陳海洋 劉妹琴

摘要本文研究了一類具有隨機時滯的受擾馬爾科夫跳變線性系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性問題.通過引入服從伯努利分布的隨機變量刻畫了時滯變化的隨機特性.本文首先分析了系統(tǒng)的隨機有限時間穩(wěn)定性，基于分析結(jié)果設(shè)計了反饋控制器，使得系統(tǒng)狀態(tài)在馬爾科夫跳變、隨機時滯和外界擾動等并存時，在給定時間內(nèi)收斂于某一區(qū)域而不超過指定的上界值，并可獲得該上界的具體值.最后通過數(shù)值仿真驗證了所提算法的有效性.關(guān)鍵詞馬爾科夫跳變系統(tǒng)；隨機控制；隨機時滯；線性反饋；有限時間穩(wěn)定性

中圖分類號TP13

文獻標志碼A

0引言

近幾年來，有限時間控制在工程實踐中得到越來越多的應(yīng)用，比如切換系統(tǒng)的控制[1]、馬爾科夫跳變系統(tǒng)控制[2]、奇異系統(tǒng)的控制[3]等.相較于漸近穩(wěn)定特性，對于許多工業(yè)應(yīng)用系統(tǒng)，諸如飛行器的姿態(tài)控制、化學反應(yīng)的溫度控制、導(dǎo)彈跟蹤控制等而言，我們更加關(guān)注其瞬態(tài)特性的變化情況，即某段時間的系統(tǒng)特性，而有限時間穩(wěn)定性（FiniteTime Stability，F(xiàn)TS）則可以很好地對此進行衡量.具體來說，在給定初始條件下，如果系統(tǒng)狀態(tài)在給定時間內(nèi)始終沒有超出某一指定值，則稱該系統(tǒng)是FTS[46].

目前在有限時間控制的研究中，針對馬爾科夫跳變系統(tǒng)的成果越來越多.作為一種特殊

的混雜系統(tǒng)，馬爾科夫跳變系統(tǒng)在描述具有突變模式的系統(tǒng)如化工系統(tǒng)、制造系統(tǒng)、經(jīng)濟系統(tǒng)等中彰顯了強大的建模能力.而所謂的模式突變則往往來源于系統(tǒng)元件的失效、環(huán)境的突變、系統(tǒng)工作點的波動等[79].對馬爾科夫跳變系統(tǒng)而言，其跳變模式隸屬于一個有限的模式集合并隨著時間變化在各個模式之間以一定的概率切換，這個切換的概率就稱為模式轉(zhuǎn)換概率.

考慮到信息傳遞速度的有限性，時滯廣泛存在于實際系統(tǒng)中，并會導(dǎo)致系統(tǒng)相關(guān)控制性能的下降甚至是系統(tǒng)本身的不穩(wěn)定.在公開文獻中，研究人員通常會將時滯當成確定值來處理，而實際上時變的時滯更為常見.正如文獻[10]中所指出的，時滯甚至是以一種隨機的方式在變化，當然這并不是說時滯完全無法建模，其概率特性仍然可以通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)獲得.本文考慮的就是這樣一種隨機時滯，通過引入服從伯努利分布的隨機變量進行建模.需要說明的是，盡管針對具有隨機時滯的系統(tǒng)控制研究已經(jīng)有了很多成果[10-13]，但這些研究絕大多數(shù)集中在系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定特性上，對其有限時間穩(wěn)定性的關(guān)注還比較少.而有限時間穩(wěn)定性，如前文所述，對研究許多重要工業(yè)控制系統(tǒng)的瞬時特性具有重要作用.

綜上所述，本文將主要研究一類具有隨機時滯的受擾馬爾科夫跳變系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定問題.通過設(shè)計線性狀態(tài)反饋控制器，使得受控系統(tǒng)在給定時間內(nèi)克服馬爾科夫跳變、隨機時滯和擾動的影響，并穩(wěn)定在某一區(qū)域內(nèi).

學報（自然科學版），2017，9（4）：430436Journal of Nanjing University of Information Science and Technology（Natural Science Edition），2017，9（4）：430436

陳海洋，等.一類具有隨機時滯的受擾馬爾科夫跳變系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性.

CHEN Haiyang，et al.

Finitetime stability for a kind of Markovian jump systems subject to

random delays and external disturbances.

說明大寫字母T表示矩陣轉(zhuǎn)置，l2[0，∞）表示平方可積向量空間，Rn表示n維歐幾里得空間，Rn×m表示n×m實矩陣集合，I表示相應(yīng)

階數(shù)的單位矩陣，*表示對稱部分，diag{…}表示塊對角矩陣，‖x‖表示向量x的歐幾里得范數(shù)，X>Y和X≥Y分別表示X-Y是正定和半正定的.如果X∈Rp，Y∈Rq，那么C（X；Y）表示所有滿足映射Rp→Rq的連續(xù)函數(shù)的空間，E{x}表示x的期望值，E{x|y}表示y條件下x的期望值，Pr{·}表示事件·的概率，Pr{A|B}表示B條件下A事件發(fā)生的概率，λ（·）表示矩陣·的所有特征值.

1問題描述與預(yù)備知識

本文考慮如下馬爾科夫跳變線性系統(tǒng)：

x（k+1）=A（rk）x（k）+∑qυ=1βυ（k）Ad（rk）x（k-τυ（k））+

Bw（rk）w（k）+Bu（rk）u（k）， （1）

其中，x（k）∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)，τυ（k）∈[τm，τM]（τM>τm≥0）為隨機時滯，u（k）∈Rm為控制輸入，w（k）為外界擾動，A（rk）∈Rn×n，Ad（rk）∈Rn×n，Bw（rk）∈Rn×L，Bu（rk）∈Rn×m均為已知的模式依賴矩陣，rk表示離散馬爾科夫鏈，其取值的數(shù)值集合為V={1，2，…，s}，模式的轉(zhuǎn)移概率表示為

Pr{rk+1=j|rk=i}=μij，i，j∈V， （2）

其中，0≤μij≤1，∑sj=1μij=1，i∈V.初始條件函數(shù)定義為x（k）=（k），k∈[-τM，0]，其中（k）為[-τM，0]上的給定函數(shù).

11隨機時滯

我們將時滯[τm，τM]分成（不必等分）q個部分，即[τm，1]，（τ2，2]，…，（τυ，υ]，…，（τq，τM]，

其中，τ1=τm，υ=τυ+1，q=τM，υ=1，2，…，q，q稱為時滯分割數(shù).

為了便于理解，我們引入如下標記：

Ξ1={k|τ（k）∈[τm，1]}，

Ξ2={k|τ（k）∈（τ2，2]}，

Ξυ={k|τ（k）∈（τυ，υ]}，

Ξq={k|τ（k）∈（τq，τM]}， （3）

并定義相應(yīng)的映射關(guān)系如下：

τ1（k）=τ（k）， k∈Ξ1，τm， 其他，

τυ（k）=τ（k）， k∈Ξυ， τυ， 其他，υ=2，3，…，q， （4）

即引入q個隨機變量βυ（k），υ=1，2，…，q，其概率密度函數(shù)δυ（k）為定義在區(qū)間[0，1]上的函數(shù)，且對應(yīng)的期望值和方差分別為i和2i.顯然，

Pr{βυ（k）=1}=υ且∑qυ=1υ=1.

12范數(shù)有界的擾動

我們假定外界擾動w是歐幾里得范數(shù)有界，并且滿足：

‖wg（k）‖≤g，k=1，…，N，g=1，…，L， （5）

其中w（k）∈l2[0，∞），0為了簡化表示，我們將Q（rk）表示為Qi，A（rk）表示為Ai，rk=i，i∈V，以此類推.則可得簡化表示后的系統(tǒng)（1）為

x（k+1）=Aix（k）+∑qυ=1βυ（k）Adix（k-τυ（k））+

Bwiφ（k）+Buiu（k）. （6）

本文中出現(xiàn)的描述時滯隨機性和馬爾科夫跳變的兩個隨機過程是相互獨立的.

定義1（隨機有限時間穩(wěn)定性）給定參數(shù)0≤c1≤β，Ri>0，i∈V，N∈N0和最大時滯值τM，如果滿足如下條件：

E{T（k0）Ri（k0）}≤c21，k0∈[-τM，0]

E{xT（k）Rix（k）}≤β2，k=1，…，N， （7）

則稱系統(tǒng)（1）是關(guān)于（c1，β，Ri，N）隨機有限時間穩(wěn)定的.

這里我們采用線性反饋設(shè)計法進行隨機有限時間穩(wěn)定的分析與綜合，即設(shè)計如下控制器：

u（k）=Kix（k）. （8）

將式（8）代入系統(tǒng)（6）中可得如下方程式：

x（k+1）=ix（k）+∑qυ=1Adi（βυ（k）-υ）x（k-τυ（k））+

∑qυ=1Adiυx（k-τυ（k））+Bwiw（k）， （9）

其中，i=Ai+BuiKi.系統(tǒng)（9）即為后續(xù)工作的研究對象.

2隨機有限時間穩(wěn)定的性能分析

本節(jié)主要給出了閉環(huán)反饋系統(tǒng)（9）實現(xiàn)隨機有限時間穩(wěn)定性能的充分條件，并進行了相應(yīng)的證明.

定理1給定Ri>0，N∈N0，d>0，0

綜合運用式（11）、（21）以及如下關(guān)系式：

E{xT（k）Rix（k）}≤c21，k∈[-τM，0]， （22）

可得：

E{V（k）}≤+αNσ-11 c21+σ-12 τmc21+

σ-13 （τM-τm）c21+σ-14 ∑qυ=1τυ+

（τυ+1+υ）（υ-τυ）2c21 . （23）

注意以下事實：

E{V（k）}≥λminR-12iPiR-12i E{xT（k）Rix（k）}， （24）

所以

E{xT（k）Pix（k）}≤λ-1min R-12iPiR-12i E{V（k）}. （25）

考慮1≥λ-1minR-12iPiR-12i ，式（23）和式（25）可得：

E{xT（k）Pix（k）}

≤+αNσ-11 c21+σ-12 τmc21+

σ-13 （τM-τm）c21+σ-14 ∑qυ=1τυ+

（τυ+1+υ）（υ-τυ）2c21 .（26）

由式（12）可得E{xT（k）Rix（k）}≤β2.根據(jù)定義1，定理得證.

3隨機有限時間穩(wěn)定的控制器設(shè)計

基于定理1，定理2給出了控制器參數(shù)所滿足的條件.

定理2給定Ri>0，N∈N0，d>0，00，σ2>0，σ3>0，σ4>0，對稱正定矩陣Xi，Y1i，Y2i，Σi滿足以下線性矩陣不等式（LMIs）條件：

則稱系統(tǒng)（9）關(guān)于（c1，β，Ri，N）是隨機有限時間穩(wěn)定的，并且控制器的增益為

Ki=WiX-1i.（30）

證明通過必要的數(shù)學計算可得：

Di

5結(jié)束語

本文針對一類具有隨機時滯和范數(shù)有界擾動的馬爾科夫跳變系統(tǒng)，在分析其有限時間隨機穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，設(shè)計了相應(yīng)的控制器，控制器的參數(shù)可通過凸優(yōu)化算法及相關(guān)軟件求出.此外，該算法進一步推導(dǎo)給出了系統(tǒng)狀態(tài)值的上界，直觀揭示了系統(tǒng)狀態(tài)值與初始條件、時間區(qū)間長度、時滯以及擾動范數(shù)之間的關(guān)系，為控制器的設(shè)計提供了可操作性的指導(dǎo).仿真結(jié)果表明，控制器有效處理了系統(tǒng)隨機時滯和范數(shù)有界擾動所帶來的不確定性，實現(xiàn)了馬爾科夫跳變系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定.

參考文獻

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