溢價和逆周期變化的現(xiàn)象.在經(jīng)濟衰退時期，當(dāng)消費低于習(xí)慣時，股票的回報率很低，因此投資者對于持有的股票需要一個高的溢價.這些文獻說明代理人相對于參考水平會估計和調(diào)整消費水平.目前的金融信托產(chǎn)品正在緩慢地與投資組合的偏好聯(lián)系在一起，而且有許多學(xué)者正在嘗試將整個生命周期內(nèi)的消費與投資組合的理論應(yīng)用到實踐中.一些學(xué)者在研究損失厭惡下的消費和投資組合問題時，通常會把參考點考慮為常數(shù)，所以由上述文獻可以知道，考慮參考點使內(nèi)部動態(tài)性更新得比較貼合實際.

其次，在展望理論下，假定效用函數(shù)是分段的冪效用函數(shù)，并且效用函數(shù)有以下幾條性質(zhì)：參考依賴性、損失厭惡、敏感度遞減規(guī)律，所以為了使理論能更好地解釋實踐問題，我們在展望理論基礎(chǔ)上研究損失厭惡下的消費和投資組合問題.關(guān)于在損失厭惡下的投資組合問題有許多學(xué)者做出了貢獻.例如，Gomes[26]研究了損失厭惡型投資者的投資組合選擇與交易量，最后在均衡的背景下模型得出交易量與股票收益波動率是正相關(guān)的，但卻不是線性的；Kszegi等[27]得出一個參考依賴和損失厭惡的模型，其中“收益損失效用”來自于標(biāo)準(zhǔn)的“消費效用”，并且參考點是通過經(jīng)濟環(huán)境內(nèi)生性確定的；Barberis等[28]研究了展望理論與資產(chǎn)定價問題，投資者的效用不僅依賴于消費而且依賴于他們金融財富價值的波動，在這些因素的影響下，他們是損失厭惡的，并且損失厭惡的程度依賴于他們先前的投資偏好，而且在這種框架下能幫助解釋股票回報預(yù)期的高均值和超額波動率；Jin等[29]研究了在展望理論下的一般連續(xù)時間行為投資組合選擇模型，而且展望理論的特征有S型的效用函數(shù)和扭曲概率，并且假定在完備的市場和資產(chǎn)價格滿足一般的伊藤過程下，給出了一個從根本上不同于用于求解效用模型的系統(tǒng)方法，這個方法被發(fā)展用于求解一個適用的模型；Grüne等[30]研究了帶有損失厭惡下的資產(chǎn)定價問題，并且采用隨機增長模型，使用帶有自適應(yīng)網(wǎng)格計劃的動態(tài)規(guī)劃方法的一個隨機版本，以確定模型的資產(chǎn)價格特征與損失厭惡偏好，結(jié)果表明，考慮損失厭惡情緒，就可以得到一個比通常來自純粹的消費為基礎(chǔ)的資產(chǎn)定價模型更好的結(jié)果；Foellmi等[31]研究了在損失厭惡和習(xí)慣形成存在下最優(yōu)經(jīng)濟增長的CassKoopmansRamsey模型，并且找到了最優(yōu)的消費路徑；Siegmann[32]研究了在不確定環(huán)境下?lián)p失厭惡代理人的最優(yōu)儲蓄規(guī)則，解決了對于損失厭惡代理人度量效用的兩期消費和儲蓄模型，其中代理人的效用來自相對于基本水平的消費；He等[33]研究了在連續(xù)時間下人類的希望、恐懼和渴望三種情緒對投資行為的影響，分別引入希望指數(shù)、恐懼指數(shù)和渴望指數(shù)，從而進一步的量化了投資行為；Berkelaar等[34]研究了損失厭惡下的投資組合選擇，并且利用鞅方法求解得出了對于損失厭惡投資者的最優(yōu)投資策略，分析了在假定市場是完備的并且對于資產(chǎn)定價是服從一般的伊藤過程時，如果損失厭惡投資者服從部分投資組合保險策略，并且當(dāng)投資者的投資區(qū)間較短時，則他相對于帶有平滑的冪效用函數(shù)的投資者來說，會考慮減少股票的初始投資組合權(quán)重.

近年來，國內(nèi)也有學(xué)者研究了損失厭惡和其他影響因素對投資組合的影響.周嘉南等[35]應(yīng)用損失厭惡投資者的心理來解釋市場的異?，F(xiàn)象；徐緒松等[36]在考慮損失規(guī)避的情形下，建立了期望效用投資組合選擇模型，其中效用函數(shù)是財富變化和終端財富的函數(shù)，最終建立投資組合模型并且對我國的股票市場進行了實證分析；胡支軍等[37]研究了損失厭惡情形下的非線性投資組合問題，其中效用函數(shù)是終端財富的函數(shù)，由于效用函數(shù)有一部分是非光滑的，所以需要通過一個特殊函數(shù)來進行光滑處理，最終建立了最優(yōu)的投資組合模型；金秀等[38]研究了基于動態(tài)損失厭惡投資組合情形下的優(yōu)化模型，并對其進行了實證分析；史金艷等[39]研究了損失厭惡情況下的最優(yōu)消費和投資問題，發(fā)現(xiàn)投資者的心理對最優(yōu)消費和投資組合策略有很大影響；米輝等[40]研究了在不完全市場條件下，而且在連續(xù)時間下?lián)p失厭惡投資者的投資組合選擇問題，投資者的偏好由一個S型的值函數(shù)定義，其中不完全市場是通過資產(chǎn)的數(shù)量和與之驅(qū)動的布朗運動的維數(shù)不相同來刻畫的，通過把不完全市場轉(zhuǎn)化為完全市場之后，再利用鞅方法和復(fù)制技術(shù)來求解，得到了投資者的最優(yōu)終端財富以及最優(yōu)投資策略.

通過上述大量文獻的論述，我們知道了投資者的損失厭惡情緒會對投資者的消費和投資組合選擇有很大的影響.Bilsen等[41]考慮內(nèi)部習(xí)慣形成，以及展望理論下的效用函數(shù)，研究了損失厭惡以及參考水平是內(nèi)生性更新的消費與投資組合選擇問題，分析在損失區(qū)域內(nèi)兩種對待風(fēng)險的態(tài)度：風(fēng)險喜好、風(fēng)險厭惡.其中風(fēng)險喜好和風(fēng)險厭惡與效用函數(shù)里的曲率參數(shù)的選擇有關(guān).Abdellaoui等[42]指出在損失區(qū)域內(nèi)不能得出效用函數(shù)的凹凸性，所以不僅需要考慮在損失區(qū)域內(nèi)效用函數(shù)為凸的，而且還要考慮凹的情形.其中效用函數(shù)中的曲率參數(shù)決定了在損失區(qū)域內(nèi)效用函數(shù)的凹凸性.然而在損失厭惡和動態(tài)的參考水平下的消費和投資組合問題還沒有得到更多的關(guān)注，因此根據(jù)Bilsen等[41]的工作給出下面模型.

假設(shè)在金融市場中，有一個無風(fēng)險資產(chǎn)和N個風(fēng)險資產(chǎn)，其中[0，T]是連續(xù)的投資區(qū)間，則無風(fēng)險資產(chǎn)的價格B滿足：

dBtBt=rtdt，B0=1，

其中r是無風(fēng)險利率過程.進一步的N維風(fēng)險資產(chǎn)（股票）的價格過程滿足下面的隨機微分方程：

dStSt=μtdt+σtdZt，S0=1N，

其中，1N表示所有分量為1的N維向量，μ表示N維的平均回報率，σ表示（N×N）的波動率過程，Z表示N維的布朗運動.風(fēng)險市場價格過程λ是方程σtλt=ut-rt1N的解，則唯一的狀態(tài)價格密度過程M能被定義為

Mt=exp-∫t0rsds-∫t0λTsdZs-12∫t0‖λs‖2ds.

代理人的金融財富動力學(xué)方程W以及相應(yīng)的消費與投資組合策略（c，π）滿足下面的動態(tài)預(yù)算約束：

dWt=（rtWt+πTt σtλt-ct）dt+πTt σtdZt，W0≥0.

在展望理論下，我們假設(shè)代理人的效用函數(shù)u（ct；θt）是通過分段的冪效用函數(shù)來表示的：

u（ct；θt）=v（ct-θt）≡-k（θt-ct）γ1，ct<θt，（ct-θt）γ2，ct≥θt，

其中，θt表示的是代理人的參考水平，并且是動態(tài)的，γ1>0和γ2∈（0，1）是曲率參數(shù)，k≥1表示的是損失厭惡指數(shù).如果消費大于參考水平，則代理人的效用就是正的效用，反之為負(fù)效用.

假設(shè)代理的參考水平滿足：

dθt=（βct-αθt）dt，θ0≥0，

其中θ0表示的是代理人的初始的參考水平，α≥0是相應(yīng)的折舊參數(shù)，β≥0表示當(dāng)前消費對參考水平反映的程度.

通過鞅方法，代理人的動態(tài)消費與投資組合選擇問題可以轉(zhuǎn)化為下面的等價的靜態(tài)變分問題：

max imizec E∫T0exp{-δt}v（ct-θt）dt，E∫T0Mtctdt≤W0，dθt=（βct-αθt）dt，ct≥θt-Lt，t∈[0，T]，

其中，δ≥0表示時間偏好的比率.另外，假定Lt是僅僅依賴于時間t，如果Lt=exp{-αt}θ0，則消費被保證是非負(fù)的.我們能把θt-Lt看作是代理人的最低消費水平.最后，通過對偶技術(shù)和鞅方法求解得到最優(yōu)消費和投資組合（ct*，πt*）.進一步，考慮損失區(qū)域內(nèi)的風(fēng)險厭惡和風(fēng)險喜好這兩種情形，分別給出了最優(yōu)消費與投資組合.同時，還比較了有內(nèi)生性更新和沒有內(nèi)生性更新的情形，使得參考水平的內(nèi)生性更新意味著金融沖擊對消費的影響是隨著時間光滑的，最后分析了相對于最優(yōu)狀態(tài)下的福利損失.

Bilsen等[41]的工作表現(xiàn)在如下幾個方面：第一，考慮了人過去的行為會影響現(xiàn)在的消費，即消費習(xí)慣形成，且考慮參考水平是內(nèi)生性更新的；第二，利用展望理論下的效用函數(shù)來刻畫損失厭惡；第三，考慮在損失區(qū)域內(nèi)效用函數(shù)的凹凸性；第四，利用對偶技術(shù)和鞅方法來求出最優(yōu)消費和投資組合，并進行了數(shù)值模擬.

但是，在Bilsen等[41]的工作中沒有考慮通脹因素、跳擴散和Knight不確定的影響，所以可以在其模型的基礎(chǔ)上分別加入以上三個因素的影響，使得模型更加貼近實際.

2帶有損失厭惡的消費和投資組合模型的拓展

在研究消費和投資組合分配問題時，為了使所建立的決策模型更加符合現(xiàn)實的經(jīng)濟環(huán)境，得出的相關(guān)結(jié)論更具有實際經(jīng)濟意義，以下分別對通脹、跳擴散和Knight不確定情形下關(guān)于消費和投資組合的問題進行分析，得出上述模型可以在這三個框架下進行拓展.

21通脹環(huán)境下帶有損失厭惡的最優(yōu)消費和投資組合

對于金融市場的投資者來說，如何保證資產(chǎn)不受通貨膨脹的侵蝕，如何保證在通脹背景下實現(xiàn)資產(chǎn)的保值增值，這是與每一個經(jīng)濟參與者利益密切相關(guān)的問題.因此在研究投資組合問題時，考慮通貨膨脹這一因素是有必要的.已有許多學(xué)者開始研究通貨膨脹是怎樣影響消費和投資組合的.例如，Solnik[43]討論了通脹和最優(yōu)投資者組合選擇問題；Brennan等[44]研究了在通脹環(huán)境下投資者在有限投資區(qū)間內(nèi)資產(chǎn)的配置問題，得出了帶有冪效用函數(shù)的投資者最優(yōu)動態(tài)策略，當(dāng)投資者可以自由獲得不受約束的投資組合部分時，得到了最優(yōu)投資組合的閉型公式；Munk等[45]分析了在均值回復(fù)收益、隨機利率和通脹不確定下的最優(yōu)資產(chǎn)配置；Bensoussan等[46]研究了在通脹情形下，以消費和終端財富效用最大化為目標(biāo)的投資者的最優(yōu)消費和投資組合問題，其中消費籃子價格分別考慮了完全可觀察和部分可觀察的情況；Kwak等[47]研究了在通脹風(fēng)險下投資者在連續(xù)時間內(nèi)的最優(yōu)消費、投資和人身保險決策問題；Fei[48]研究了帶通脹和馬氏鏈轉(zhuǎn)換下的金融市場中，以實現(xiàn)通脹折現(xiàn)后的消費效用最大化的目標(biāo)，給出了投資者最優(yōu)消費和投資策略的顯式解，還對給出的理論進行了數(shù)值模擬，并給出相應(yīng)的經(jīng)濟學(xué)分析；Fei等[49]研究了在通脹環(huán)境下把馬爾科夫機制轉(zhuǎn)換的最優(yōu)控制應(yīng)用到投資組合決策中，并且最優(yōu)控制法則滿足帶有馬爾科夫機制的廣義HJB方程，然后通過廣義HJB方程，研究了在馬爾科夫機制和通脹環(huán)境下的最優(yōu)消費和投資組合問題；費為銀等[50]研究了投資者在通脹環(huán)境下帶遞歸效用的最優(yōu)消費和投資問題；費為銀等[51]在展望理論的框架下，研究了通脹等因素對于帶激勵的對沖基金管理者最優(yōu)投資策略的影響，以通脹折現(xiàn)因素后的終端財富預(yù)期效用最大化為標(biāo)準(zhǔn)的情況下，利用鞅方法推導(dǎo)了最優(yōu)投資策略的顯式解，最后對得出的理論結(jié)果進行數(shù)值模擬，并給出了相應(yīng)的經(jīng)濟意義.

由上述文獻可以知道，為了使模型更加貼近真實的市場環(huán)境，在研究投資者的消費和投資組合時應(yīng)該考慮通脹風(fēng)險對投資者的影響，所以可以在帶有損失厭惡的模型中考慮加入通脹因素，分析通脹帶來的風(fēng)險以及對投資者的影響，這樣也更符合我國實際的經(jīng)濟環(huán)境.

22跳擴散環(huán)境下帶有損失厭惡的最優(yōu)消費和投資組合

近年來極端金融風(fēng)險頻發(fā)，這樣的突發(fā)事件會影響各國的金融市場，使資產(chǎn)價格發(fā)生大起大落乃至出現(xiàn)不連續(xù)的變化，所以跳風(fēng)險對投資者的決策有重大影響.因此，在研究資產(chǎn)配置問題時也需要考慮跳因素的影響.例如，Press[52]研究了證券價格的復(fù)合事件模型的問題，其中對數(shù)價格被假定是獨立的并且是服從泊松分布的，跳躍幅度符合對數(shù)正態(tài)分布；Hanson等[53]研究了關(guān)于對數(shù)正跳躍擴散過程的最優(yōu)消費與投資組合控制的問題，在標(biāo)的股票滿足幾何跳擴散過程，以及在滿足消費和終端財富最大化效用的情形下，得出了最優(yōu)消費和投資組合策略的解，其中跳擴散和跳的幅度是滿足對數(shù)正態(tài)分布的；費為銀等[54]研究了跳風(fēng)險和通脹因素對投資者的資產(chǎn)配置的影響，在滿足通脹貼現(xiàn)后終端財富效用最大化的情形下，得出最優(yōu)的資產(chǎn)配置策略，最后對結(jié)果進行了數(shù)值分析；Mi等[55]研究了在跳擴散模型下的損失厭惡投資者的動態(tài)資產(chǎn)配置問題，并且將動態(tài)最優(yōu)投資組合問題轉(zhuǎn)化為終端財富的靜態(tài)優(yōu)化問題，首先求解最優(yōu)終端財富，然后利用鞅表示方法得到了最優(yōu)財富過程和投資策略.

通過上述文獻的分析，發(fā)現(xiàn)跳風(fēng)險會影響投資者的投資在風(fēng)險資產(chǎn)的價格，進而影響最優(yōu)的資產(chǎn)配置策略，最后可能會影響損失厭惡投資者的消費情況，所以在模型中考慮跳因素的影響是符合實際的.

23Knight不確定下帶有損失厭惡的最優(yōu)消費和投資組合

現(xiàn)代金融理論和經(jīng)濟主要研究決策者在面臨不確定性條件下的投資組合選擇的理論，其中不確定包括概率不確定和Knight不確定性兩種情況.由于不完備的信息、不明確的數(shù)據(jù)、不精確的概率等因素引起的不確定稱為Knight不確定.

Knight不確定性在經(jīng)濟學(xué)研究中具有重要意義，越來越多的學(xué)者考慮在Knight不確定情形下研究關(guān)于投資者的最優(yōu)消費和投資組合問題.例如，F(xiàn)ei[56]研究了具有模含糊和預(yù)期的最優(yōu)消費與投資組合選擇問題，其中效用函數(shù)是采用遞推的而且是多先驗的；張慧等[57]研究了Knight不確定環(huán)境對歐式股票期權(quán)的最小定價的影響，在Knight 不確定性的金融市場以及標(biāo)的資產(chǎn)價格過程服從幾何布朗運動的情形下，借助于倒向隨機微分方程以及鞅方法求出了模型的顯式解；韓立巖等[58]在模糊測度的情況下，考慮了Knight不確定的期權(quán)定價問題；Fei[59]研究了在含糊情形下，投資者的最優(yōu)消費-閑暇、投資組合和退休選擇問題，其中效用模型是運用α極大極小期望CES效用；費為銀等[60]研究了Knight不確定環(huán)境下，考慮負(fù)效用的投資者的最優(yōu)消費和投資問題；余敏秀等[61]研究了Markov切換以及在Knight不確定環(huán)境下，投資者的最優(yōu)消費和投資組合問題，并利用鞅方法和對偶理論得到了模型的最優(yōu)解；劉宏建等[62]研究了Knight不確定以及考慮保險和退休的情形下，代理人的最優(yōu)消費-投資和遺產(chǎn)問題，最后在三種不同約束下，得出最優(yōu)的消費和投資組合，并進行了數(shù)值分析.

當(dāng)投資者在面臨Knight不確定性時，為了盡可能做出準(zhǔn)確的投資決策，在研究中考慮風(fēng)險資產(chǎn)價格的波動率具有Knight不確定性是非常重要的.由于GBrown環(huán)境下資產(chǎn)價格的波動率具有Knight不確定性，為此，Peng[63]研究了非線性期望尤其是次線性期望的一些性質(zhì)，得出了在非線性期望下的大數(shù)定律和中心極限定理，并且提出了最大化分布和G標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布以及GBrown運動，研究了G伊藤積分、G鞅、Jensen不等式以及相應(yīng)的隨機微分方程等；Fei等[64]研究了在G布朗運動干擾下的最優(yōu)隨機控制、最優(yōu)消費和投資組合問題，得出了在 GBrown運動下的最大化原理和相應(yīng)的HJB方程以及其在隨機控制、最優(yōu)消費和投資組合方面的應(yīng)用；費為銀等[65]研究了Knight不確定環(huán)境下，帶有高水印的對沖基金管理者的最優(yōu)投資策略，考慮風(fēng)險資產(chǎn)價格具有Knight不確定下，建立了基金管理者的投資模型，由于風(fēng)險資產(chǎn)受到GBrown運動擾動，通過非線性期望的性質(zhì)推導(dǎo)相應(yīng)的GHJB方程，最后得出基金管理者最優(yōu)投資組合策略，并進行了經(jīng)濟分析.

所以，在含有損失厭惡的模型中，考慮風(fēng)險資產(chǎn)價格過程受到GBrown運動擾動，也就是資產(chǎn)價格的波動率具有Knight不確定性，在求解的過程中利用次線性期望的一些性質(zhì)和一些方法來求出模型的解，并分析出Knight不確定對模型的影響以及經(jīng)濟意義，這樣就會使得模型更具有現(xiàn)實意義.

3總結(jié)

首先，本文對現(xiàn)代投資組合理論的發(fā)展及其構(gòu)成進行了簡單的介紹.由于金融市場中投資組合的重要性以及研究的需要，所以關(guān)于投資組合問題引起了國內(nèi)外眾多學(xué)者的興趣.同時，還給出了一些學(xué)者的研究進展.

其次，結(jié)合許多學(xué)者的研究發(fā)現(xiàn)，行為金融是未來發(fā)展的必然趨勢，并且提出了關(guān)于損失厭惡投資者的最優(yōu)消費和投資組合問題，而且詳盡地介紹了國內(nèi)外學(xué)者關(guān)于損失厭惡下的最優(yōu)消費和投資組合的研究現(xiàn)狀.在考慮損失厭惡投資者的最優(yōu)消費和投資組合模型的情形下，利用展望理論給出模型的消費效用函數(shù)以及參考水平的動態(tài)性變化，給出參考水平是內(nèi)生性更新和損失厭惡下的消費與投資組合模型.

最后，考慮在通脹環(huán)境下的損失厭惡投資者的消費和投資組合，分析了國內(nèi)外學(xué)者在通脹環(huán)境下對資產(chǎn)配置的研究，得出在模型中加入通脹因素是比較符合實際的；在分析了跳環(huán)境下的最優(yōu)投資組合和消費的研究現(xiàn)狀后指出，在模型中考慮跳擴散因素是未來研究的方向之一；對在Knight不確定的環(huán)境下投資和消費的問題進行了闡述，得出在Knight不確定的環(huán)境下考慮投資組合和消費是值得研究的問題.所以，分別考慮通脹、跳擴散和Knight不確定三種因素使得模型得出的結(jié)果更具有現(xiàn)實意義.

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