蔣智東

[摘 要] 本節(jié)課通過對二元（多元）函數(shù)的最值問題中條件等式和目標函數(shù)式的認知與解讀，在相同背景條件下，促使學生多角度、多層次透視問題，形成對問題的多元理解，深化對知識和方法本質(zhì)的理解. 學生的能力也有一個逐層提高的過程，既有基本方法的熟化，也有類比、聯(lián)想等的建構(gòu)提升，更有函數(shù)與方程等思想方法的延拓.

[關鍵詞] 多角度透視問題；多元理解；多層次能力提升

2016年4月1日，蘇州市教科院在江蘇省梁豐中學舉行了高三數(shù)學二輪復習研討活動，本人開設了一節(jié)“微專題”《二元（多元）函數(shù)最值問題》的展示課. 本節(jié)課通過對二元（多元）函數(shù)的最值問題中條件等式和目標函數(shù)式的認知與解讀，旨在相同背景條件下，促使學生多角度、多層次透視問題，形成對問題的多元認識，深化對知識和方法本質(zhì)的理解，找到解決問題的不同途徑. 在這一過程中，學生的能力有一個逐層提高的過程，既有基本方法的熟化，也有類比、聯(lián)想等的建構(gòu)提升，更有函數(shù)與方程等思想方法的延拓，有效提升學生對此類問題的處理能力.

基本情況

授課班級為四星級學校強化班，學生具有良好的學習習慣和解題能力.

教學目標？搖

（1）二元（多元）函數(shù)的最值問題典型題解法探討，進一步掌握利用函數(shù)方法、基本不等式、判別式法、幾何意義等求目標式的最值，在學習中體會、整理，在整理、體會中走向內(nèi)化；

（2）通過消元、換元、減元、主元、整體結(jié)構(gòu)建構(gòu)等手段，實現(xiàn)表象與本質(zhì)的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，體會數(shù)學學習中的轉(zhuǎn)化思想.

教學重點

掌握利用函數(shù)方法、基本不等式、判別式法、幾何意義等求二元（多元）函數(shù)最值的方法.

教學難點 不同方法的認識與形成.

本節(jié)課通過搜集整理，設計問題、課前預習，獨立思考、反饋信息，設計教學、課堂交流，互學互賞等環(huán)節(jié)，展示思維，引導學生多角度透視問題，多層次提升能力.

教學過程

課前導語 解題分析起步于對問題的有效感知與觀察，只要善于變換角度，仔細觀察，抓住自己熟悉的題目特征，聯(lián)想大腦里儲存的知識與技能信息，就能較快地形成解題方案，今天就讓我們從一道典型的求二元（多元）函數(shù)最值的題目說起.

問題呈現(xiàn)1：若a>0，b>0，且+=1，則a+2b的最小值為_______.

學生分組討論，挖掘多種解法，用實物投影儀演示并交流想法.

生1：兩個變量的問題，從結(jié)構(gòu)特點上講很容易想到基本不等式，有整式有分式的結(jié)構(gòu)可利用常值代換通過相乘的方法化為“倒數(shù)和形式”.

由+=1，得a+2b=（a+2b）·+=+

=+

=2-++≥+.

師：上述過程中，你有什么感受？

生1：實施“1”的代換后，需要進行兩次“倒數(shù)和形式”的建構(gòu)，有驚無險.

師：這倒是與以往解決這類題目有所不同.

生2：如果先用2a+b，b+1來表示a+2b，構(gòu)造一次就可以了.

a+2b=（2a+b）+（b+1）-，所以就轉(zhuǎn)化為求（2a+b）+（b+1）的最小值了，

（2a+b）+（b+1）·+=2++≥2+，

所以a+2b≥+.

生3：可以通過換元（整體代換），就能轉(zhuǎn)化為我們較為熟悉的問題.

令x=2a+b，y=b+1，則有x>0，y>1，且+=1. 解得a=（x-y+1），b=y-1，

所以a+2b=（x+3y）-.

而x+3y=（x+3y）+=4++≥4+2.

師：剛才三位同學的切入點是一致的，都是通過常值“1”的代換，將目標函數(shù)化為“倒數(shù)和形式”，然后利用基本不等式來求最值，形式上一個比一個顯得簡潔.

設計意圖：依據(jù)學生已有的經(jīng)驗基礎，在學情反饋的基礎上選擇學生中大眾化的方法，采取由學生主講和補充的方法來促進學生優(yōu)化自己的解題方案，并且從中認清方法和問題的本質(zhì)，提升思維能力.

師：其實這個問題的解決方法是多樣的，同學們還可以從條件等式上再來做些觀察.

生4：遇到兩個非零實數(shù)相加為定值的時候可以想到三角換元（減元），繼續(xù)構(gòu)造倒數(shù)和形式.

令=cos2θ，=sin2θ，b=-1，a=-+1，

a+2b=-+1+-2=·+·-

=·+·-=++≥+.

生5：已知兩個變量的等式，也可用等量代換來實現(xiàn)消元.

+=1，所以=，所以2ab+b2=1+b，

所以a=-b++1，

a+2b=-b++1+2b=b++≥2+=+.

設計意圖：引導學生將思考觀察的重點轉(zhuǎn)移到條件等式上來，繼續(xù)挖掘利用基本不等式求最值的方法.

師：上面的各種方法，無論是從條件等式出發(fā)，還是從目標函數(shù)出發(fā)，最后都是在利用基本不等式求最值，那么，對于條件等式，我們還有沒有一些其他的認識呢？

生6：將問題中多個變量中的一個看作變量（主元），將其他的量看作參量，運用函數(shù)、不等式、方程等相關知識來解決問題.

由+=1得b2+2ab-b=1. 令a+2b=t，則a=t-2b.

由a>0，b>0，有t>a且t>2b.

由b2+2ab-b=1，有3b2+（1-2t）b+1=0. 當上述關于b的方程有正根時，令f（b）=3b2+（1-2t）b+1，因為f（0）=1>0，所以有（1-2t）2-12≥0，->0，解得：t≥+，經(jīng)檢驗滿足t>a且t>2b（教師幫助完善）.

生7：多變量的問題，也可以從函數(shù)的角度來理解，特別是二元一次的線性函數(shù).

把a看作b的函數(shù)，函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)遞減、過定點1，，圖像如圖1：（因為a，b為正）

圖1

z=a+2b，所以a=-2b+z，表示此直線的縱截距的最小值，即a=-2b+z與a=·-b++1相切時最小.

a′=-1-，所以-1-= -2，b=，a=-++1，

a+2b=+-++1=+（教師幫助完善）.

設計意圖：學生往往會囿于題型固有的模式，套用一些成熟的方法，教師引導學生從對條件等式的再認識入手，尋求新的方法.

問題呈現(xiàn)2：已知a，b，c>0，且a（a+b+c）+bc=4，則2a+b+c的最小值為________.

學生分組討論，教師巡視，然后交流展示.

生8：已知為二次式，所求為一次式，故有（2a+b+c）2=4a2+b2+c2+4ab+4ac+2bc=4（a2+ab+bc+ac）+b2+c2-2bc=4×4+（b-c）2≥16. 因為a，b，c>0，所以2a+b+c≥4，當且僅當b=c時取等號. 所以2a+b+c的最小值為4.

生9：可以用消元法. 由已知得：c=，

所以，2a+b+c=2a+b+=（a+b）+≥4，當且僅當a+b=2，a+c=2，即b=c時取等號.

生10：也可以用配湊法. 已知可化為（a+b）（a+c）=4，所以可配成2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=4，當且僅當a+b=a+c，即b=c時取等號.

設計意圖：通過典型題目，向?qū)W生介紹解決三元函數(shù)問題的基本策略──減元、轉(zhuǎn)化.

課堂小結(jié)

師：我們今天研究了一類二元（多元）函數(shù)最值問題的解法，這類問題有什么特征？

生：二元函數(shù)題目條件是兩個“變量”的“倒數(shù)和”是定值，問題是求兩個變量的線性目標函數(shù)的最值；三元函數(shù)題目條件是二次式，而目標函數(shù)是一次式.

師：都分別用到了哪些方法？

生：對于二元函數(shù)，上面例題展示的方法有：

（1）？搖通過整體代換、常量代換、三角代換，利用基本不等式來求最值；

（2）？搖把“變量”的“倒數(shù)和”是定值的形式，化歸為函數(shù)表達式，可以用基本不等式或是函數(shù)方法結(jié)合二元線性目標函數(shù)的幾何意義求最值；

（3）目標式是二元線性目標函數(shù)，還可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解問題，利用判別式法求最值.

對于三元函數(shù)，二次與一次的對接以及通過消元達到減元是基本方法，而配湊法屬于較高層次的要求.

師：二元（多元）函數(shù)的最值問題的解決方法主體上就是通過消元、減元、換元、主元、整體結(jié)構(gòu)的建構(gòu)等手段進行轉(zhuǎn)化. 大體上可分為數(shù)與形兩類，從數(shù)的角度看，多將目標式化歸為一元或二元函數(shù)，利用函數(shù)方法、基本不等式或方程等方法求最值；從形的角度則多從條件出發(fā)尋求目標式或是變形式的幾何意義，如斜率、截距、面積等來求解.

教學反思

1. 在精選例題中考慮提高效率

二元（多元）函數(shù)的最值問題內(nèi)涵豐富、方法多樣. 變化多源于對條件等式和目標函數(shù)式的不同認知與解讀. 問題的解決基本上都是通過三種代換（整體代換、常量代換、三角代換）轉(zhuǎn)化，利用基本不等式求解，或是直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程層面解決. “微專題”復習課應具有回顧、整理、拓展加深的要求，因此，設計條件固定、解法多樣（涵蓋面廣）的題目，可以避免一題一法，減少不同背景條件，可以促使學生在熟悉的條件下，進行多角度、深層次的探究和思考. 同時，這些題目具有一題多解功能，通過一題多解，發(fā)散學生思維. 結(jié)合維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，選配這些例題不在于“訓練”和“強化”已經(jīng)形成的內(nèi)部心理機制，而在于激發(fā)、鼓勵形成目前還不存在的心理機制，使學生可以“跳一跳，摘到桃”.

2. 在問題探究中考慮過程體驗

課堂教學以問題為中心、以問題為線索，采用“問題+探究”的教學模式.要關注學生獲得知識的渠道，引領學生在探究學習過程中獲得基礎知識和基本技能；要關注學生獲得知識的形態(tài)，引領學生在自己動手實踐“做數(shù)學”的過程中，建構(gòu)數(shù)學知識的意義，獲得數(shù)學活動的體驗，體驗成功的喜悅. 在這一過程中，學生個人的思考有時是不全面的，甚至是不深入、不到位的，教師要適時引導學生相互交流、集思廣益，通過相互討論完善方法. 教師更重要的價值在于：在學生有困難時能給予恰如其分的點撥，能以恰當?shù)姆绞揭龑W生繼續(xù)思考，把教師對問題的理解轉(zhuǎn)化為學生的理解，真正實踐教師以啟為導、學生因思而悟的境界.

3. 在多元理解中考慮能力收益

在數(shù)學解題中，對于同一數(shù)學題目，可以從不同側(cè)面或是選擇不同方向來進行刻畫表征，引導學生多角度、多層次透視問題，形成對問題的多元理解，進而形成與之相應的不同解法，深化對知識和方法本質(zhì)的理解. 在這一過程中，學生的能力也有一個逐層提高的過程，既有基本方法的熟化，也有類比、聯(lián)想等的建構(gòu)提升，更有函數(shù)與方程等思想方法的延拓，開闊了學生的思路，豐富了學生的認知，拓寬了學生的視野，學生在能力方面獲得了多層次提升，數(shù)學素養(yǎng)得到了切實的培養(yǎng).

4. 在歸納反思中考慮深化升華

本節(jié)課全景式地展示了基本不等式應用的框架，詮釋了基本不等式應用的三重境界，即知識—方法—思想. 課堂教學既注重了揭示思維過程，更注重揭示真諦. 教師積極引導學生進行課中和課后的反思，抓住知識結(jié)構(gòu)和思想方法做歸納總結(jié)、點撥提高. 反思是學生知識理解深化的必經(jīng)之路，是學生理解力提升的必要過程，是創(chuàng)新思維能力發(fā)展的關鍵步驟. 通過反思總結(jié)可以進一步應用知識、實踐方法、感悟思想、完善素養(yǎng)、提升能力. 幫助學生從感性認識上升到理性認識，再用理性認識指導感性認識，產(chǎn)生新舊知識方法的有意義的同化作用.