盧劍權(quán) 李海濤 劉洋 李芳菲

摘要本文介紹了近期關(guān)于邏輯網(wǎng)絡(luò)及其應(yīng)用的一些最近的結(jié)果，包括邏輯網(wǎng)絡(luò)的背景、矩陣半張量積（STP）的新矩陣乘積的理論、邏輯網(wǎng)絡(luò)的一些基本研究以及一些當(dāng)前的重要工作.特別介紹了邏輯網(wǎng)絡(luò)的一些基本問(wèn)題，比如可控性、可觀性、穩(wěn)定性、鎮(zhèn)定、同步、最優(yōu)控制以及擾動(dòng)解耦等.由于在處理邏輯網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題方面具有很大的潛力和優(yōu)勢(shì)，STP方法被海內(nèi)外很多學(xué)者關(guān)注并將其用于相關(guān)問(wèn)題的研究.目前，一些新的領(lǐng)域被廣泛研究，包括牽引控制、函數(shù)擾動(dòng)、系統(tǒng)解耦、輸出追蹤、符號(hào)動(dòng)力學(xué)等.本文主要對(duì)基于STP方法研究邏輯網(wǎng)絡(luò)以及STP方法的其他相關(guān)應(yīng)用進(jìn)行了綜述.關(guān)鍵詞矩陣半張量積；邏輯網(wǎng)絡(luò)；布爾網(wǎng)絡(luò)

中圖分類號(hào)TP13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼A

0邏輯網(wǎng)絡(luò)的背景介紹

01引言

邏輯網(wǎng)絡(luò)是一種離散時(shí)間非線性系統(tǒng)，它的狀態(tài)、輸入和輸出都只能取有限值.邏輯網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的主要特點(diǎn)是無(wú)參數(shù)的，因此邏輯網(wǎng)絡(luò)可以用來(lái)對(duì)大規(guī)模系統(tǒng)進(jìn)行建模和分析.邏輯網(wǎng)絡(luò)在系統(tǒng)生物學(xué)[1]、博弈論[2]、數(shù)字電路[3]、模糊控制[4]、有限自動(dòng)機(jī)[5]、信息安全[6]等方面都有著廣泛的應(yīng)用.

當(dāng)狀態(tài)、輸入和輸出都只能取兩個(gè)值的時(shí)候，邏輯網(wǎng)絡(luò)就是布爾網(wǎng)絡(luò).布爾網(wǎng)絡(luò)是在1969年第一次由Kauffman提出的，并被用于研究基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)[1].自此，布爾網(wǎng)絡(luò)引起了很多學(xué)者的研究興趣.在2002年，Shmulevich等[7]為了對(duì)基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的不確定性進(jìn)行建模，將確定性布爾網(wǎng)絡(luò)推廣了到概率布爾網(wǎng)絡(luò).最近的一些工作研究了布爾網(wǎng)絡(luò)帶有其他特性的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，包括時(shí)滯、脈沖效應(yīng)、切換現(xiàn)象、奇異結(jié)構(gòu)以及異步行為[827].

在已有文獻(xiàn)中，存在幾種不同的方法來(lái)表征布爾網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)行為.例如，計(jì)算代數(shù)幾何方法在文獻(xiàn)[28]中被用來(lái)識(shí)別吸引子；文獻(xiàn)[2930]提出了利用符號(hào)動(dòng)力學(xué)的方法來(lái)研究布爾網(wǎng)絡(luò)；文獻(xiàn)[89]提出了一種新的矩陣乘法，即半張量積（STP），這種新的矩陣乘法可以將布爾網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等價(jià)的代數(shù)形式的離散時(shí)間線性系統(tǒng)，與計(jì)算代數(shù)幾何方法和符號(hào)動(dòng)力學(xué)方法相比較，STP方法在研究布爾網(wǎng)絡(luò)的控制問(wèn)題以及其他問(wèn)題上更加方便和系統(tǒng).

通過(guò)利用STP方法，人們研究了布爾網(wǎng)絡(luò)的一些理論問(wèn)題，包括穩(wěn)定性[15，3139]、鎮(zhèn)定性[4054]、可控性[1314，25，5571]、可觀性[7283]、擾動(dòng)解耦[8488]、同步[1012，89107]、輸出跟蹤[108112]、故障檢測(cè)[113115]、分解[116120]、魯棒控制[121122]和最優(yōu)控制[123133]等問(wèn)題.基于STP方法研究布爾控制網(wǎng)絡(luò)的一些結(jié)果請(qǐng)參照文獻(xiàn)[134136].然而，文獻(xiàn)[137]證明了布爾網(wǎng)絡(luò)的控制問(wèn)題是一個(gè)NP困難問(wèn)題，這意味著不能建立一個(gè)多項(xiàng)式算法去研究布爾網(wǎng)絡(luò)的控制問(wèn)題.因此，如何降低現(xiàn)有算法的計(jì)算復(fù)雜度是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題.在文獻(xiàn)[138139]中，Zhao等提出了一種聚合算法來(lái)研究大規(guī)模的布爾網(wǎng)絡(luò)；在文獻(xiàn)[140]中，Li等通過(guò)利用邏輯矩陣分解的方法去尋找大規(guī)模布爾網(wǎng)絡(luò)的吸引子；Meng

學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，9（4）：341364 Journal of Nanjing University of Information Science and Technology（Natural Science Edition），2017，9（4）：341364

盧劍權(quán)，等.矩陣半張量積方法在邏輯網(wǎng)絡(luò)和相關(guān)系統(tǒng)中的應(yīng)用綜述.

LU Jianquan，et al.

A survey on the applications of semitensor product of matrices on

logical networks and other related systems

.

等[141]研究了基于l1增益布爾網(wǎng)絡(luò)的模型降階問(wèn)題.

STP方法也被用于分析和控制多值邏輯網(wǎng)絡(luò)和混合值邏輯網(wǎng)絡(luò)[142146].Zhao等[147]提出了一種用于研究多值邏輯網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)控制的有效方法；文獻(xiàn)[148]利用STP方法和符號(hào)動(dòng)力學(xué)方法研究了高階k值邏輯控制網(wǎng)絡(luò)的可逆性；文獻(xiàn)[149]研究了多值邏輯網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定性；文獻(xiàn)[150154]研究了混合值邏輯網(wǎng)絡(luò)的可達(dá)性、干擾解耦和最優(yōu)控制問(wèn)題；文獻(xiàn)[127，155157]分析了相同層次混合值邏輯控制網(wǎng)絡(luò)的可控性和同步性；文獻(xiàn)[158]研究了奇異混合值邏輯網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和最優(yōu)控制問(wèn)題；文獻(xiàn)[159]提出了關(guān)于混合值邏輯網(wǎng)絡(luò)的反饋?zhàn)顑?yōu)方法；隨機(jī)邏輯動(dòng)力系統(tǒng)的最優(yōu)控制方法在文獻(xiàn)[160]中被提出.

此外，STP方法在圖的著色問(wèn)題[161163]、非線性反饋移位寄存器[6，164167]、有限自動(dòng)機(jī)[5，168169]、網(wǎng)絡(luò)演化博弈[2，170177]、模糊控制[4，178180]和數(shù)字電路[3，181]等方面都有著廣泛的應(yīng)用.

本文旨在介紹最近的一些關(guān)于邏輯網(wǎng)絡(luò)的研究以及邏輯網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用.本文余下的內(nèi)容安排如下：在第1章中回顧了STP的一些基礎(chǔ)知識(shí)；在第2章中回顧了布爾（控制）網(wǎng)絡(luò)的一些基本研究；在第3章中介紹了關(guān)于廣義布爾（控制）網(wǎng)絡(luò)的一些研究結(jié)果；在第4章綜述了一些當(dāng)前的研究工作；在第5章中介紹了關(guān)于邏輯網(wǎng)絡(luò)的一些應(yīng)用，并做了對(duì)本文簡(jiǎn)短的總結(jié).

02應(yīng)用

這一小節(jié)主要介紹STP在邏輯網(wǎng)絡(luò)中的一些應(yīng)用.

1）網(wǎng)絡(luò)演化博弈是同時(shí)結(jié)合博弈動(dòng)態(tài)演化和網(wǎng)絡(luò)的博弈.Cheng等[2]提出了一個(gè)用于對(duì)網(wǎng)絡(luò)演化博弈建模、分析和控制的廣義框架，這個(gè)框架被用于網(wǎng)絡(luò)演化博弈的演化的穩(wěn)定策略分析[177]；Guo等[176]基于STP方法并利用“近視最佳反應(yīng)調(diào)整”規(guī)則建立了一類演化網(wǎng)絡(luò)博弈的代數(shù)公式；Zhao等研究了帶有切換拓?fù)鋄174]、帶有隨機(jī)入口[175]和帶有時(shí)滯[173]的網(wǎng)絡(luò)演化博弈的最優(yōu)控制問(wèn)題；Zhu等[172]提出了對(duì)于網(wǎng)絡(luò)智能電網(wǎng)的需求方管理和控制問(wèn)題的一個(gè)演化博弈理論框架.

2）反饋移位寄存器是一種被廣泛用于產(chǎn)生偽隨機(jī)序列的裝置，并且在錯(cuò)誤檢測(cè)、校正編碼和密碼系統(tǒng)中都有著廣泛的應(yīng)用.文獻(xiàn)[167]基于STP方法研究了非線性反饋移位寄存器的穩(wěn)定性，并且提出了關(guān)于非線性反饋移位寄存器的全局穩(wěn)定和局部穩(wěn)定的充要條件；Liu等[181]通過(guò)利用STP方法研究了多值反饋移位寄存器的非奇異性和循環(huán)合成問(wèn)題；Laschov等[182]利用PerronFrobenius理論研究了布爾控制網(wǎng)絡(luò)的可控性，并且提出了基于STP方法對(duì)于兩種不同形式的可控成立的充要條件.

3）數(shù)字電路的故障檢測(cè)在控制和電路領(lǐng)域中是一個(gè)非常重要的問(wèn)題.Li等[3]利用STP方法研究了計(jì)算組合電路的布爾導(dǎo)數(shù)和故障檢測(cè)問(wèn)題，得到了所有錯(cuò)誤檢測(cè)的測(cè)試矢量；Liu等[181]將這種方法推廣到多值邏輯函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算和數(shù)字電路的故障檢測(cè).

4）自動(dòng)機(jī)和Petri網(wǎng)構(gòu)可以被用于對(duì)離散事件系統(tǒng)的建模、分析和控制.Xu等[5]提出了基于矩陣方法的有限自動(dòng)機(jī)，并且提出了充要條件去判斷有限自動(dòng)機(jī)是否具有可達(dá)性；文獻(xiàn)[169]利用STP方法研究了異步順序機(jī)的模型匹配問(wèn)題；文獻(xiàn)[168]利用STP方法去計(jì)算Petri網(wǎng)的虹吸以及最小虹吸.

5）STP方法也被應(yīng)用于模糊系統(tǒng)領(lǐng)域中.Cheng等[4]利用STP的方法求解模糊關(guān)系方程；Li等[178]提出了一種矩陣方法去解決具有模糊管子不等式約束的網(wǎng)格線性規(guī)劃；段培永等[180]基于STP方法來(lái)利用模糊關(guān)系矩陣對(duì)一個(gè)關(guān)于室內(nèi)熱舒適的控制系統(tǒng)進(jìn)行建模.

6）圖的著色問(wèn)題被廣泛地應(yīng)用于許多現(xiàn)實(shí)生活領(lǐng)域，例如工程調(diào)度和登記空中交通流量管理.Wang等[161]利用STP方法研究了圖的頂點(diǎn)著色問(wèn)題中的最大（總量）穩(wěn)定集；Zhong等[163]應(yīng)用STP方法找到了圖的最小穩(wěn)定集和核；Meng等[162]將文獻(xiàn)[161]中的方法推廣研究了超圖的穩(wěn)定集和著色問(wèn)題.

此外，STP方法也已經(jīng)被應(yīng)用于其他研究領(lǐng)域，例如系統(tǒng)生物學(xué)[183]、IC發(fā)動(dòng)機(jī)中的殘余廢氣系數(shù)[184]、交通問(wèn)題、并聯(lián)混合動(dòng)力電動(dòng)車[179]以及數(shù)字控制系統(tǒng)等.

1矩陣半張量積（STP）理論

11矩陣半張量積

STP是由程代展教授等[8]提出的一種新的矩陣乘積，并且STP已經(jīng)被驗(yàn)證是處理有限值系統(tǒng)的一種方便的工具.事實(shí)上，矩陣的STP乘積是傳統(tǒng)矩陣乘積的一般化.與傳統(tǒng)矩陣乘積不同的是，STP在處理矩陣乘積時(shí)，并不需要滿足矩陣乘積的維度匹配條件.關(guān)于STP的詳細(xì)內(nèi)容可以參考文獻(xiàn)[8].在介紹STP之前，一些基本的符號(hào)列舉如下：

1）D：邏輯域{0，1}；

2）Α：集合A的基數(shù)；

3）R：所有實(shí)數(shù)的集合；

4）N+：所有正整數(shù)的集合；

5）N：所有非負(fù)正整數(shù)的集合；

6）Mm×n：所有m×n維實(shí)數(shù)矩陣；

7）δin：?jiǎn)挝痪仃嘔n的第i列；Δn={δ1n，δ2n，…，δnn}表示矩陣In的所有列的集合；

8）coli（A）（rowi（A））：矩陣A的第i列（行），col（A）（row（A））：矩陣A所有的列集合（行集合）；

9）如果一個(gè)矩陣L=δi1n，…，δisn，L就被稱為邏輯矩陣，并且可以表示成L=δni1，…，is；

10）Lm×n：表示所有m×n的邏輯矩陣；

11）1N：一個(gè)N維的全1的列向量.

定義1[8]對(duì)于一個(gè)n×m維的矩陣A和一個(gè)p×q維的矩陣B，記l為m和p的最小公倍數(shù)，那么A和B的STP被定義為

AB=（AIlm）（AIlp） ，（1）

其中是矩陣的Kronecker積.

注意：如果p=m，那么AB=AB，STP就退化成了標(biāo)準(zhǔn)的矩陣乘積，因此矩陣的STP是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)乘積的推廣.為了簡(jiǎn)潔，在沒(méi)有歧義情況下就省略“”.在這個(gè)框架下，STP有一些比較重要的性質(zhì)，比如偽交換性[8].例如，x∈Mt×1為一個(gè)t維列向量，A∈Mm×n，那么根據(jù)STP的定義，我們可以很容易地得出xA=（ItA）x.

性質(zhì)1 [8]

1）分配律

FaG+bH=aFG+bFH，aF+bGH=aFH+bGH，a，b∈R.（2）

2）交換律

FGH=F（GH）.（3）

特別地，關(guān)于行向量和列向量有一些有趣的性質(zhì).

性質(zhì)2[8]

1）如果X是一個(gè)行向量或者一個(gè)列向量，根據(jù)STP的定義可以得到下面這些性質(zhì).當(dāng)X和Y都為列向量，有

XY=XY.（4）

當(dāng)X和Y都為行向量時(shí)，有

XY=XY.（5）

兩種情況結(jié)合，有

Xk=XX…Xk.（6）

2）X∈Mn×1和Y∈Mq×1是兩個(gè)列向量，A∈Mm×n和B∈Mp×q，那么有

AX（BY）=（AB）（XY）.（7）

特別地，

（AX）k=AA…AkXk.（8）

3）X∈M1×m和Y∈M1×m是兩個(gè)行向量，A∈Mm×n和B∈Mp×q，那么有

（XA）k=XkAA…Ak.（9）

根據(jù)定義1中STP的定義，矩陣STP不滿足交換律.因此為了能夠?qū)崿F(xiàn)交換律，我們定義了另外一種矩陣.

定義2 [8]一個(gè)mn×mn維的矩陣W[m，n]被稱為一個(gè)換位矩陣，定義如下：它的行和列都是由雙指標(biāo)i，j標(biāo)注，列是按照索引（11，12，…，1n，…，m1，m2，…，mn）來(lái)排列的，它的行是按照索引11，21，…，m1，…，1n，2n，…，mn來(lái)排列的，那么在位置I，J，i，j的元素為

w（I，J），（i，j）=δI，Ji，j=1，I=i且J=j，0，其他.

如果σ1∈Δm且σ2∈Δn，那么σ1σ2=W[m，n]σ2σ1.如果m=n，那么用w[n]表示W(wǎng)[m，n].

通過(guò)引入換位矩陣W[m，n]，兩個(gè)矩陣或者向量的乘積就可以交換位置了.

性質(zhì)3[8]

1）X∈Mn×1和Y∈Mn×1是兩個(gè)列向量，有

W[m，n]XY=YX.（11）

2）X∈M1×m和Y∈M1×m是兩個(gè)行向量，有

XYW[m，n]=YX.（12）

3）A∈Mm×n和B∈Mp×q，有

IpAW[n，p]=W[m，p]（AIp），

W[m，p]ABW[q，n]=BA.（13）

定義3[8]矩陣Φn被稱為關(guān)于2n值邏輯向量的降階矩陣，使得對(duì)于任意的a∈Δ2n有aa=Φna成立，矩陣Φn形式如下：

Φn=δ22n1，2n+2，…，2n-2·2n+2n-1，22n.（14）

并且，如果a∈Δs，可以得到aa=Φsa，其中Φn=δs2[1，s+2，…，s2].

由于傳統(tǒng)矩陣乘積對(duì)矩陣有維數(shù)的限制，但是在矩陣STP這個(gè)框架下，是沒(méi)有矩陣維數(shù)限制的.與傳統(tǒng)矩陣乘積相比，矩陣STP仍然具有分配律和結(jié)合律，但是由于交換矩陣W[m，n]的引入，使得矩陣STP具有偽交換性，這是常規(guī)矩陣乘積所沒(méi)有的.為了簡(jiǎn)潔，在后續(xù)的篇幅中，在沒(méi)有歧義的情況下，矩陣乘積就看作矩陣STP乘積.有時(shí)為了簡(jiǎn)潔直接省略了符號(hào)“”.

12邏輯函數(shù)的矩陣表達(dá)

121二值邏輯操作

在這一小節(jié)中，我們將研究邏輯函數(shù)的矩陣表達(dá)式.邏輯變量在D={1，0}中取值.因此為了得到矩陣表達(dá)式，我們將“1”和“0”用如下向量表示

1～10=δ12，0～01=δ22.（15）

因此，D=1，0～Δ2={δ12，δ22}.

接下來(lái)，我們定義r元邏輯操作的結(jié)構(gòu)矩陣.

定義4[8]一個(gè)2×2r維矩陣Mσ被稱為r元二進(jìn)制邏輯操作σ的結(jié)構(gòu)矩陣，如果滿足：

σp1，…，pr=Mσp1…pr

∶=

Mσrj=1pj，（16）

其中p1，…，pr∈D.

我們可以用相似的方法得到一些二元邏輯運(yùn)算操作的結(jié)構(gòu)矩陣，例如否定“”、交“∧”、并“∨”、蘊(yùn)涵“→”、雙重蘊(yùn)涵“”.否定“”、交“∧”、并“∨”、條件“→”、雙重條件“”的結(jié)構(gòu)矩陣分別用Mn，Mc，Md，Mi，Me來(lái)表示.對(duì)于邏輯變量x和y，可以得到如下等式：

n

x∶=Mnx，Mn=δ2[2，1]，

x∧y∶=Mcxy，Mc=δ2[1，2，2，2]，

x∨y∶=Mdxy，Md=δ2[1，1，1，2]，

x→y∶=Mixy，Mi=δ2[1，2，1，1]，

xy∶=Mexy，Me=δ2[1，2，2，1].（17）

為了得到一般邏輯操作的結(jié)構(gòu)矩陣，我們引入冪減矩陣Mr，Mr=δ4[1，4].冪減矩陣有下面這些性質(zhì).

性質(zhì)4[8]p∈Δ2，那么有

p2=Mrp.（18）

通過(guò)利用二元邏輯操作的邏輯矩陣，可以得到任意邏輯函數(shù)的代數(shù)形式.

在邏輯變量和邏輯向量等價(jià)的框架下，也就是一個(gè)布爾變量a∈D可以被認(rèn)為是一個(gè)向量a∈Δ2，相應(yīng)的一個(gè)有n個(gè)變量的布爾函數(shù)f：Dn→D可以看作是一個(gè)映射f：（Δ2）n→Δ2.為了簡(jiǎn)潔，我們就用f來(lái)表示f.因此在這種框架下很容易就能得到任意布爾函數(shù)的等價(jià)代數(shù)形式.

性質(zhì)5[8]f：Dn→D是一個(gè)布爾函數(shù)，那么就存在唯一的矩陣F∈L2×2n使得對(duì)于每一個(gè)（a1，…，an）∈Δ2n有下面等式成立

fa1，…，an=Fa1…an.（19）

其中，F(xiàn)被稱為邏輯函數(shù)f的結(jié)構(gòu)矩陣.

122k值邏輯操作

一個(gè)k值邏輯變量x可以在區(qū)間0，1取k個(gè)不同的值，通常表示為x∈Dk，其中

Dk=0，1k-1，2k-1，…，k-2k-1，1.（20）

那么我們可以相似地定義k值邏輯中“”“∧”“∨”操作.

定義5[8]

1）“∧”：任取x，y∈Dk，定義

x∧y∶=max {x，y}.（21）

2）“∨”：任取x，y∈Dk，定義

x∨y∶=min {x，y}.（22）

3）“”：任取x=ik-1∈Dk，定義

x∶=k-1-ik-1.（23）

為了得到k值邏輯操作的矩陣表達(dá)式，我們將k值邏輯變量用向量形式表示：

ik-1～δk-ik，i=1，2，…，k-1.（24）

例如1～δ1k，0～δkk等.因此，與二元邏輯操作相似，k值邏輯變量Dk等價(jià)于集合Δk.那么對(duì)于任意r元k值邏輯操作σ：Drk→Dk，可以得到下列向量形式.

定義6[8]一個(gè)k×kr維矩陣Mσ被稱為r元k值邏輯操作σ的結(jié)構(gòu)矩陣，如果滿足對(duì)于任意p1，…，pr∈Dk，有下式成立

σp1，…，pr=Mσp1…pr∶=Mσrj=1pj.（25）

與二值邏輯相似，我們也可得到k值邏輯中“”“∧”“∨”操作的結(jié)構(gòu)矩陣，分別表示為Mn，k，Md，k，Mc，k.

Mn，k=δk[k，k-1，…，1]，Md，k=δk111…1k122…2k123…3k…123…kk，Mc，k=δk123…kk223…kk333…kk…kkk…kk.（26）

與二值邏輯中的冪減矩陣相比，可以得到k值邏輯中的冪減矩陣，表示為Mr，k，并且

Mr，k=δ1k0k…0k

0kδ2k…0k

0k0k…δkk.（27）

與二值邏輯相似，對(duì)于k值邏輯我們可以得到相似的性質(zhì)

性質(zhì)6[8]任取p∈Δk，有

p2=Mr，kp.（28）

那么對(duì)于任意k值邏輯函數(shù)f：Dkn→Dk，可以得到相對(duì)應(yīng)的代數(shù)表達(dá)式.

性質(zhì)7[8]對(duì)于任意k值邏輯函數(shù)f：Dkn→Dk，存在一個(gè)唯一的矩陣F∈Lk×k使得對(duì)于任意a1，…，an∈（Δk）n，有下式成立

fa1，…，an=Fa1…an.（29）

其中，F(xiàn)稱為邏輯函數(shù)f的結(jié)構(gòu)矩陣.

在前面的討論中，已經(jīng)定義了k值邏輯和二值邏輯操作的結(jié)構(gòu)矩陣.考慮一個(gè)邏輯變量集合x1，…，xn，xi∈Dki，那么怎么定義這些變量呢？事實(shí)上，與k值邏輯相似，稱x1，…，xn，xi∈Dki這種變量為混合值邏輯.對(duì)于函數(shù)f：∏ni=1Dki→Dk0，稱這種函數(shù)為混合值邏輯函數(shù).通過(guò)利用矩陣STP，可以將f：∏ni=1Dki→Dk0表示為f：∏ni=1Δki→Δk0，同時(shí)也能得到函數(shù)f的結(jié)構(gòu)矩陣F∈L∏ni=1ki×k0.更多關(guān)于混合值邏輯的結(jié)果，請(qǐng)參照文獻(xiàn)[8].

13邏輯動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的代數(shù)表達(dá)式

在1.2節(jié)中，利用矩陣STP乘積，得到了邏輯函數(shù)的矩陣表達(dá)式.基于這一框架，可以得到邏輯動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的代數(shù)表達(dá)式.例如，當(dāng)邏輯動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是二值邏輯時(shí)，可以很好地對(duì)基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)建模.但是怎樣才能得到這個(gè)系統(tǒng)的代數(shù)形式呢？在此，我們以布爾網(wǎng)絡(luò)為例，去得到布爾網(wǎng)絡(luò)的代數(shù)形式.

布爾網(wǎng)絡(luò)（BN）是Kauffman[1]在1969年首次提出作為二元邏輯策略來(lái)研究復(fù)雜的基因動(dòng)態(tài)行為的.在BN中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)可以由兩個(gè)邏輯值1和0來(lái)描述，這兩個(gè)邏輯值表示基因或者細(xì)胞有無(wú)活性或有無(wú)表達(dá).具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的BN的邏輯動(dòng)態(tài)系統(tǒng)可以表示為

x1t+1=f1x1t，…，xnt，x2t+1=f2x1t，…，xnt，xnt+1=fnx1t，…，xnt，（30）

其中xi∈D，i=1，…，n，為點(diǎn)的狀態(tài)，fi：Dn→D，i=1，…，n，為決定狀態(tài)演化的邏輯函數(shù).

由于很多生物系統(tǒng)都具有某種藥物這種外源性的輸入，所以BN又可以擴(kuò)展到布爾控制網(wǎng)絡(luò)（BCN）.文獻(xiàn)[137]首次提出了BCN可控性這個(gè)概念.例如，Huang等[185]提出了利用BCN去探索毛細(xì)血管內(nèi)皮細(xì)胞的信號(hào)系統(tǒng)演化過(guò)程.一個(gè)帶有m個(gè)輸入和p個(gè)輸出的BCN可以用如下方程組表示：

x1t+1=f1x1t，…，xnt，u1t，…，umt，x2t+1=f2x1t，…，xnt，u1t，…，umt，xnt+1=fnx1t，…，xnt，u1t，…，umt，（31）

系統(tǒng)輸出表示為

y1t+1=g1x1t，…，xnt，y2t+1=g2x1t，…，xnt，ypt+1=gpx1t，…，xnt，（32）

其中xi∈D，i=1，…，n，為節(jié)點(diǎn)i點(diǎn)的狀態(tài)，yi∈D，i=1，…，p，為系統(tǒng)的輸出，ui∈D，i=1，…，m，為系統(tǒng)的控制輸入.fi：Dn→D，i=1，…，n，為決定狀態(tài)演化的邏輯函數(shù)，gi：Dn→D，i=1，…，p，為決定輸出演化的邏輯函數(shù).

矩陣的KhatriRao積定義如下：

定義7[186]設(shè)矩陣A∈Mp×r，B∈Mq×r，矩陣A和B的KhatriRao積定義為

A*B=col1（A）col1（B），…，colr（A）colr（B）∈

Mpq×r.（33）

根據(jù)性質(zhì)5，對(duì)于任意一個(gè)邏輯函數(shù)，可以得到其相對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)矩陣.因此對(duì)于邏輯函數(shù)f1，…，fn和g1，…，gp，可得它們所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)矩陣，分別記為F1，…，F(xiàn)n和G1，…，Gp.那么系統(tǒng)（30）就轉(zhuǎn)化為

x1t+1=F1ni=1xit，x2t+1=F2ni=1xit，

xnt+1=Fnni=1xit，（34）

其中F1，…，F(xiàn)n∈L2×2n.

令xt=ni=1xit∈Δ2n，利用矩陣KhatriRao積[142]，可以得到如下與系統(tǒng)（30）等價(jià)的代數(shù)形式：

xt+1=Fx（t），（35）

其中F=F1*F2*…*Fn∈L2n×2n.

相似地，對(duì)于系統(tǒng)（31），可以得到如下的代數(shù)形式：

x1t+1=F1mj=1ujtni=1xit，

x2t+1=F2mj=1ujtni=1xit，

xnt+1=Fnmj=1ujtni=1xit，（36）

其中F1，…，F(xiàn)n∈L2×2n+m.

對(duì)于BCN（31）的輸出系統(tǒng)（32）也可以得到相似的代數(shù)形式：

y1t+1=G1ni=1xit，

y2t+1=G2ni=1xit，ypt+1=Gpni=1xit，（37）

其中G1，…，Gp∈L2×2n.

令xt=ni=1xit∈Δ2n，ut=mj=1ujt∈Δ2m，yt=pi=1yit∈Δ2p.利用矩陣KhatriRao積，可以得到狀態(tài)系統(tǒng)（31）和輸出系統(tǒng)（32）等價(jià)的代數(shù)形式如下：

xt+1=Futxt，yt=Gxt，（38）

其中F=F1*F2*…*Fn∈L2n×2n，G=G1*G2*…*Gp∈L2p×2n.

14在半張量加和半張量積下的結(jié)構(gòu)矩陣

定義8[187]設(shè)矩陣A∈Mm×n，B∈Mp×q，令t=lcm{m，p}.

1）那么，矩陣A和B的左半張量加，用表示，定義為

AB=AItm+（BItp）.（39）

同時(shí)定義左半張量減為

AB=A（-B）.（40）

2） 矩陣A和B的右半張量加，用表示，定義為

AB=ItmA+（ItpB）.（41）

同時(shí)定義右半張量減為

A┤B=A（-B）.（42）

定義9[8]對(duì)于一個(gè)n×m的矩陣A和p×q維矩陣B，記l為m和p的最小公倍數(shù).

1）那么，A和Β的左STP被定義為

AB=（AIlm）（AIlp），（43）

其中為Kronecker積.

2）A和Β的右STP被定義為

AB=（IlmA）（IlpA）.（44）

在后面的篇幅中，主要討論的是左STP，并且將左STP簡(jiǎn)稱為STP.對(duì)于左STP所具有的性質(zhì)，右STP也具有對(duì)應(yīng)的性質(zhì).關(guān)于更多矩陣STP和半張量加運(yùn)算請(qǐng)參照文獻(xiàn)[8，187].

2邏輯網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)研究

21歷史回顧

正如性質(zhì)5和性質(zhì)7所示，基于邏輯變量和邏輯向量之間的等價(jià)性，任何邏輯函數(shù)都可以表示為代數(shù)形式.在這個(gè)框架下，利用矩陣STP，邏輯（控制）網(wǎng)絡(luò)研究有了突破性的改變.程代展教授首先提出了STP方法，并且利用STP方法對(duì)于邏輯（控制）網(wǎng)絡(luò)的研究取得了很好的成績(jī).程代展教授和他的合作者得到了關(guān)于STP的一些基本結(jié)果，包括專著[8]，它詳細(xì)介紹了STP以及基于STP布爾（控制）網(wǎng)絡(luò)的一些研究結(jié)果.

由于STP方法的引入，一些關(guān)于布爾（控制）網(wǎng)絡(luò)在控制理論方面的基本領(lǐng)域得到了很好的研究，包括可控性[18，44，56，71]、可觀測(cè)性[72]、穩(wěn)定性[44，52]和擾動(dòng)解耦[84，87，188189]等問(wèn)題.在過(guò)去的幾十年，布爾（控制）網(wǎng)絡(luò)和邏輯（控制）網(wǎng)絡(luò)在中國(guó)成為了一個(gè)研究的熱點(diǎn)，包括中國(guó)科學(xué)院[5，169]、北京大學(xué)[20，80，98，103，106107，190]、山東大學(xué)[3，15，25，41，56，85，140，161，178，191]、

東南大學(xué)[1011，13，64，9697，157，163]、同濟(jì)大學(xué)[16，27，6162，7879，125]、哈爾濱工業(yè)大學(xué)[30，67，77，81，183]、山東師范大學(xué)[110112，121122]、華東理工大學(xué)[32，42，93，99，132133]、浙江師范大學(xué)[22，46，65，69，86，94，100102，127，192]等在內(nèi)的高校和研究所都有團(tuán)隊(duì)關(guān)注和研究這個(gè)方向.此外由于STP在邏輯（控制）網(wǎng)絡(luò)上的強(qiáng)大應(yīng)用，它還吸引了一些來(lái)自海外的研究組，如以色列的團(tuán)隊(duì)[60，74，123124，131，193195]、意大利的團(tuán)隊(duì)[29，33，43，73，115，130，134，196]、沙特阿拉伯[197]、德國(guó)[198]、日本[160]以及新加坡[109，121]等.

邏輯（控制）網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)于控制理論中的一些重要問(wèn)題都得到了很好的研究.接下來(lái)，我們將介紹一些基本概念，包括可控性、可觀性、穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定性、擾動(dòng)解耦控制、同步、最優(yōu)控制以及大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)等.

22可控性

穩(wěn)定性和可控性是系統(tǒng)生物和控制理論中的一個(gè)基礎(chǔ)概念.可控性的概念首次是在用邏輯網(wǎng)絡(luò)對(duì)基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)建模時(shí)提出來(lái)的[137].正如Akutsu所說(shuō)“發(fā)現(xiàn)細(xì)胞的控制策略是后基因組時(shí)代的一個(gè)具有挑戰(zhàn)性和重要性的問(wèn)題”.首先，一些邏輯（控制）網(wǎng)絡(luò)關(guān)于可控性的基本結(jié)果在文獻(xiàn)[55]中被提出.考慮帶有m個(gè)輸入u1，u2，…，um邏輯控制網(wǎng)絡(luò)（31），其代數(shù)形式為xt+1=Fu（t）x（t）.此外，我們還考慮下列幾種控制：

1）控制輸入是滿足一定邏輯規(guī)則的邏輯變量，被稱為一個(gè)輸入網(wǎng)絡(luò)，形式如下：

u1t+1=h1u1t，…，umt，u2t+1=h2u1t，…，umt，umt+1=hmu1t，…，umt，（45）

代數(shù)形式為ut+1=Hut，ut=mj=1ujt.

2）當(dāng)控制依賴于狀態(tài)變量時(shí)，就稱為狀態(tài)反饋控制，形式如下：

u1t+1=p1x1t，…，xnt，u2t+1=p2x1t，…，xnt，umt+1=pmx1t，…，xnt，（46）

代數(shù)形式為ut=Pxt，ut=mj=1ujt.

3）當(dāng)控制是一個(gè)自由邏輯序列，如果令ut=mj=1ujt，則控制為一個(gè)經(jīng)過(guò)設(shè)計(jì)的序列u0，u1，…∈Dm.

上面所提到的控制，在文獻(xiàn)[13，25，27，55，60，64，68，125，199]中都進(jìn)行了廣泛的研究.

定義10[68]

1）考慮帶有自由控制序列的系統(tǒng)（31），給定一個(gè)初始狀態(tài)X0和一個(gè)目標(biāo)狀態(tài)X，如果存在一個(gè)控制序列u0，u1，…，u（s-1），使得系統(tǒng)（31）的軌跡在自由控制序列u0，u1，…，u（s-1）的控制下能在t=s時(shí)到達(dá)目標(biāo)狀態(tài)X，那么X被稱為從X0經(jīng)過(guò)時(shí)間s是可達(dá)的.狀態(tài)X0在s之后可達(dá)的集合記為Rs（X0），并且狀態(tài)X0所有可到達(dá)的狀態(tài)記為RX0=∪∞s=1Rs（X0）.

2）如果RX0=Dn，則系統(tǒng)（31）在狀態(tài)X0處可控.如果系統(tǒng)在任意X0∈Dn處可控，那么系統(tǒng)（31）可控.

將矩陣F分成2m個(gè)塊，即

F=[F1，F(xiàn)2，..，F(xiàn)2m]，（47）

其中F1，F(xiàn)2，..，F(xiàn)2m∈L2n×2n.那么

M=∑2mj=1Fj∈L2n×2n，

MB=∑B2m+nj=1Ms∈B2n×2n，（48）

其中∑B是布爾加運(yùn)算，也就是對(duì)于任意布爾變量a，b，a+b=a∨b.

我們有以下結(jié)論：

定理1[68]記MB=（mij），那么

1）δj2n可以從δi2n達(dá)到，當(dāng)且僅當(dāng)mij>0；

2）系統(tǒng)（31）在點(diǎn)δj2n處可控，當(dāng)且僅當(dāng)coljMB>0；

3）系統(tǒng)（31）可控，當(dāng)且僅當(dāng)MB>0.

之后，文獻(xiàn)[60]研究了帶有不良狀態(tài)集合C={δi12n，…，δiz2n}的BCNs的可控性.Uk表示所有的控制序列{u0，…，u（k-1）}.那么，考慮狀態(tài)a，b和一個(gè)不良狀態(tài)集合C={δi12n，…，δiz2n}.令u（k，a，b，C）表示一類控制器的數(shù)目，這類控制器能夠?qū)⑾到y(tǒng)（31）從x0=a控制到狀態(tài)xk=b，并且避免了集合C（也就是xtC）對(duì)于任意t=0，1，…，k.那么，我們有下列關(guān)于u（k，a，b，C）的表達(dá)式：

定理2[60]MC表示將矩陣M的i1，…，iz行列元素替換為0所得到的矩陣，那么

uk，a，b，C=bTMCka.（49）

定義11[200]一個(gè)矩陣A∈Mn×n，n≥2，被稱為可約的，如果存在一個(gè)置換矩陣P∈Ln×n，一個(gè)正整數(shù)k，1≤k≤n-1，使得

PTAP=BC0D，（50）

其中B∈Mk×k，D∈M（n-k）×（n-k），C∈Mk×（n-k），0∈M（n-k）×k為一個(gè)全零矩陣.

定理3[200]假設(shè)矩陣A∈Mn×n是非負(fù)的，那么矩陣A是可約的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意i，j∈{1，2，…，n}，存在一個(gè)正整數(shù)k≥1使得（Ak）ij>0.

那么我們可以得到帶有不理想集C={δi12n，…，δiz2n}的可控性結(jié)論.

定理4[60]系統(tǒng)（31）是可控的當(dāng)且僅當(dāng)矩陣是不可約的，其中是由刪除矩陣M 的i1，…，iz行列元素所得到的.

從文獻(xiàn)[55，60，68]之后，得到了很多BCNs可控性的結(jié)論，包括帶有時(shí)滯[13，27，62，77，125]、切換BCNs的可控性[25，56，128]、帶有脈沖效應(yīng)的BCNs的可控性[18]、概率BCNs的可控性[61，71，153]等.最近，由于對(duì)網(wǎng)絡(luò)的控制變得越來(lái)越復(fù)雜和難以實(shí)現(xiàn)，可控性的問(wèn)題擴(kuò)展到了牽引控制.例如，文獻(xiàn)[64]研究了BCNs的牽引控制.第4部分將詳細(xì)介紹牽引控制的設(shè)計(jì)和研究.

23可觀性

像可控性一樣，可觀性也是系統(tǒng)理論中的基礎(chǔ)概念，并且在控制領(lǐng)域和系統(tǒng)生物學(xué)中有許多應(yīng)用.最近，文獻(xiàn)[81]提出了9個(gè)不同的可觀性定義，并且比較了如下的4個(gè)不同定義：

定義12[55]帶有輸出系統(tǒng)（32）的系統(tǒng)（31）是可觀的，如果對(duì)于任意的初始狀態(tài)x0，存在一個(gè)控制序列使得對(duì)于任意狀態(tài)x0≠x0，Gx0≠Gx0，都有最后系統(tǒng)的輸出序列是不一樣的.

定義13[68]帶有輸出系統(tǒng)（32）的系統(tǒng)（31）是可觀的，如果對(duì)于不同初始狀態(tài)x0≠x0，Gx0≠Gx0，存在一個(gè)控制序列使得系統(tǒng)的輸出是不一樣的.

定義14[74]帶有輸出系統(tǒng)（32）的系統(tǒng)（31）是可觀的，如果存在一個(gè)有限的控制序列使得對(duì)于不同的初始狀態(tài)x0≠x0，Gx0≠Gx0，可得到不同的相應(yīng)輸出序列.

定義15[73]帶有輸出系統(tǒng)（32）的系統(tǒng)（31）是可觀的，如果對(duì)于不同的初始狀態(tài)x0≠x0，Gx0≠Gx0，所對(duì)應(yīng)的輸出序列是不同的.

文獻(xiàn)[81]比較了以上4種可觀性的定義，并且得到了任意2種可觀性之間的關(guān)系；文獻(xiàn)[55]得到了可觀性的充要條件，也就是可觀矩陣所有的列都是不同的；文獻(xiàn)[74]利用圖論的方法得到系統(tǒng)可觀的條件，并且也分析了計(jì)算復(fù)雜性.此外，文獻(xiàn)[194]證明了判斷系統(tǒng)是否可觀這個(gè)問(wèn)題是一個(gè)NP困難的；文獻(xiàn)[7879]研究了具有脈沖效應(yīng)和時(shí)滯的BCNs的可觀性；文獻(xiàn)[76，83]研究了切換BCNs的可觀性；文獻(xiàn)[73，196]研究了BCNs的可觀性和可重構(gòu)性.更多關(guān)于可觀性的詳細(xì)信息，請(qǐng)參考文獻(xiàn)[72，77，80].

24穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定性

穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定性問(wèn)題是邏輯（控制）網(wǎng)絡(luò)的基本問(wèn)題.人們希望設(shè)計(jì)一些治療策略將系統(tǒng)調(diào)控到理想狀態(tài)，特別是基因治療方面.在過(guò)去的幾十年，關(guān)于邏輯（控制）網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定性都被廣泛研究，包括狀態(tài)反饋穩(wěn)定[44，108]、采樣數(shù)據(jù)狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定[49]、集合穩(wěn)定和集合鎮(zhèn)定[47]、輸出反饋穩(wěn)定性[41，43]、魯棒鎮(zhèn)定[122]等.在文獻(xiàn)[44]中，通過(guò)利用開環(huán)控制和狀態(tài)反饋控制的方法研究BCNs的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定性，并且得到了一些關(guān)于BCNs的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定性的命題.

考慮系統(tǒng)（30）所對(duì)應(yīng)的代數(shù)形式xt+1=Fx（t），接下來(lái)回顧系統(tǒng)（30）的穩(wěn)定性的概念.

定義16對(duì)于一個(gè)給定的狀態(tài)X*∈Dn，系統(tǒng)（31）被稱為全局穩(wěn)定到狀態(tài)X*，如果對(duì)于任意初始狀態(tài)X0∈Dn，存在一個(gè)正整數(shù)N，使得xt=X*，t≥N.

定理5假設(shè)狀態(tài)X*∈Dn～x*=δλ2n，那么系統(tǒng)（31）全局穩(wěn)定到狀態(tài)X*，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)正整數(shù)N，使得

FN=δ2nλ，λ，…，λ，即colF={δλ2n}. （51）

考慮系統(tǒng)（31）所對(duì)應(yīng)的代數(shù)形式為xt+1=Fu（t）x（t），我們回顧系統(tǒng)（31）鎮(zhèn)定性的一些問(wèn)題.

定義17給定一個(gè)狀態(tài)X*∈Dn，稱系統(tǒng)（31）全局鎮(zhèn)定到狀態(tài)X*，如果對(duì)于任意的初始狀態(tài)X0∈Dn，存在一個(gè)控制序列Uk={u0，…，u（k-1）}，和一個(gè)正整數(shù)N使得t≥N，有xt=X*.

定理6[108]假設(shè)狀態(tài)X*∈Dn～x*=δλ2n，那么系統(tǒng)（31）全局鎮(zhèn)定到狀態(tài)X*，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立：

1）對(duì)于一些i=1，…，2m，有x*=Fδλ2nx*；

2）x*∈∩R（x0）x0∈Δ2n，即任意初始x0∈Δ2n都可以到達(dá)狀態(tài)x*.

如果系統(tǒng)（31）全局鎮(zhèn)定到狀態(tài)X*，那么可以設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器使系統(tǒng)達(dá)到全局鎮(zhèn)定.在文獻(xiàn)[52]中，Li等設(shè)計(jì)了一個(gè)廣義的反饋控制器使得系統(tǒng)達(dá)到全局鎮(zhèn)定.定義一個(gè)集合Ek（r）為

Ekr=x0∈Δ2n：存在u（0），…，u（k），使得x（k，x0，u（0），…，u（k））=δr2n. （52）

接下來(lái)，我們有下面這些關(guān)于鎮(zhèn)定性的結(jié)果：

定理7[52]假設(shè)狀態(tài)X*∈Dn～x*=δλ2n，那么系統(tǒng)（31）可以通過(guò)狀態(tài)反饋控制器（46）全局鎮(zhèn)定到狀態(tài)X*，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立：

1）δλ2n∈E1λ；

2）存在一個(gè)整數(shù)1≤N≤2n-1，使得ENλ=Δ2n.

引理1[52]假設(shè)F=δ2nα1，α2，…，α2m+n，那么，對(duì)于任意1≤λ≤2n：

1）E1λ={δq2n：1≤q≤2n，αp-12n+q=λ，1≤p≤2n}；

2）Ek+1λ=∪{E1λ′：1≤λ′≤2n，δλ2n∈Ekλ}，k=1，2，….

那么，關(guān)于狀態(tài)反饋控制有如下結(jié)論：

定理8[52]假設(shè)狀態(tài)X*∈Dn～x*=δλ2n，且系統(tǒng)（31）能通過(guò)狀態(tài)反饋（46）全局鎮(zhèn)定到狀態(tài)X*.對(duì)于任意1≤i≤2n，存在唯一的整數(shù)1≤li≤N，使得δi2n∈Eliλ＼Eli-1λ，其中E0λ=.令1≤pi≤2n，如果li=1，那么αpi-12n+i=λ，并且如果l2≤2那么δαpi-12n+i2n∈Eli-1λ.那么，存在狀態(tài)反饋法則ut=Px（t），且狀態(tài)反饋矩陣P可以表示為

P=δ2n[p1，p2，…，pn].（53）

在文獻(xiàn)[52]之后，文獻(xiàn)[41，43]研究了輸出反饋鎮(zhèn)定問(wèn)題，并且得到了關(guān)于輸出反饋鎮(zhèn)定存在的充要條件.輸出反饋控制器的形式如下：

u1t+1=q1y1t，…，ypt，u2t+1=q2y1t，…，ypt，umt+1=qmy1t，…，ypt，（54）

其代數(shù)形式為ut=Kyt，K∈L2m×2p.那么對(duì)于系統(tǒng)xt+1=Futxt，yt=Gxt，ut=Ky（t），為了實(shí)現(xiàn)全局鎮(zhèn)定，根據(jù)文獻(xiàn)[41，43]，可以設(shè)計(jì)一個(gè)輸出反饋矩陣K.更多的信息可以參考文獻(xiàn)[41，43].

最近，得到了一些關(guān)于邏輯控制網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定性的新結(jié)果.例如，文獻(xiàn)[49]研究了采樣數(shù)據(jù)狀態(tài)BCNs反饋的鎮(zhèn)定性；文獻(xiàn)[47]研究了基于不變子集BCNs的集合穩(wěn)定和集合鎮(zhèn)定性，將穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定性推廣到更一般的情況，即集合穩(wěn)定性和集合鎮(zhèn)定性.

集合穩(wěn)定的定義如下：

定義18[47]M是Δ2n的一個(gè)子集.系統(tǒng)（30）被稱為是M穩(wěn)定，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意初始狀態(tài)x0∈Δ2n，存在一個(gè)整數(shù)T（x0），使得

xt，x0∈M，t≥T（x0）.（55）

集合鎮(zhèn)定的定義如下.

定義19[47]M是Δ2n的一個(gè)子集.系統(tǒng)（31）被稱為M鎮(zhèn)定，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意初始狀態(tài)x0∈Δ2n，存在一個(gè)控制序列u和一個(gè)對(duì)應(yīng)的整數(shù)T（x0，u），使得t≥T（x0，u）時(shí)有

xt，x0，u∈M.（56）

文獻(xiàn)[47]得到了關(guān)于集合鎮(zhèn)定和集合穩(wěn)定的充要條件；文獻(xiàn)[16，18]得到了帶有脈沖效應(yīng)和狀態(tài)約束的BNs鎮(zhèn)定的充要條件；文獻(xiàn)[50]考慮了一組BCN的同時(shí)鎮(zhèn)定.

25擾動(dòng)解耦控制

由于外部擾動(dòng)的普遍存在，并且其會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)一些不良行為.因此，帶有擾動(dòng)的系統(tǒng)也具有很重要的研究?jī)r(jià)值.如果一個(gè)BCNs有干擾輸入，那么稱這種BCNs為擾動(dòng)BCNs.給出擾動(dòng)BCNs的邏輯動(dòng)力學(xué)形式如下：

x1t+1=f1x1t，…，xnt，u1t，…，

umt，ξ1t，…，ξqt，x2t+1=f2x1t，…，xnt，u1t，…，

umt，ξ1t，…，ξqt，xnt+1=fnx1t，…，xnt，u1t，…，

umt，ξ1t，…，ξqt，yjt=gjx1t，…，xnt，j=1，…，p，（57）

其中ξ1，…，ξq是外部擾動(dòng)輸入，x1，…，xn和y1，…，yp分別為系統(tǒng)（57）的狀態(tài)和輸出.

令ξ=∑qj=1ξj∈Δ2q，那么可得到系統(tǒng)（57）的代數(shù)形式：

xt=Lutξtxt，L∈L2n×2n+q+m，yt=Gxt，G∈L2p×2n.（58）

定義20考慮系統(tǒng)（57），系統(tǒng)的擾動(dòng)解耦可實(shí)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)可以找到一個(gè)狀態(tài)反饋控制

ut=（x（t））（59）

和一個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換z=T（x），使得在z坐標(biāo)下，閉環(huán)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為以下形式：

z1t+1=F1zt，xt，ξt，z2t+1=F2z2t，yt=Gz2t.（60）

邏輯動(dòng)態(tài)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換定義如下：

定義21（x1，…，xn）為布爾（控制）網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)變量，如果映射F：Dn→Dn是一個(gè)雙射，那么映射F稱為一個(gè)邏輯坐標(biāo)轉(zhuǎn)換.

我們有如下關(guān)于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的結(jié)果：

定理9[84]映射F：Dn→Dn是一個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換當(dāng)且僅當(dāng)F的結(jié)構(gòu)矩陣MF∈L2n×2n是奇異的.

因此，為了解決擾動(dòng)解耦問(wèn)題，主要需要解決兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，分別是

1）找到一個(gè)包括輸出的正則坐標(biāo)子空間z2；

2）設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，使得補(bǔ)坐標(biāo)子基z1和擾動(dòng)ξ能夠從z2中刪除.

在文獻(xiàn)[84]中，BCNs的擾動(dòng)解耦問(wèn)題已經(jīng)得到了很詳細(xì)的研究，并得到了關(guān)于擾動(dòng)解耦可行性的幾個(gè)充要條件；文獻(xiàn)[151，201]研究了混合值邏輯網(wǎng)絡(luò)的擾動(dòng)解耦問(wèn)題.之后，文獻(xiàn)[87]提出了一個(gè)計(jì)算可行的方法來(lái)構(gòu)建所有有效的反饋控制矩陣并且實(shí)現(xiàn)了擾動(dòng)解耦；文獻(xiàn)[23，86]研究了奇異BCNs的干擾解耦問(wèn)題，并且討論了BCNs的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).

26同步

網(wǎng)絡(luò)同步是控制理論中具有意義的一個(gè)問(wèn)題.邏輯網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題在過(guò)去的幾年已經(jīng)得到了很好的研究，并且得到了很好的結(jié)果，比如完全同步[11，90，92，94，97，99100，106，156157]、帶有時(shí)滯的同步[10，96，103]、帶有切換信號(hào)的同步[102，104]、帶有脈沖的同步[18]、反同步[91]以及延遲同步[95]等.

如果系統(tǒng)帶有時(shí)滯，那怎樣實(shí)現(xiàn)同步？考慮下列形式的時(shí)滯系統(tǒng)：

xit+1=fix1t-τ，…，xNt-τ，yit+1=giy1t-τ，…，yNt-τ，x1t-τ，…，xNt-τ，i=1，…，N，（61）

可以得到下列代數(shù)形式：

xt+1=Fxt-τ，F(xiàn)∈L2N×2N，yt+1=Gxt-τyt-τ，G∈L2N×22N.（62）

我們有如下結(jié)論：

定理10[103]假設(shè)對(duì)于一些非負(fù)整數(shù)a使得τ′=aτ+1+τ，系統(tǒng)（61）能夠達(dá)到同步當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)正整數(shù)k1，使得

colFaI2NΘk1{δαi-12N+i22N，i=1，…，2N}，（63）

或者存在一個(gè)正整數(shù)k2，使得下式成立

GΘk2-1=Fk2+a12N.（64）

定理11[103]假設(shè)τ′≠τ（modτ+1），系統(tǒng)（61）可以實(shí)現(xiàn)同步當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)正整數(shù)k3，使得

colΘk3Fk3+a{δi-122N+j-12N+j23N，i，j=1，…，2N}，（65）

其中a是唯一的正整數(shù)使得0≤τ′-aτ+1≤τ-1成立.或者存在正整數(shù)k4和k5，對(duì)于某些1≤n≤2N，使得

colFk4=colGΘk5={δn2N}.（66）

接下來(lái)，對(duì)系統(tǒng)的同步研究將擴(kuò)展到對(duì)一組帶有M個(gè)輸出和N個(gè)點(diǎn)的耦合BNs，形式為

xijt+1=fijx1jt，…，xNjt，

y1t，…，yMt，

yjt=gjx1jt，…，xNjt， （67）

其中xij是第j個(gè)BN的第i個(gè)點(diǎn)，yj是第j個(gè)BN的二元輸出，記Xjt=x1jt，…，xNjt為第j個(gè)BN的狀態(tài)，xjt=Ni=1xij（t），yt=Mi=1yi（t）.

得到代數(shù)形式為

xjt+1=Fjxjtyt，F(xiàn)j∈L2N×2NM+1，

yt=GMi=1yit，G∈L2M×2NM. （68）

定義22一組BNs可以實(shí)現(xiàn)同步當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的初始狀態(tài)Xj0∈DN，j=1，…，M，存在一個(gè)正整數(shù)k使得對(duì)于所有不同的1≤i，j≤M，對(duì)于任意的t≥k，都有Xit=Xjt.

我們有如下結(jié)論：

定理12[106]系統(tǒng)（67）可以達(dá)到同步當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)正整數(shù)1≤k≤k0，使得

colΞk

δλi2NM：λi=1+i-12NM-12N-1，i=1，…，2N.（69）

其中

Ξ=（Mj=1Fj）WGΦMN，

W=W[2M，2N]{Mi=2[（I2MW[2M，2iN]）ΦM]}.

自文獻(xiàn)[106]之后，已經(jīng)得到了邏輯網(wǎng)絡(luò)或者布爾網(wǎng)絡(luò)同步的許多結(jié)果.文獻(xiàn)[107]通過(guò)設(shè)計(jì)響應(yīng)布爾網(wǎng)絡(luò)來(lái)實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)BNs的同步；文獻(xiàn)[11]得到了關(guān)于主從BNs同步的充要條件；文獻(xiàn)[100]提出了通過(guò)反饋控制和開環(huán)控制實(shí)現(xiàn)主從BN的完全同步.

我們注意到，時(shí)滯在現(xiàn)實(shí)世界中是一個(gè)普遍存在的現(xiàn)象，并且在生物系統(tǒng)中不可避免.因此，帶有時(shí)滯的同步也引起了廣泛的注意.例如，文獻(xiàn)[10]提出了帶有時(shí)滯的一組輸出耦合布爾網(wǎng)絡(luò)同步的充要條件；文獻(xiàn)[202]提出了一種帶有時(shí)滯的布爾網(wǎng)絡(luò)，被稱為時(shí)滯布爾網(wǎng)絡(luò)，其帶有時(shí)間延遲序列；文獻(xiàn)[96]研究了輸出耦合時(shí)滯布爾網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題；文獻(xiàn)[95]研究了時(shí)滯布爾網(wǎng)絡(luò)的延遲同步問(wèn)題，并且將完全同步擴(kuò)展到延遲同步.

在傳統(tǒng)的BN中，假設(shè)每個(gè)節(jié)點(diǎn)是并行更新的，也就是說(shuō)每個(gè)節(jié)點(diǎn)在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)來(lái)說(shuō)是在同時(shí)更新的，稱為是同步更新方案.最近，人們研究了具有不同更新方案的同步問(wèn)題.例如，文獻(xiàn)[12]詳細(xì)研究了同步更新布爾網(wǎng)絡(luò)和異步更新布爾網(wǎng)絡(luò)之間的同步問(wèn)題.此外，布爾網(wǎng)絡(luò)同步的控制設(shè)計(jì)也是一個(gè)非常重要的問(wèn)題.例如，文獻(xiàn)[105]基于核心輸入狀態(tài)周期研究了主從BNs同步的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)問(wèn)題；文獻(xiàn)[104]研究了基于周期切換序列的耦合BNs的同步分析和設(shè)計(jì)問(wèn)題；文獻(xiàn)[99]設(shè)計(jì)了牽引控制器去達(dá)到兩個(gè)耦合的BNs的同步，并且提出了一個(gè)算法實(shí)現(xiàn)牽引控制器的設(shè)計(jì).

關(guān)于同步的一些其他結(jié)果，諸如耦合的大規(guī)模BNs、切換BNs和混合值BNs，請(qǐng)參考文獻(xiàn)[93，102，155，203205].

27最優(yōu)控制

邏輯控制網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)控制問(wèn)題最近得到了廣泛的關(guān)注，并且也得到一些很好的結(jié)果，比如Mayer型最優(yōu)控制、有限時(shí)域最優(yōu)控制等.例如，文獻(xiàn)[130]考慮系統(tǒng)（31），給定初始狀態(tài)X0=x0，確定一個(gè)輸入序列將決策函數(shù)達(dá)到最小：

Tx0，u·=QfxT+∑T-1j=1Q（ut，x（t）），（70）

其中Qf（·）是在Δ2n上的任意函數(shù)，Q（·，·）是在Δ2m×Δ2n上的任意函數(shù).

通過(guò)利用STP方法，可以將決策函數(shù)（70）轉(zhuǎn)化為如下代數(shù)形式：

Tx0，u·=cTf+∑T-1j=1cTu（t）x（t），（71）

其中

cTf=[Qfδ12n，Qfδ22n，…，Qfδ2n2n]，

cT=[Qfδ12m，δ12n，…，Qfδ12m，δ2n2n，…，Qfδ22m，δ12n，

…，Qfδ22m，δ2n2n，

…，Qfδ2m2m，δ12n，

…，Qfδ2m2m，δ2n2n].（72）

由于決策函數(shù)（70）是時(shí)不變的，因此文獻(xiàn)[130]考慮了時(shí)變的決策函數(shù)，形式如下：

Tx0，u·=QfxT+

∑T-1j=1Q（ut，xt，t）， （73）

并且，研究了標(biāo)準(zhǔn)二次決策函數(shù)，形式為

Tx0，u·=x（T）TQfxT+

∑T-1j=1x（t）Tu（t）T]QSSTRx（t）u（t）.（74）

以上這3種最優(yōu)控制問(wèn)題都已經(jīng)在文獻(xiàn)[130]中得到，并且提出了有限時(shí)域最優(yōu)控制和無(wú)限時(shí)域最優(yōu)控制，還提出了最優(yōu)控制問(wèn)題可解的充要條件.文獻(xiàn)[125，132133]研究了切換BNs和時(shí)滯BNs的最優(yōu)控制問(wèn)題，并且得到了幾個(gè)關(guān)于最優(yōu)控制問(wèn)題可解的充要條件；文獻(xiàn)[18，128]研究了狀態(tài)依賴切換BCNs和帶有脈沖及狀態(tài)限制的BNs的最優(yōu)控制問(wèn)題；文獻(xiàn)[206]研究了概率BNs的最優(yōu)控制問(wèn)題；文獻(xiàn)[127，154]研究了混合值邏輯控制網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)控制問(wèn)題.更多關(guān)于奇異BCNs的最優(yōu)控制問(wèn)題，請(qǐng)參考文獻(xiàn)[129].

28大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)

由性質(zhì)5可知，任意邏輯動(dòng)態(tài)系統(tǒng)都可以表示為一個(gè)等價(jià)的代數(shù)形式.例如，一個(gè)帶有n個(gè)節(jié)點(diǎn)和m個(gè)輸入的BN，這個(gè)BN的結(jié)構(gòu)矩陣的維數(shù)為2n×2n+m.正如系統(tǒng)（36）所示，可以得到系統(tǒng)（36）所對(duì)應(yīng)的代數(shù)形式（38），其中F∈L2n×2n+m，G∈L2n×2p.因此，對(duì)于BNs的代數(shù)狀態(tài)表達(dá)式來(lái)說(shuō)，最大的缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜度很高.特別地，基于STP方法的算法復(fù)雜度都為指數(shù)時(shí)間復(fù)雜.很多關(guān)于邏輯（控制）網(wǎng)絡(luò)或者布爾（控制）網(wǎng)絡(luò)的結(jié)果都只適用于節(jié)點(diǎn)比較少的情況.文獻(xiàn)[68]提出了一種比較高效的算法來(lái)尋找可以由非循環(huán)的聚合大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)的定點(diǎn)和循環(huán)，這個(gè)算法大大地減少了計(jì)算量，得到了很好的結(jié)果.之后，文獻(xiàn)[139]提出了通過(guò)利用非循環(huán)聚合來(lái)研究大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)的控制問(wèn)題，這一方法也大大地減少了計(jì)算復(fù)雜度；文獻(xiàn)[93]回顧了Zhao等[68]所提出的聚合算法，并研究了兩個(gè)耦合BNs的完全同步和部分同步.更多關(guān)于大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)的聚合算法請(qǐng)參考文獻(xiàn)[68，93].

3廣義布爾（控制）網(wǎng)絡(luò)的一些研究

31歷史回顧

雖然BNs是一個(gè)很強(qiáng)大的工具，在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用，但是我們注意到在BNs這個(gè)模型中，很多因素都沒(méi)有考慮.例如，BNs是一個(gè)確定性的系統(tǒng)，并不涉及隨機(jī)性這個(gè)特性.此外，時(shí)滯也是一個(gè)在現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的一個(gè)現(xiàn)象，但是在很多BNs中并沒(méi)有考慮這一點(diǎn).因此，廣義的邏輯網(wǎng)絡(luò)也被廣泛研究，諸如隨機(jī)邏輯網(wǎng)絡(luò)、奇異邏輯網(wǎng)絡(luò)、混合值邏輯網(wǎng)絡(luò)、帶有時(shí)滯或者脈沖的邏輯網(wǎng)絡(luò)、切換邏輯網(wǎng)絡(luò)以及異步更新邏輯網(wǎng)絡(luò)等.在本章節(jié)中，我們將回顧廣義邏輯網(wǎng)絡(luò)的一些重要結(jié)果.

32概率邏輯網(wǎng)絡(luò)

在BNs中，布爾函數(shù)是確定的，然而，在現(xiàn)實(shí)世界中，隨機(jī)性是很常見(jiàn)的.例如，在對(duì)基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行建模時(shí)，應(yīng)當(dāng)考慮遺傳的不確定性.此外，當(dāng)利用微陣列數(shù)據(jù)在復(fù)雜測(cè)量過(guò)程去推斷基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)時(shí)，測(cè)量噪聲是不可避免的.因此將BNs擴(kuò)展到隨機(jī)布爾網(wǎng)絡(luò)是合理的.文獻(xiàn)[207]提出了概率布爾網(wǎng)絡(luò)（PBN）.在PBN中，布爾函數(shù)是根據(jù)預(yù)先給定的在每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)的概率分布來(lái)隨機(jī)選擇布爾函數(shù)的.自那以后，對(duì)PBN的研究或者廣義PBN，諸如概率混合值邏輯系統(tǒng)、環(huán)境敏感概率混合值邏輯系統(tǒng)的研究已經(jīng)吸引了大量的關(guān)注.

對(duì)STP應(yīng)用研究的快速增長(zhǎng)引起了人們利用STP研究概率邏輯網(wǎng)絡(luò)的興趣.例如，文獻(xiàn)[61]研究了帶有兩種不同控制PBN的可控性，并且提出了一個(gè)充要條件去判斷PBN是否能夠從一個(gè)初始狀態(tài)到達(dá)一個(gè)理想的狀態(tài)，然而，可達(dá)集是在一定的條件下給出的.為了克服這一缺點(diǎn)，文獻(xiàn)[65]利用可控性矩陣來(lái)研究PBNs的可控性和可達(dá)性，并且得到了一個(gè)充要條件去判斷PBN是否可控；文獻(xiàn)[71]通過(guò)利用輸入狀態(tài)關(guān)聯(lián)矩陣和可達(dá)性矩陣去刻畫連接可達(dá)性，之后證明了PBN的連接可達(dá)性和可控性是等價(jià)的，然后提出了一個(gè)充要條件去判斷PBN是否可控.更多關(guān)于概率邏輯系統(tǒng)的可控性，請(qǐng)參考文獻(xiàn)[153，199，208].

概率邏輯網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定性是其中的兩個(gè)基本問(wèn)題.文獻(xiàn)[209]提出了一個(gè)充要條件去判斷PBN是否能以概率1穩(wěn)定或者鎮(zhèn)定，但并沒(méi)有提出一個(gè)控制策略；文獻(xiàn)[45]將文獻(xiàn)[209]中的結(jié)論推廣到環(huán)境敏感概率布爾網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)利用PBN的代數(shù)形式，得到了一個(gè)控制設(shè)計(jì)方法，使得PBN達(dá)到鎮(zhèn)定.

除了上述研究外，還考慮了其他的概率邏輯系統(tǒng)的控制問(wèn)題.例如，通過(guò)利用STP方法分析主從PBN的同步性，其中主BN是一個(gè)確定的BN，從BN是PBN[97]；文獻(xiàn)[110]利用STP方法研究了PBN的輸出追蹤控制，并提出了一個(gè)構(gòu)造狀態(tài)反饋控制器的方法，使得PBN通過(guò)這個(gè)反饋控制能夠追蹤一個(gè)常信號(hào).還有一些關(guān)于可觀性、最優(yōu)控制和概率邏輯系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析的結(jié)果請(qǐng)參考文獻(xiàn)[82，154，190].

33奇異邏輯網(wǎng)絡(luò)

奇異系統(tǒng)是描述許多科學(xué)和工程系統(tǒng)的一個(gè)很有效的模型.文獻(xiàn)[16]首次引入了奇異布爾網(wǎng)絡(luò)這個(gè)概念；文獻(xiàn)[19]研究了奇異布爾網(wǎng)絡(luò)的標(biāo)準(zhǔn)化和可解性，此外，還研究了奇異布爾網(wǎng)絡(luò)的不動(dòng)點(diǎn)和極限環(huán)；通過(guò)利用輸入狀態(tài)關(guān)聯(lián)矩陣，文獻(xiàn)[75]研究了奇異布爾控制網(wǎng)絡(luò)的可控性和可觀性，指出奇異布爾網(wǎng)絡(luò)擾動(dòng)解耦問(wèn)題的關(guān)鍵在于設(shè)計(jì)一個(gè)控制器使得外部的干擾對(duì)輸出沒(méi)有影響；文獻(xiàn)[23]考慮了當(dāng)控制是?？刂茣r(shí)的擾動(dòng)解耦問(wèn)題；文獻(xiàn)[86]研究了帶有自由控制序列的奇異布爾網(wǎng)絡(luò)的擾動(dòng)解耦問(wèn)題；文獻(xiàn)[129]研究了奇異布爾網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)控制問(wèn)題；文獻(xiàn)[210]進(jìn)一步將文獻(xiàn)[129]中的結(jié)論推廣到奇異混合值布爾網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)控制問(wèn)題中.

34混合值邏輯網(wǎng)絡(luò)

混合值邏輯網(wǎng)絡(luò)是傳統(tǒng)BNs的推廣，多值邏輯網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)類似于BNs.混合值邏輯網(wǎng)絡(luò)的每個(gè)狀態(tài)都是從一個(gè)有限集中取值的，并且它的狀態(tài)更新由邏輯函數(shù)決定.然而，BNs和混合值邏輯網(wǎng)絡(luò)最大的不同在于混合值邏輯網(wǎng)絡(luò)允許它的點(diǎn)xi從集合Dki=iki-1|i=0，1，…，ki-1中選取.可以看到當(dāng)ki=2時(shí)，集合Dki就為D，因此混合值邏輯網(wǎng)絡(luò)是BNs的推廣.

混合值邏輯網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)控制問(wèn)題是一個(gè)熱點(diǎn)研究問(wèn)題.文獻(xiàn)[211]提出用Floyd算法去找到混合值邏輯網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)控制，并且這個(gè)算法大大地減少了計(jì)算復(fù)雜度.后來(lái)，文獻(xiàn)[159]研究了混合值概率邏輯網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)控制，并且得到了在有限時(shí)域情況下的遞歸解，之后證明了當(dāng)濾波器長(zhǎng)度足夠大時(shí)，所得到的最優(yōu)控制序列和無(wú)限時(shí)域所得到的最優(yōu)控制序列是一致的.文獻(xiàn)[127]研究了帶有不理想狀態(tài)的多值邏輯網(wǎng)絡(luò)的Mayer型最優(yōu)控制.

混合值邏輯網(wǎng)絡(luò)研究最近的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)是擾動(dòng)解耦問(wèn)題.文獻(xiàn)[152]定義了混合值邏輯網(wǎng)絡(luò)的Y友子空間，并且提出了一種方法去找到所有的擾動(dòng)解耦控制器.但是在文獻(xiàn)[152]中定義的Y友子空間不是唯一的.文獻(xiàn)[151]進(jìn)一步研究了混合值邏輯網(wǎng)絡(luò)的擾動(dòng)解耦問(wèn)題，并且提出了一個(gè)主Y友子空間的新定義，得到了一個(gè)唯一的Y友子空間，這使文獻(xiàn)[151]中的算法更加容易實(shí)現(xiàn).

關(guān)于混合值邏輯網(wǎng)絡(luò)的其他一些結(jié)果，比如穩(wěn)定性、同步性、可控性以及函數(shù)擾動(dòng)等，請(qǐng)參考文獻(xiàn)[142，145，149150，156，212213].

35帶時(shí)滯的邏輯網(wǎng)絡(luò)

時(shí)滯現(xiàn)象是在現(xiàn)實(shí)世界中一種常見(jiàn)的現(xiàn)象，因此，研究帶時(shí)滯的邏輯網(wǎng)絡(luò)有重要意義.文獻(xiàn)[27，79]研究了常時(shí)滯布爾網(wǎng)絡(luò)的可控性和可觀性.常數(shù)時(shí)滯表示每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的時(shí)滯都是一樣的.文獻(xiàn)[13]研究了帶有多時(shí)滯（每個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)滯是不一樣的）BNs的狀態(tài)軌跡和可控性.還有一些其他的相關(guān)結(jié)果，包括狀態(tài)帶時(shí)滯的BNs的可控性和可觀性、輸入和狀態(tài)都帶時(shí)滯的可控性和帶有多有界時(shí)變時(shí)滯的BNs的可控性[14，24，77，214].帶時(shí)滯的布爾網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題也得到了深入的研究.文獻(xiàn)[10]研究了帶時(shí)滯的一組輸出耦合BNs的同步.然而，在文獻(xiàn)[10]中有一個(gè)限制是輸入時(shí)滯和狀態(tài)時(shí)滯是一樣的.為了將文獻(xiàn)[10]中的結(jié)果推廣，文獻(xiàn)[96]研究了輸出耦合BNs.在文獻(xiàn)[96]中，研究了同時(shí)帶有輸入時(shí)滯和狀態(tài)時(shí)滯的系統(tǒng)，并且這兩個(gè)時(shí)滯是不一樣的.其他關(guān)于帶時(shí)滯的邏輯網(wǎng)絡(luò)同步的研究請(qǐng)參考文獻(xiàn)[103].

36脈沖邏輯網(wǎng)絡(luò)

在進(jìn)化過(guò)程中由于環(huán)境的突然變化可能會(huì)導(dǎo)致某一時(shí)刻狀態(tài)的突然變化.文獻(xiàn)[16]首次提出了帶脈沖的BNs，研究了帶脈沖的BNs的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定性，并且給出了一個(gè)充要條件判斷脈沖BNs是否穩(wěn)定或者鎮(zhèn)定；文獻(xiàn)[36]將文獻(xiàn)[16]中的結(jié)果推廣到帶脈沖的切換BNs中，得到了判斷帶脈沖的切換BNs是否是全局穩(wěn)定或者全局鎮(zhèn)定的充要條件；文獻(xiàn)[78]研究了帶脈沖BNs的可觀性，并且得到了一個(gè)充要條件去判斷系統(tǒng)是否可觀；文獻(xiàn)[11]提出了一個(gè)充要條件去判斷帶脈沖的主從BNs是否同步；文獻(xiàn)[18]研究了帶脈沖BNs的鎮(zhèn)定性、可控性以及Mayer型最優(yōu)控制；文獻(xiàn)[22，215]分別研究了帶脈沖BNs的最小時(shí)間控制，以及帶有狀態(tài)禁止和脈沖BNs的可控性.

例如，在文獻(xiàn)[16]中，首先研究了帶脈沖的BNs的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定性，它的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)表示如下：

x1t+1=f1x1t，…，xnt，tk-1≤t≤tk-1，xnt+1=fnx1t，…，xnt，tk-1≤t≤tk-1，x1tk=g1x1tk-1，…，xntk-1，xntk=gnx1tk-1，…，xntk-1，k∈N+，（75）

其中xi為系統(tǒng)的點(diǎn)，時(shí)間序列{tk}N+是脈沖時(shí)間序列，滿足0=t0因此，基于STP的框架下，系統(tǒng)（75）可以被轉(zhuǎn)化為

xt+1=L1xt，tk-1≤t≤tk-1，xtk=L2xtk-1.（76）

利用代數(shù)形式（76），很多相關(guān)控制問(wèn)題都被研究了，包括穩(wěn)定性、鎮(zhèn)定性、可觀性、同步、可控性等.更多詳細(xì)內(nèi)容，請(qǐng)參考文獻(xiàn)[11，16，18，22，31，78，215].

37帶有切換結(jié)構(gòu)的邏輯網(wǎng)絡(luò)

我們注意到生物網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)往往受制于不同的切換模式，因此，文獻(xiàn)[15]提出了一種切換BNs，并且給出了充要條件去判斷一個(gè)切換系統(tǒng)在任意切換信號(hào)下是否穩(wěn)定；文獻(xiàn)[34]將文獻(xiàn)[15]的結(jié)果推廣到切換布爾網(wǎng)絡(luò)在任意切換信號(hào)下是否穩(wěn)定到一個(gè)極限環(huán)；文獻(xiàn)[36]研究了切換布爾網(wǎng)絡(luò)的一致穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[40]提出構(gòu)造一個(gè)反饋控制和一個(gè)輸出反饋控制使得切換BNs鎮(zhèn)定，并且還得到了能夠使系統(tǒng)以最短的時(shí)間鎮(zhèn)定的控制序列.

近年來(lái)，人們還研究了具有切換結(jié)構(gòu)的邏輯網(wǎng)絡(luò)的其他控制問(wèn)題.例如，文獻(xiàn)[56]通過(guò)構(gòu)造切換輸入狀態(tài)關(guān)聯(lián)矩陣，得到關(guān)于可控性和可達(dá)性的充要條件；之后，文獻(xiàn)[56]的結(jié)果被推廣到具有狀態(tài)和輸入約束的切換BNs的情況[25]，并提出約束的關(guān)聯(lián)矩陣來(lái)得到切換BNs可控性的一些充要條件，所給的算法可以將在固定或者設(shè)計(jì)的最短終止時(shí)間內(nèi)的決策函數(shù)最小化；文獻(xiàn)[25]研究了開環(huán)和閉環(huán)控制的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[76，83，102，128，133]分別研究了狀態(tài)依賴切換BNs的最優(yōu)控制和輸出控制、切換BNs的最優(yōu)控制、利用有限自動(dòng)機(jī)的方法研究切換BNs的可觀性以及切換BNs的同步性.

例如，文獻(xiàn)[15]研究了帶有m個(gè)模式和n個(gè)點(diǎn)的切換BNs，形式如下：

x1t+1=fσ（t）1x1t，…，xnt，xnt+1=fσ（t）nx1t，…，xnt，（77）

其中σ：N→W={1，…，m}為切換信號(hào)，記Fσ（t）1，…，F(xiàn)σ（t）n為邏輯函數(shù)fσ（t）1，…，fσ（t）n在切換信號(hào)σ（t）下的結(jié)構(gòu)矩陣，因此我們可以得到如下代數(shù)結(jié)構(gòu)：

x1t+1=Fσ（t）1ni=1xit，

xnt+1=Fσ（t）nni=1xit.（78）

令xt=ni=1xit，方程組（78）可轉(zhuǎn)化為如下等式：

xt+1=Lσtxt，Lσt∈L2n×2n.（79）

進(jìn)一步，定義σt=i～σt=δim，就有如下等式：

xt+1=Lσtxt，L∈L2n×m2n，（80）

其中L=[L1，…，Lm]，L1，…，Lm∈L2n×2n.與BCNs（45）相比，一個(gè)代數(shù)形式為xt+1=Lu（t）x（t），xt∈Δ2n，u（t）∈Δ2m的BCNs，可以看作是一個(gè)切換BNs：xt+1=Lσtxt，其中σt是切換信號(hào)，并且切換信號(hào)取值的集合為{δim，i=1，…，m}，因此很多控制問(wèn)題都在代數(shù)形式（80）下得到了很好的研究，包括可控性、可觀性、穩(wěn)定性以及最優(yōu)控制等.

38異步更新邏輯網(wǎng)絡(luò)

在異步更新邏輯網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)異步更新其狀態(tài).文獻(xiàn)[20]研究了在異步隨機(jī)更新的情況下用代數(shù)的方法確定隨機(jī)BNs的吸引子和吸引域；文獻(xiàn)[12]研究了異步BNs的同步和外同步問(wèn)題.

文獻(xiàn)[20]考慮了這樣的異步隨機(jī)BNs：它是由N個(gè)點(diǎn)組成的，并且從K個(gè)不同的點(diǎn)中得到輸入，i點(diǎn)在t時(shí)刻的狀態(tài)表示為Ai（t），用Aij（t）表示點(diǎn)i的第j個(gè)輸入，其中i∈{1，…，K}.那么節(jié)點(diǎn)i在確定時(shí)間t+1是根據(jù)邏輯函數(shù)fi更新的.因此，整個(gè)系統(tǒng)的更新模式可以用下列邏輯動(dòng)態(tài)方程來(lái)表示：

Ait+1=fiAi1t，…，AiKt，Ajt+1=Ajt，j∈1，…，N，j≠i.（81）

那么，令Mi為邏輯函數(shù)fi的結(jié)構(gòu)矩陣，令xt=Ni=1Ait，邏輯動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（81）就轉(zhuǎn)化為

Ait+1=Mixt，Ajt+1=Ajt，j∈1，…，N，j≠i.（82）

因此，將上面N個(gè)等式相乘得到下列等式：

xt+1=Lix（t），（83）

其中Li∈L2N×2N，i∈1，…，N被稱為網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)移矩陣，可以由矩陣Mi計(jì)算得出.

與同步BNs（30）相比，對(duì)于給定的一個(gè)同步隨機(jī)BN（81），在任一時(shí)刻的每個(gè)Li都是在N個(gè)可能的矩陣中選擇得到的.文獻(xiàn)[20]研究了異步更新網(wǎng)絡(luò)的定點(diǎn)、循環(huán)和吸引盆.

4當(dāng)前研究

41牽引控制

對(duì)于部分生物系統(tǒng)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)而言，可以通過(guò)控制所有節(jié)點(diǎn)來(lái)達(dá)到目標(biāo)，但也有可能部分輸入或控制部分節(jié)點(diǎn)就能獲取系統(tǒng)的特點(diǎn)以實(shí)現(xiàn)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的控制[216].一些實(shí)驗(yàn)告訴我們，很多生物系統(tǒng)就具有后面那種特點(diǎn)[217-218]，即控制部分節(jié)點(diǎn)或者輸入就可以實(shí)現(xiàn)全局的調(diào)控.文獻(xiàn)[64]首次利用牽引控制來(lái)研究BCNs的可控性和可達(dá)性，在基于牽引點(diǎn)被確定的假設(shè)下來(lái)研究可控性和可達(dá)性；文獻(xiàn)[42]通過(guò)巧妙的設(shè)計(jì)牽引控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)BNs的鎮(zhèn)定，這里是首次提出BNs的穩(wěn)定性，并且通過(guò)替換狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的某些列來(lái)得到一個(gè)新的BNs，這個(gè)新的BNs滿足穩(wěn)定性條件.另外，文獻(xiàn)[42]還提出了一個(gè)選擇牽引控制點(diǎn)和設(shè)計(jì)牽引控制器的算法.文獻(xiàn)[69]利用牽引控制來(lái)研究自治BCNs的可控性問(wèn)題；文獻(xiàn)[99]利用牽引控制來(lái)研究?jī)蓚€(gè)耦合BNs的同步問(wèn)題.

正如傳統(tǒng)BCNs（31）中所示，每個(gè)點(diǎn)都被一系列控制器所控制.然而，對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界基因網(wǎng)絡(luò)而言，可以通過(guò)控制關(guān)鍵的控制點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)完全控制，并不需要控制所有的點(diǎn).文獻(xiàn)[64]研究了單個(gè)控制器牽引控制下的BNs，其中的點(diǎn)i1，…，ir為被選中的牽引控制點(diǎn)，1≤r≤n.不失一般性，假設(shè)is=s，s=1，…，r.

x1t+1=f1x1t，…，xnt，u1t，xrt+1=frx1t，…，xnt，urt，xr+1t+1=fr+1x1t，…，xnt，xnt+1=fnx1t，…，xnt.（84）

從式（84）中可以看出，只有x1，…，xr點(diǎn)有控制輸入，xr+1，…，xn都沒(méi)有控制輸入.那么BCNs的可控性就在式（84）的框架下被研究，并且得到了關(guān)于牽引可控的充要條件.

此外，通過(guò)設(shè)計(jì)牽引控制器的BN鎮(zhèn)定已經(jīng)被研究過(guò)了，并且提出了幾種算法去決定牽引控制點(diǎn).例如，考慮BNs（30）全局穩(wěn)定到狀態(tài)δr2n，其系統(tǒng)代數(shù)形式為（34）和（35），Li等[42]提出了下列算法去實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定性.

算法1實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定到狀態(tài)δr2n

步驟1：將矩陣L的r列變?yōu)棣膔2n；

步驟2：令∏（r）k表示可以在k步之后控制到狀態(tài)δr2n的初始狀態(tài)集

合，∏r=∪2ni=1∏（r）k；

步驟3：找到所有δi2n∏r，i∈{1，2，…，2n}，將coli（F）變?yōu)榧?/p>

∏r中的任意一個(gè)元素；

在上述步驟結(jié)束后，矩陣F變?yōu)榫仃嚘?

在算法1之后，BNs為轉(zhuǎn)移矩陣Θ，并且這個(gè)新的BNs將全局穩(wěn)定到定點(diǎn)δr2n.在算法1中矩陣F變?yōu)榫仃嚘?，不妨設(shè)矩陣的F1，…，F(xiàn)k的第1，…，第m列變了，并且矩陣F1，…，F(xiàn)k變?yōu)?，…，k.之后，我們就可以設(shè)計(jì)一個(gè)牽引控制策略使得系統(tǒng)能夠鎮(zhèn)定到點(diǎn)δr2n：

x1t+1=u1x1t，…，xnt1

f1

x1t，…，xnt，xkt+1=ukx1t，…，xntkfk

x1t，…，xnt，xk+1t+1=fk+1x1t，…，xnt，xnt+1=fnx1t，…，xnt.（85）

狀態(tài)反饋控制為

u1t=g1x1t，…，xnt，ukt=gkx1t，…，xnt，（86）

其中M1，…，Mk為邏輯函數(shù)1，…，k的結(jié)構(gòu)矩陣，M1，…，Mk是反饋控制函數(shù)g1，…，gk 的結(jié)構(gòu)矩陣.結(jié)構(gòu)矩陣M1，…，Mk，M1，…，Mk可以通過(guò)求解下列方程得到：

M1M1I2nF1=1，MkMkI2nFk=k.（87）

文獻(xiàn)[99]研究了方程（87）的可解性，并且得出正面結(jié)論：（87）是可解的.這意味著形式如（85）的牽引控制策略可以將系統(tǒng)鎮(zhèn)定到點(diǎn)δr2n.更多的詳細(xì)過(guò)程，請(qǐng)參考文獻(xiàn)[42，64，69，99].

42函數(shù)擾動(dòng)

由于不可測(cè)量的變量和測(cè)量誤差的影響或者基因突變，BN中不可避免地存在擾動(dòng)影響，包括函數(shù)擾動(dòng)和狀態(tài)擾動(dòng).文獻(xiàn)[219]研究了基于環(huán)境敏感的PBNs可控性，考慮了隨機(jī)基因擾動(dòng)在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)都以一定概率發(fā)生；文獻(xiàn)[207]研究了PBNs的隨機(jī)基因擾動(dòng)，還提出了基因干預(yù)的概念，然后決定哪些基因是干預(yù)的最佳候選；文獻(xiàn)[31，220]利用移位函數(shù)擾動(dòng)來(lái)研究函數(shù)擾動(dòng)時(shí)BN的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的影響.此外，文獻(xiàn)[35]研究了多位擾動(dòng)，并基于此來(lái)分析多狀態(tài)循環(huán)如何變化；文獻(xiàn)[37]研究了一位擾動(dòng)和更新模式的變更對(duì)吸引子的影響.以文獻(xiàn)[37]為例，考慮BN（30），代數(shù)結(jié)構(gòu)為（34），一位擾動(dòng)的定義如下：

定義23[37]如果一個(gè)函數(shù)fi將第j（1≤j≤2n）個(gè)變量取反之后，這個(gè)函數(shù)的真值表只有一位變化，也就是說(shuō)將值1變?yōu)?，這個(gè)就稱為一位變化記為fi→f（j）i.

接下來(lái)的引理將得到（34）的代數(shù)形式.

引理2代數(shù)形式xt+1=Fx（t）變?yōu)閤t+1=Fx（t），其中矩陣F滿足：

colF=colkF，k≠j，I2i-1MncolkF，k=j.（88）

基于轉(zhuǎn)換代數(shù)形式：xt+1=Fx（t），文獻(xiàn)[37]研究了一位擾動(dòng)對(duì)不動(dòng)點(diǎn)和周期解的影響.更多關(guān)于函數(shù)擾動(dòng)、一位擾動(dòng)以及多位擾動(dòng)的詳細(xì)信息，請(qǐng)參考文獻(xiàn)[35，37，220].

43系統(tǒng)分解

文獻(xiàn)[118]研究了常形式的可觀和可控，并且在基于最大不可控子空間是正則的假設(shè)下，提出了Kalman分解形式.在沒(méi)有考慮最大不可控子空間的規(guī)則性假設(shè)的情況下，文獻(xiàn)[119]研究了關(guān)于BCNs的輸入分解問(wèn)題.考慮以下系統(tǒng)：

x1t+1=f1x1t，…，xnt，

u1t，…，umt，

xnt+1=fnx1t，…，xnt，

u1t，…，umt.（89）

BCNs（89）關(guān)于n-s階輸入是可分解的，如果存在一個(gè)邏輯坐標(biāo)轉(zhuǎn)換zi=gix1，…，xn，i=1，2，…，n使得（89）成為

z1t=1z1t，…，znt，u1t，…，umt，zst=sz1t，…，znt，u1t，…，umt，zs+1t=s+1z1t，…，znt，znt=nz1t，…，znt. （90）

關(guān)于最大階輸入的分解被稱為是關(guān)于輸入的最大分解.事實(shí)上，文獻(xiàn)[118]指出基于最大不可控子空間的規(guī)則假設(shè)，?？煽匦问胶完P(guān)于輸入的最大分解是相同的概念，給出了相應(yīng)的證明，并且提出了關(guān)于n-s階輸入的分解的等價(jià)條件.因此，我們不需要計(jì)算最大的不可控子空間并檢查規(guī)則性假設(shè).更有趣的是給出了完美等價(jià)頂點(diǎn)劃分的定義，基于此，BCNs（89）是關(guān)于n-s階輸入可分解的當(dāng)且僅當(dāng)（89）的誘導(dǎo)圖有完美等價(jià)頂點(diǎn)劃分.

此外，文獻(xiàn)[116]提出了依賴于規(guī)則性假設(shè)的關(guān)于輸入的分解問(wèn)題；文獻(xiàn)[120]研究了BCNs的Kalman分解，其中并沒(méi)有使用狀態(tài)空間分析的方法，也沒(méi)有考慮規(guī)則性假設(shè).

44軌跡控制

軌跡可控的主要目的是找到一個(gè)控制器能夠?qū)⒁粋€(gè)給定的初始狀態(tài)控制到一個(gè)理想軌跡狀態(tài).在很多現(xiàn)實(shí)的系統(tǒng)中，比如基于系統(tǒng)的藥物發(fā)現(xiàn)治療，在某些時(shí)候需要找到一個(gè)控制策略使得系統(tǒng)沿著給定的軌跡演化，而不只是簡(jiǎn)單地將一個(gè)給定的初始狀態(tài)控制到一個(gè)理想點(diǎn).例如，DNA首先要被轉(zhuǎn)錄成mRNA，然后mRNA被翻譯成蛋白質(zhì)，最后才是器官.基于STP的軌跡控制問(wèn)題已經(jīng)有一些不錯(cuò)的結(jié)果.例如，文獻(xiàn)[13]研究了時(shí)滯BCNs的軌跡控制問(wèn)題.

考慮如下帶時(shí)滯的BCNs：

x1t+1=f1u1t，…，umt，x1t-u+1，

…，xnt-u+1，x1t，…，xnt，

xnt+1=fnu1t，…，umt，x1t-u+1，

…，xnt-u+1，x1t，…，

xnt.（91）

令ut=mi=1uit，xt=ni=1xit，yt=ti=t-u+1xi，接下來(lái)我們給出帶時(shí)滯的BCNs軌跡控制的定義：

定義24考慮時(shí)滯BCNs（91），對(duì)于任意給定的初始軌跡（初始狀態(tài)序列）X0=（x1-u，x2-u，…，x（0））和目標(biāo)軌跡Xd=（x1d，x2d，…，xud），Xd被稱為是從X0經(jīng)過(guò)k步軌跡可控的（或者軌跡可達(dá)的），如果我們可以找到一個(gè)控制輸入序列Uk=（u0，…，u（k-1））使得X0可以被控制到目標(biāo)軌跡Xd，也就是Xk=Xd.

文獻(xiàn)[13]提出了關(guān)于軌跡可控的充要條件，并且基于此進(jìn)一步分析了狀態(tài)可控.文獻(xiàn)[13]注意到，對(duì)于帶時(shí)滯的BCNs（91）而言，如果軌跡可控，那么這個(gè)系統(tǒng)必然狀態(tài)可控；如果狀態(tài)不可控，那么軌跡必然不可控.

45輸出追蹤問(wèn)題

由于受一些狀態(tài)變量測(cè)量條件的限制，如果我們想得到所有的狀態(tài)變量，需要考慮輸出變量[41].在動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的研究中，輸出追蹤是一個(gè)重要的研究問(wèn)題.文獻(xiàn)[110]研究了PBCNs的輸出追蹤控制問(wèn)題；文獻(xiàn)[111]研究了帶有常信號(hào)的BCNs的輸出追蹤問(wèn)題；文獻(xiàn)[109]研究了輸出軌跡對(duì)于BCNs和幾個(gè)外部BNs產(chǎn)生的參考信號(hào)的調(diào)節(jié)問(wèn)題；文獻(xiàn)[112]研究了SBCN的輸出追蹤問(wèn)題.

文獻(xiàn)[111]研究了BCNs的輸出調(diào)節(jié)問(wèn)題，考慮如下形式的BCNs：

x1t+1=f1x1t，…，xnt，u1t，…，umt，xnt+1=fnx1t，…，xnt，u1t，…，umt，yjt=hjx1t，…，xnt，j=1，…，p.（92）

一個(gè)如下形式的參考BNs：

1t+1=1x1t，…，xnt，nt+1=nx1t，…，xnt，jt=jx1t，…，xnt，j=1，…，p.（93）

那么輸出調(diào)節(jié)問(wèn)題就是設(shè)計(jì)一個(gè)如下形式的狀態(tài)反饋：

u1t+1=g1x1t，…，xnt，1t，…，nt，umt+1=gmx1t，…，xnt，1t，…，nt， （94）

使得存在一個(gè)整數(shù)τ>0，對(duì)于任意的初始狀態(tài)x1t，…，xnt，1t，…，nt，t>τ使得

Yt=t，（95）

其中Yt=（y1t，…，ypt），t=（1t，…，pt）.

文獻(xiàn)[111]提出了一個(gè)關(guān)于輸出調(diào)節(jié)問(wèn)題可解的充要條件，并且還提出了一個(gè)有效的方法用于設(shè)計(jì)輸出調(diào)節(jié)控制器.

46符號(hào)動(dòng)力學(xué)

由于BCNs的所有軌跡都可以看成是在有限類型的BNs之間的切換，因此符號(hào)動(dòng)力學(xué)（SDs）的一些方法可以用于研究BCNs.文獻(xiàn)[29]定義并計(jì)算了ζ函數(shù)來(lái)表示BNs的循環(huán)的個(gè)數(shù)、循環(huán)的長(zhǎng)度以及來(lái)度量有多少控制的拓?fù)潇?通過(guò)用核網(wǎng)絡(luò)模型來(lái)對(duì)哺乳動(dòng)物的細(xì)胞變化進(jìn)行建模，之后利用文獻(xiàn)[29]中所得到的結(jié)果來(lái)研究調(diào)節(jié)的核網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)而得到哺乳動(dòng)物細(xì)胞周期.文獻(xiàn)[29]通過(guò)ζ函數(shù)得到了哺乳動(dòng)物的細(xì)胞周期和拓?fù)潇?

考慮系統(tǒng)（89）.給定集合A，在A中定義一系列帶有符號(hào)的串F，令XF表示不包含任何輸入串F的無(wú)限符號(hào)序列，定義切換操作σ：XF→XF .如果F是有限集，那么動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（XF，σ）被稱為是有限模式的切換（SFT）.文獻(xiàn)[29]提出了一個(gè)重要的定理如下：BCNs的所有狀態(tài)軌跡是集合δ12n，…，δ2n2n上的一步SFT.進(jìn)一步，BCN的ζ函數(shù)定義如下：

ζt=t2nPM1t-1，

其中PM=det（sI2n-M），M=L1∨L2∨…∨L2m，Li=Lδi2m.因此，BCNs的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可以用ζ函數(shù)來(lái)分析.另一方面，BCNs的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)定義如下：

hs=limj→∞1jlogAjs，

其中Ajs長(zhǎng)度為j的狀態(tài)軌跡集合，因此可以得到BN的拓?fù)潇貫?.

5總結(jié)

本文旨在介紹基于矩陣STP乘積的邏輯網(wǎng)絡(luò)和有限值系統(tǒng)的相關(guān)研究結(jié)果.首先，主要介紹了邏輯網(wǎng)絡(luò)的一些基本問(wèn)題的研究，包括可控性、可觀性、穩(wěn)定性、鎮(zhèn)定性、擾動(dòng)解耦、同步以及最優(yōu)控制等問(wèn)題.第1章介紹了矩陣STP，包括邏輯函數(shù)的代數(shù)表達(dá)和邏輯動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的代數(shù)表達(dá).第2章回顧了邏輯網(wǎng)絡(luò)的一些基本問(wèn)題的研究現(xiàn)狀，諸如可控性、可觀性、穩(wěn)定性、鎮(zhèn)定性、擾動(dòng)解耦控制、同步、最優(yōu)控制、大規(guī)模系統(tǒng)等.第3章回顧了廣義布爾（控制）網(wǎng)絡(luò)的一些研究，包括概率邏輯網(wǎng)絡(luò)、奇異邏輯網(wǎng)絡(luò)、混合值邏輯網(wǎng)絡(luò)、帶時(shí)滯的邏輯網(wǎng)絡(luò)、帶脈沖的邏輯網(wǎng)絡(luò)、帶切換的邏輯網(wǎng)絡(luò)等.第4章對(duì)最近關(guān)于邏輯網(wǎng)絡(luò)的一些研究進(jìn)行了歸納，比如牽引控制、系統(tǒng)分解、軌跡控制、輸出追蹤、符號(hào)動(dòng)力學(xué)等問(wèn)題.

本文的重點(diǎn)在于介紹基于STP方法來(lái)處理邏輯網(wǎng)絡(luò)和有限值系統(tǒng)的一些研究.矩陣STP方法能夠有效地將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，進(jìn)而對(duì)邏輯系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)深入的研究.本文的主要目的是為了給相關(guān)的研究人員提供較為詳細(xì)的信息，便于在STP的框架下來(lái)研究邏輯網(wǎng)絡(luò).盡管該領(lǐng)域已有了巨大的發(fā)展，但仍有許多非常值得研究的問(wèn)題.在幾年前，諸如可控性、可觀性、同步、穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定性等問(wèn)題都是很顯然的問(wèn)題，現(xiàn)在，關(guān)于這些問(wèn)題已經(jīng)有了很多好的結(jié)果.最近幾年，邏輯網(wǎng)絡(luò)也有了很多新的研究課題.本文介紹了一些邏輯網(wǎng)絡(luò)相關(guān)的新問(wèn)題，諸如牽引控制、輸出追蹤、系統(tǒng)分解等，它們都有待于進(jìn)一步深入研究.

希望本文所提到的內(nèi)容、例子和模型可以為剛進(jìn)入相關(guān)研究的人員提供一個(gè)好的綜述.

其他作者簡(jiǎn)介

李海濤，男，博士，教授，主要研究方向?yàn)橛邢拗迪到y(tǒng)的分析與控制.haitaoli09@gmail.com

劉洋，男，博士，教授，主要研究方向?yàn)槎鄰?fù)變與系統(tǒng)控制理論.liuyang4740@gmail.com

李芳菲，女，博士，副教授，主要研究方向?yàn)椴紶柨刂凭W(wǎng)絡(luò)、信息物理系統(tǒng)等.li_fangfei@163.com

曹進(jìn)德，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，IEEE Fellow，歐洲科學(xué)院院士，主要研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)與復(fù)雜系統(tǒng)、神經(jīng)動(dòng)力學(xué)與優(yōu)化、多智能體系統(tǒng)、布爾控制網(wǎng)絡(luò)等.jdcao@seu.edu.cn

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