阮士貴 魏俊杰 肖冬梅

摘要本文簡(jiǎn)要討論Gronwall不等式的研究進(jìn)展，并給出關(guān)于如下的一類非線性Volterra積分不等式的一個(gè)結(jié)果：

w（u（t））≤g（t）+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（t，s）∏mj=1Hij（u（s））Gij（maxs-h≤ξ≤su（ξ））ds.

關(guān)鍵詞非線性積分不等式；Gronwall不等式；Gronwall類不等式；Volterra積分微分不等式；Lyapunov第二方法

中圖分類號(hào)O178

文獻(xiàn)標(biāo)志碼A

1美國德克薩斯農(nóng)工大學(xué)康莫斯分校數(shù)學(xué)系，康莫斯，德州，75428

0關(guān)于Gronwall不等式

1919年，在研究一個(gè)帶參變量的微分方程系統(tǒng)時(shí)，Gronwall[1]給出如下的著名引理：

定理1（Gronwall原始不等式）對(duì)x0≤x≤x0+h，連續(xù)函數(shù)z=z（x）滿足不等式：

0≤z≤∫xx0[Mz+A]dx，

其中常數(shù)M和A非負(fù)，那么

0≤z≤AheMh，x0≤x≤x0+h.

在以后的24年里，Gronwall原始不等式都沒引起關(guān)注.1943年，Bellman[2]推廣了Gronwall原始不等式使得M可以是函數(shù)，并且不等式也被陳述得更為簡(jiǎn)單、明了.這個(gè)結(jié)果被稱之為GronwallBellman不等式，在許多文獻(xiàn)中均可查到，如文獻(xiàn)[26].

定理2（GronwallBellman不等式）已知u（t）和f（t）是定義在[a，b]區(qū)間上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，c是非負(fù)常數(shù)，如果

u（t）≤c+∫taf（s）u（s）ds，a≤t≤b，

那么

u（t）≤ce∫taf（s）ds，a≤t≤b.

1958年，Bellman[7]進(jìn)一步改進(jìn)了上述定理，使得c可以是一個(gè)非負(fù)非增連續(xù)函數(shù).

定理3（Bellman不等式）如果y（t）是正的，且單調(diào)增，x（t），z（t）≥0，那么

x（t）≤y（t）+∫tαx（s）z（s）ds，

蘊(yùn)含著

x（t）≤y（t）e∫tαz（s）ds，α≤t≤β.

今天看，以上的3個(gè)定理都較為粗糙，因?yàn)槎ɡ淼年愂霾粔蛲暾l件還可以改進(jìn).作為對(duì)前面3個(gè)定理的統(tǒng)一推廣，1966年，Halanay在專著[8]中，給出了下面的定理4.這個(gè)定理被廣泛引用，如文獻(xiàn)[9].其條件比以上3個(gè)定理都要弱一些.這里，我們使用HaleLunel[1993，p15]的陳述.

定理4如果u和α是定義在[a，b]區(qū)間上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，

學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，9（4）：391394 Journal of Nanjing University of Information Science and Technology（Natural Science Edition），2017，9（4）：391394

王廷秀.一類非線性Volterra積分不等式.

WANG Tingxiu.

A nonlinear Volterratype integral inequality.

β≥0在[a，b]區(qū)間上可積，且滿足

u（t）≤α（t）+∫taβ（s）u（s）ds，a≤t≤b，

那么

u（t）≤α（t）+∫taβ（s）α（s）e∫tsβ（u）duds，a≤t≤b.

此外，如果α非減，那么

u（t）≤α（t）e∫taβ（s）ds，a≤t≤b.

不像前面3個(gè)定理，定理4只要求β非負(fù).當(dāng)然，如果u是非負(fù)的，α也相應(yīng)必須非負(fù).Gronwall不等式在微分方程有界性、穩(wěn)定性、存在性及其他定性性質(zhì)的研究中有了大量、廣泛的應(yīng)用，對(duì)Gronwall不等式的應(yīng)用、推廣、研究爆發(fā)性增長(zhǎng)，并產(chǎn)生了許多新的研究方向.1998年出版的Pachpatte等的專著[6]，收集、總結(jié)了在此之前對(duì)Gronwall不等式的研究、推廣、應(yīng)用.在眾多推廣中，本文討論下面的推廣.2000年，Lipovan[10]研究了

u（t）≤k+∫α（t）α（t0）f（s）w（u（s））ds.

2012年，Bohner等[11] 研究了下面的不等式：

ψ（u（t））≤k+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（s）up（s）ωi（u（s））ds+∑mj=1∫βj（t）βj（t0）gj（s）up（s）j（maxξ∈[s-h，s] u（ξ））ds. （1）

2015年，Wang[12]推廣了不等式（1），用更一般的復(fù)合函數(shù)Hij（u（s））取代up（s），用

fi（s）up（s）ωi（u（s））j（maxξ∈[s-h，s] u（ξ））

合并了兩個(gè)級(jí)數(shù)，研究了下面的不等式：

w（u（t））≤K+

∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（s）∏mj=1Hij（u（s））Gij（maxs-h≤ξ≤su（ξ））ds. （2）

本文對(duì)不等式（2）進(jìn)一步加以推廣，使得K可以是函數(shù)，fi（s）可以是fi（t，s）.從而，我們研究Volterra不等式：

w（u（t））≤g（t）+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（t，s）∏mj=1Hij（u（s））Gij（maxs-h≤ξ≤su（ξ））ds. （3）

1一類非線性Volterra積分不等式

我們研究不等式（3），并得到一個(gè)結(jié)果.由于不等式（3）涉及7類函數(shù)，為此，我們需要如下6個(gè)條件和記號(hào)：已知h>0，t0，T為常數(shù)，0≤t0

（A1） g（t）：[t0，T）→[0，∞）為連續(xù)非減函數(shù)；

（A2） αi∈C1（[t0，T），R+）非減，并且αi（t）≤t，t∈[t0，T），i=1，2，…，n；

（A3） fi（t，s）∈C（[t0，T）×[t0，T），R）對(duì)t為連續(xù)非減函數(shù)，i=1，2，…，n；

（A4） Hij，Gij∈C（R+，R+）非減，且當(dāng)x>0，Hij（x）>0，Gij（x）>0；

（A5） w∈C（R+，R+）為嚴(yán)格遞增函數(shù)，w（0）=0，limt→∞w（t）=∞；

（A6） u∈C（[-h，T），R+）.

定理5如果u（t）滿足不等式（3）以及以上6個(gè)條件，從（A1）—（A6）.那么不等式（3）的解是：

u（t）≤w-1W-1W（g（t））+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（t，s）ds，t∈[t0，T）.

其中

W（r）=∫rr01Hm（w-1（s））Gm（w-1（s））ds，0≤r<∞，

r0是一個(gè)合適的非負(fù)常數(shù)，使得W（r）有定義.

H（r）=max1≤i≤n，1≤j≤m{Hij（r）}，

G（r）=max1≤i≤n，1≤j≤m{Gij（r）}.

證明取η為一任意常數(shù)滿足t0≤t≤ηw（u（t））≤g（η）+

∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）∏mj=1Hij（u（s））Gijmaxs-h≤ξ≤su（ξ）ds.

對(duì)t0≤t≤η，定義上面的不等式的右邊為Z（t），即

Z（t）=g（η）+

∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）∏mj=1Hij（u（s））Gij（maxs-h≤ξ≤su（ξ））ds.

不難看出，Z（t）非減，且0≤w（u（t））≤Z（t），t∈[t0，η].

由（A5），w-1存在且具有和w相同的性質(zhì).因此，

u（t）≤w-1（Z（t）），t0≤t≤η.

此外，

maxs-h≤ξ≤su（ξ）≤maxs-h≤ξ≤sw-1（Z（ξ））=w-1（Z（s）），t0≤s≤η.

因此，對(duì)t∈[t0，η]，

Z（t）≤g（η）+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）∏mj=1

Hij（w-1（Z（s）））Gij（w-1（Z（s）））ds≤

g（η）+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）∏mj=1

H（w-1（Z（s）））G（w-1（Z（s）））ds≤

g（η）+∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）

Hm（w-1（Z（s）））Gm（w-1（Z（s）））ds.

再定義上面的不等式的右邊為R（t），即：

R（t）=g（η）+

∑ni=1∫αi（t）αi（t0）fi（η，s）Hm（w-1（Z（s）））Gm（w-1（Z（s）））ds，t0≤t≤η

證畢.

2應(yīng)用

我們的結(jié)果可以很容易地應(yīng)用到微分方程的穩(wěn)定性理論中.例如，我們考慮滯后型泛函微分方程

dudt=F（t，ut）， （4）

在用Lyapunov第二方法研究微分方程穩(wěn)定性時(shí)，如下條件經(jīng)?？梢姡?/p>

1） W1（|（0）|）≤V（t，）2） W1（|（0）|）≤V（t，）

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