夏衛(wèi)鋒 徐勝元

摘要文章研究了時(shí)滯 Markovian 跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問(wèn)題.首先，運(yùn)用一個(gè)新的積分不等式，得到了保守性更小的穩(wěn)定性判據(jù)；其次，基于此判據(jù)，獲得了一個(gè)狀態(tài)反饋控制器存在的充分條件，使得閉環(huán)系統(tǒng)具有隨機(jī)穩(wěn)定性并滿足擴(kuò)展耗散性；最后，兩個(gè)實(shí)際例子說(shuō)明了設(shè)計(jì)方法的可行性和有效性.關(guān)鍵詞Markovian跳變系統(tǒng)；穩(wěn)定性；鎮(zhèn)定；擴(kuò)展耗散性

中圖分類(lèi)號(hào)TP13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼A

0引言

近年來(lái)，對(duì)Markovian 跳變系統(tǒng)的研究得到了越來(lái)越多的學(xué)者的關(guān)注，這是由于Markovian 跳變系統(tǒng)能夠很好地描述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或參數(shù)突變的現(xiàn)象.目前，Markovian 跳變系統(tǒng)已被用來(lái)描述大量的實(shí)際系統(tǒng)，如金融系統(tǒng)、化學(xué)過(guò)程、電力系統(tǒng)以及飛行器控制系統(tǒng).同時(shí)，由于時(shí)滯現(xiàn)象廣泛存在于實(shí)際系統(tǒng)中，并且往往造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定和性能降低，因此，對(duì)時(shí)滯Markovian跳變系統(tǒng)的研究也吸引著廣大學(xué)者的興趣.文獻(xiàn)[1]通過(guò)引入松弛矩陣變量得到了時(shí)滯Markovian跳變系統(tǒng)的時(shí)滯相依穩(wěn)定性判據(jù)和H∞控制條件；文獻(xiàn)[2]運(yùn)用時(shí)滯分割技術(shù)，研究了時(shí)滯Markovian跳變系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問(wèn)題，同時(shí)得到了比文獻(xiàn)[1]保守性更小的穩(wěn)定性判據(jù)； 文獻(xiàn)[34]通過(guò)構(gòu)造不同的LyapunovKrasovskii函數(shù)，從而進(jìn)一步降低了時(shí)滯Markovian跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)的保守性.由于在解決時(shí)滯Markovian跳變系統(tǒng)時(shí)，往往需要處理含有導(dǎo)數(shù)的積分項(xiàng)，上述文獻(xiàn)主要采用了Jensen不等式或引入松弛矩陣變量的方法.因此，采用新的技術(shù)或比Jensen不等式更精確的估計(jì)不等式來(lái)得到保守性更低的穩(wěn)定性條件一直是研究者努力的方向.本文將利用文獻(xiàn)[5]中的一個(gè)積分不等式，研究時(shí)滯Markovian跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)，并得到一個(gè)具有擴(kuò)展耗散性的鎮(zhèn)定條件.

1問(wèn)題的描述

本文考慮一類(lèi)具有時(shí)滯的線性Markovian跳變系統(tǒng)：

（t）=A（r（t））x（t）+Ad（r（t））x（t-h）+

B（r（t））u（t）+D（r（t））ω（t）， （1）

z（t）=L（r（t））x（t）， （2）

x（t）=φ（t），t∈[-h，0]， （3）

其中x（t）∈Rn是狀態(tài)向量，z（t）∈Rp是控制輸出，u（t）∈Rq是控制輸入，ω（t）∈Rl是外部擾動(dòng)且滿足ω（t）∈L2（0，∞），d>0是常數(shù)時(shí)滯，φ（t）是初始條件，r（t）表示取值于集合S={1，2，…，s}的一個(gè)右連續(xù)Markovian鏈，其生成元矩陣Π=（πij）s×s 為

Pr{r（t+h）=j|r（t）=i}=πijh+ο（h），i≠j，1+πiih+ο（h），i=j，

學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，9（4）：417422Journal of Nanjing University of Information Science and Technology（Natural Science Edition），2017，9（4）：417422

夏衛(wèi)鋒，等.基于積分不等式的時(shí)滯Markovian跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和鎮(zhèn)定.

XIA Weifeng，et al.

Stability analysis and stabilization for Markovian jump system with

time delays via integral inequality.

式中h為時(shí)間增量且limh→0ο（h）h=0.當(dāng)i≠j時(shí)，πij≥0是從模態(tài)i到模態(tài)j的轉(zhuǎn)移速率，其中πii=-∑sj=1，j≠iπij.

為簡(jiǎn)化符號(hào)，當(dāng)r（t）=i∈S時(shí)，記

Ai=A（r（t）），Adi=Ad（r（t）），Bi=B（r（t）），

Di=D（r（t）），Li=L（r（t））.

本文主要考慮系統(tǒng)（1）—（2）的具有如下形式的狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定問(wèn)題：

u（t）=Kix（t）， （4）

其中Ki是狀態(tài)反饋增益矩陣.由（1）和（4）可得閉環(huán)系統(tǒng)為

（t）=（Ai+BiKi）x（t）+Adix（t-h）+Diω（t）. （5）

為了得到本文的主要結(jié)果，引入如下定義和引理：

定義1[1]當(dāng)u（t）=0時(shí)，對(duì)任意有限φ（t）∈Rn和r0∈S，如果

limt→∞ ε∫t0x（t）Tx（t）dt|φ，r0<∞，

則稱Markovian跳變系統(tǒng)（1）是隨機(jī)穩(wěn)定的.

定義2[67]當(dāng)u（t）=0時(shí)，對(duì)給定對(duì)稱矩陣Ψ0≥0，Ψ1≤0，Ψ3>0和任意矩陣Ψ2，滿足（‖Ψ1‖+‖Ψ2‖）‖Ψ0‖=0，如果對(duì)任意tf≥0和ω（t）∈L2（0，∞）有

ε∫tf0J（t）dt-sup0≤t≤tfε{z（t）TΨ0z（t）}≥0， （6）

式中

J（t）=z（t）TΨ1z（t）+2z（t）TΨ2ω（t）+ω（t）TΨ3ω（t），

則稱系統(tǒng)（1）—（2）是擴(kuò)展耗散的.

注1周知，常見(jiàn)的控制系統(tǒng)性能指標(biāo)主要有H∞性能、無(wú)源性（passivity）、 L2-L∞性能和耗散性（dissipativity）等.其中耗散性包含了H∞性能和無(wú)源性，但是無(wú)法包含L2-L∞性能.文獻(xiàn)[6]首次提出了擴(kuò)展耗散性（extended dissipativity）的概念，使得耗散性和L2-L∞性能成為了它的一種特殊情況.這樣就可以在一個(gè)統(tǒng)一的框架下研究耗散性和L2-L∞性能，從而提高了研究效率.

2主要結(jié)論

首先，運(yùn)用引理1中的積分不等式給出下述系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)：

（t）=Aix（t）+Adix（t-h）. （7）

定理1對(duì)給定的h>0，如果存在正定矩陣Pi，Qi，Q，Zi，Z和任意矩陣N1i，N2i，N3i，使得對(duì)任意的i∈S，有下列線性矩陣不等式成立：

∑sj=1πijQj-Q<0， （8）

∑sj=1πijZj-Z<0， （9）

ΩhN1ihN2ihN3i

*-Zi 0 0

* *-3Zi0

* * *-5Zi<0， （10）

其中

Ω=ΠT5iPiΠ4+ΠT4PiΠ5i+ΠT4 ∑sj=1πijPjΠ4+eT1（Qi+

hQ）e1-e2TQie2+ΦTi h2Zi+12h3ZΦi+hsym{N1iΠ1+N2iΠ2+N3iΠ3}，

Π4=eT1，heT3，12h2eT4 T，

Π5=[ΦTi，eT1-eT2，heT3-heT2]T，

Φi=[Ai，Adi，0n，2n]，

則系統(tǒng)（7）是隨機(jī)穩(wěn)定的.

證明設(shè)xt=x（t+σ），-2h≤σ≤0，

v1（t）=∫tt-hx（α）dα，

v2（t）=∫tt-h∫st-hx（α）dαds，

δ（t）=[x（t）T，v1（t）T，v2（t）T]T.

考慮如下LyapunovKrasovskii泛函：

V（xt，r（t），t）=∑3i=1Vi（t）， （11）

其中

V1（t）=δ（t）TPiδ（t），

V2（t）=∫tt-hx（α）TQix（α）dα+∫0-h∫tt+βx（α）TQx（α）dαdβ，

V3（t）=h∫tt-h∫tt+β（α）TZi（α）dαdβ+h∫tt-h∫0σ∫tt+β（α）TZ（α）dαdβdσ.

設(shè)

ξ（t）=x（t）T，x（t-h）T，1hv1（t）T，2h2v2（t）TT，

F表示隨機(jī)過(guò)程{r（t），t}的無(wú)窮小算子，則對(duì)（11）求無(wú)窮小算子得

FV1（t）=2δ（t）TPiδ（t）+δ（t）T∑sj=1πijPjδ（t）=

ξ（t）TΠT5iPiΠ4+ΠT4PiΠ5i+

ΠT4 ∑sj=1πijPjΠ4ξ（t）. （12）

FV2（t）=x（t）TQix（t）-x（t-h）TQix（t-h）+

∫tt-hx（α）T∑sj=1πijQjx（α）dα+hx（t）TQx（t）-

∫tt-hx（α）TQx（α）dα=

x（t）T（Qi+hQ）x（t）-x（t-h）TQx（t-h）

+

∫tt-hx（α）T∑sj=1πijQj-Qx（α）dα. （13）

FV3（t）=h2（t）TZi（t）-h∫tt-h（α）TZi（α）dα+

h∫0-h∫tt+β（α）T∑sj=1πijZj（α）dαdβ+

12h3（t）TZ（t）-h∫0-h∫tt+β（α）TZ（α）dαdβ=

（t）Th2Zi+12h3Z（t）-h∫tt-h（α）TZi（α）dα+

h∫0-h∫tt+β（α）T∑sj=1πijZj-Z（α）dαdβ. （14）

由式（8）和（13）得

FV2（t）≤x（t）T（Qi+hQ）x（t）-x（t-h）TQx（t-h）=

ξ（t）T[eT1（Qi+hQ）e1-eT2Qie2]ξ（t）. （15）

根據(jù)式（9）和式（15），以及引理1得

FV3（t）≤ξ（t）TΦTi h2Zi+12h3ZΦi+

h2N1iZ-1i NT1i+13N2iZ-1i NT2i+15N3iZ-1iNT3i +

hsym{N1iΠ1+N2iΠ2+N3iΠ3}ξ（t）. （16）

由式（12），（15）和（16）得

FV（xt，i，t）≤ξ（t）Tξ（t），（17）

其中

=ΠT5iPiΠ4+ΠT4PiΠ5i+ΠT4 ∑sj=1πijPjΠ4+

eT1（Qi+hQ）e1-eT2Qie2+ΦiTh2Zi+12h3ZΦi+

h2N1iZ-1iNT1i+13N2iZ-1iNT2i+15N3Z-1iNT3i +

hsym{N1iΠ1+N2iΠ2+N3iΠ3}.

對(duì)矩陣不等式（10）運(yùn)用Schur補(bǔ)引理可得<0，即FV（xt，i，t）<0.運(yùn)用類(lèi)似與文獻(xiàn)[1]中的方法可證得系統(tǒng)（7）是隨機(jī)穩(wěn)定的.證畢.

下面的定理2給出了系統(tǒng)（1）—（2）具有擴(kuò)展耗散性的隨機(jī)穩(wěn)定性判據(jù).

定理2對(duì)給定的h>0和常數(shù)矩陣Ψ0≥0，Ψ1≤0，Ψ3<0以及Ψ2，滿足（‖Ψ1‖+‖Ψ2‖）‖Ψ0‖=0，如果存在正定矩陣Pi，Qi，Q，Zi，Z和任意矩陣N1i，N2i，N3i，對(duì)任意的i∈S，使得下列線性矩陣不等式以及式（8）—（9）成立：

則系統(tǒng)（1）—（2）是隨機(jī)穩(wěn)定的且滿足擴(kuò)展耗散性.

證明采用相同的LyapunovKrasovskii泛函（11），沿著系統(tǒng)（1）—（2）的軌跡求無(wú)窮小算子，并運(yùn)用完全類(lèi)似于定理1的證明可得

FV（xt，i，t）-J（t）=ξ（t）ω（t）T1iΓ2i*Γ3iξ（t）ω（t）， （20）

其中

1i=Γ1i+h2N1iZ-1iNT1i+13N2iZ-1iNT2i+15N3iZ-1iNT3i .

對(duì)式（19）運(yùn)用Schur補(bǔ)引理可得1iΓ2i*Γ3i<0，即FV（xt，i，t）-J（t）<0.從而可以斷定必存在一個(gè)標(biāo)量λ>0，使得

FV（xt，i，t）-J（t）≤-λ|x（t）|2， （21）

從而有J（t）>FV（xt，i，t），故對(duì)任意t≥0，運(yùn)用Dynkin公式可得

ε∫t0J（α）dα≥ε{V（xt，r（t），t）}-V（x0，r0，0）.

對(duì)式（18）運(yùn)用Schur補(bǔ)引理可得

T1Pi1>LTiΨ0Li，

考慮到零初始條件可得

ε∫t0J（α）dα≥ε{δ（t）TPiδ（t）}≥ε{z（t）TΨ0z（t）}. （22）

下面分兩種情形證明系統(tǒng)（1）—（2）滿足擴(kuò)展耗散性，即不等式（6）成立.

情形1：‖Ψ0‖=0.由式（22）可知不等式（6）自然成立.

情形2：‖Ψ0‖≠0.由條件（‖Ψ1‖+‖Ψ2‖）‖Ψ0‖=0可知Ψ1=0和Ψ2=0.注意到

Ψ3>0，從而有J（α）=ω（α）TΨ3ω（α）≥0.再結(jié)合式（22）可得

ε∫tf0J（α）dα≥ε∫t0J（α）dα≥ε{z（t）TΨ0z（t）}≥0

對(duì)所有的tf>t>0成立.

綜合情形1和情形2，以及定義2可知，系統(tǒng)（1）—（2）滿足擴(kuò)展耗散性.

最后，我們證明當(dāng)ω（t）=0時(shí)系統(tǒng)（1）—（2）是隨機(jī)穩(wěn)定的.此時(shí)，J（t）=z（t）TΨ1z（t）≤0，由式（21）可得

FV（xt，i，t）≤-λ|x（t）|2.

運(yùn)用類(lèi)似與文獻(xiàn)[1]的方法可以證明系統(tǒng)（1）—（2）是隨機(jī)穩(wěn)定的，證畢.

定理3對(duì)給定的h>0和常數(shù)矩陣Ψ0≥0，Ψ1≤0，Ψ3<0以及Ψ2，滿足

（‖Ψ1‖+‖Ψ2‖）‖Ψ0‖=0，

如果存在正定矩陣Xi，i=Xiρ1iXiρ2iXi

ρ1iXi2i3iρ2iXiT3i4i，i，，i，和任意矩陣1i，2i，3i，Yi，標(biāo)量ρ1i，ρ2i，對(duì)任意的i∈S，使得下列線性矩陣不等式成立：

此時(shí)，所求的狀態(tài)反饋增益矩陣Ki可表示為

Ki=YiX-1i.

證明不妨假設(shè)P1i>0，構(gòu)造定理2中的

Pi=P1iρ1iP1iρ2iP1i

ρ1iP1iP2iP3i

ρ2iP1iPT3iP4i>0，

令P-11i=1i=Xi，XiP2iXi=2i，XiP3iXi=3i，XiP4iXi=4i，XiQiXi=i，XiZiXi=i，Q-1=，Z-1=，對(duì)Pi施行合同變換diag（Xi，Xi，Xi）得到

i=Xiρ1iXiρ2iXiρ1iXi2i3i

ρ2iXiT3i4i>0.

對(duì)不等式（8），（9），（18）分別施行合同變換Xi，Xi和diag（Xi，I），并結(jié)合Schur補(bǔ)引理可得等價(jià)不等式（23），（24）和（25）.同理，對(duì)（19）運(yùn)用Schur補(bǔ)引理，并施行類(lèi)似合同變換可得（26）.證畢.

3仿真算例

例1考慮具有如下參數(shù)的時(shí)滯Markovian 跳變系統(tǒng)（7）：

假定π22=-08，對(duì)于不同的π11值，通過(guò)解定理1中線性矩陣不等式（8）—（10）可得到保證系統(tǒng)（7）隨機(jī)穩(wěn)定的時(shí)滯上界最大允許值hmax.表1比較了已有文獻(xiàn)[12，4]結(jié)果與本文定理1得到的hmax，從表1中可以看出定理1的穩(wěn)定性條件比文獻(xiàn)[12，4]具有較小的保守性.

例2考慮具有如下參數(shù)的時(shí)滯Markovian跳變系統(tǒng)（1）—（2）：

取初始條件為φ（t）=[-02，02]，外部擾動(dòng)為（t）=07（sin t）e-02t，圖1 給出了開(kāi)環(huán)系統(tǒng)（1）的狀態(tài)響應(yīng)，圖2和圖3分別是滿足L2-L∞性能和耗散性的閉環(huán)狀態(tài)響應(yīng).仿真結(jié)果也驗(yàn)證了本文方法的可行性.

4結(jié)論

本文研究了時(shí)滯Markovian跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問(wèn)題，利用文獻(xiàn)[5]的一個(gè)精確積分不等式，得到了保守性較小的穩(wěn)定性判據(jù).基于此穩(wěn)定性判據(jù)，設(shè)計(jì)了一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)同時(shí)滿足隨機(jī)穩(wěn)定性和擴(kuò)展耗散性.仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)方法的可行性和有效性.

參考文獻(xiàn)

References

[1]Xu S Y，Lam J，Mao X R.Delaydependent H∞ control and filtering for uncertain Markovian jump systems with timevarying delays[J].IEEE Transactions on Circuits & Systems I：Regular Papers，2007，54（9）：20702077

[2]Fei Z Y，Gao H J，Shi P.New results on stabilization of Markovian jump systems with delay[J].Automatica，2009，45（10）：23002306

[3]Zhao X D，Zeng Q S.Delaydependent H∞ performance analysis and filtering for Markovian jump systems with interval timevarying delays[J].International Journal of Adaptive Control & Signal Process，2010，24（8）：633642

[4]Zhang B Y，Zheng W X，Xu S Y.On robust H∞ filtering of uncertain Markovian jump timedelay systems[J].International Journal of Adaptive Control & Signal Process，2012，26（2）：138157

[5]Zeng H B，He Y，Wu M，et al.New results on stability analysis for systems with discrete distributed delay[J].Automatica，2015，60：189192

[6]Zhang B Y，Zheng W X，Xu S Y.Filtering of Markovian jump delay systems based on a new performance index[J].IEEE Transactions on Circuits & Systems I：Regular Papers，2013，60（5）：12501263

[7]Feng Z G，Zheng W X.On extended dissipativity of discretetime neural networks with times delay[J].IEEE Transactions on Neural Networks & Learning Systems，2015，26（12）：32933300

[8]Gu K.An integral inequality in the stability problem of timedelay systems[C]∥Proceedings of the 39th IEEE Conference on Decision Control，2000，3：28052810

[9]Seuret A，Gouaisbaut F.Wirtingerbased integral inequality：Application to timedelay systems[J].Automatica，2013，49（9）：28602866