華曉如

[摘 要] 論文基于問題教學法和“說數(shù)學”理論，通過一節(jié)《零點存在性定理》的教學實踐，論述如何在開展教學對話中，以達到“以問誘思，以說促學”的教學效果.

[關鍵詞] 以問誘思；以說促學；教學對話

古代中國孔子奉行“不憤不啟，不悱不發(fā)”，在教學中對學生循循善誘、相機啟發(fā). 在古希臘，蘇格拉底運用“精神助產(chǎn)術”通過“提問—回答—反詰”的模式幫助學生一步步逼近正確的結論. 這些都是進行教學對話的典范. 本文筆者從一節(jié)“零點存在性定理”的教學實踐出發(fā)，通過開展教學對話，以達到“以問誘思，以說促學”的教學效果，讓學生體會到知識的來源，建構自己的知識框架，深入理解問題.

案例描述

1. 片段1：高一新授課“函數(shù)零點存在性定理”的講解

開始教師先簡單講解了函數(shù)零點的概念和幾道求函數(shù)零點的練習題，為主體知識的講解熱身. 接著，教師開始提出一系列問題：

問題1：單調函數(shù)有幾個零點？請舉例說明.

問題2：假設函數(shù)f（x）在[a，b]上的圖像是一段連續(xù)不斷的曲線，請發(fā)揮你的想象力，作出符合以下要求的函數(shù)圖像.

（1）f（a）·f（b）>0且f（x）在（a，b）上只有一個零點.

（2）f（a）·f（b）>0且f（x）在（a，b）上不止一個零點.

（3）f（a）·f（b）>0且f（x）在（a，b）上無零點.

（4）f（a）·f（b）<0且f（x）在（a，b）上只有一個零點.

（5）f（a）·f（b）<0且f（x）在（a，b）上不止一個零點.

（6）f（a）·f（b）<0且f（x）在（a，b）上無零點.

問題3：觀察上圖你可以得出什么結論？

問題拋出去后，學生立即展開思考和熱烈討論并陳述自己的所得. 問題1：大部分同學能異口同聲地說出答案“一個或零個”，并舉出了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等例子. 問題2：陸續(xù)有學生走上講臺畫出了（1）～（5）問的圖像，第（6）問學生猶豫不決，但最終畫出了反比例函數(shù)的圖像.

這時，教師進一步引導學生說出在解決上述問題中的發(fā)現(xiàn).

學生A：“圖（1）～（3）可以發(fā)現(xiàn)當區(qū)間端點函數(shù)值同號時函數(shù)在該區(qū)間有可能存在零點，也有可能不存在零點，即使存在也無法斷定函數(shù)有幾個零點. ”

教師馬上給予評價：“很好，能夠將圖（1）～（3）歸為同一類型‘區(qū)間端點函數(shù)值同號來分析，并得到了準確的結論，請大家繼續(xù)觀察圖（4）～（6）. ”

課堂上馬上有不少學生對圖（6）提出質疑：圖（6）所作的反比例函數(shù)不符合“假設函數(shù)f（x）在[a，b]上的圖像是一段連續(xù)不斷的曲線”的要求，所作圖像是無效的.

教師：“既然作不出滿足要求的圖像，這說明什么呢？”“區(qū)間端點函數(shù)值異號函數(shù)在該區(qū)間上必定有零點.” 在教師和同學們的提醒，學生C更準確地表述出了他的觀點：“一個函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，并且區(qū)間端點函數(shù)值異號，則函數(shù)在該區(qū)間上必定有零點.” 準確的表述獲得了教師的贊許和同學們的掌聲. 再引導學生把問題1和問題2聯(lián)系起來，學生D馬上發(fā)言：“單調函數(shù)有一個或零個零點，如果區(qū)間端點函數(shù)值同號，就不可能有零點了；但如果區(qū)間端點函數(shù)值異號，那就肯定存在一個零點！”教師立即高度肯定該同學：“一不小心就把函數(shù)零點存在性定理給講出來了！”于是，在教師設置的一系列相關問題中，學生思考問題，說出自己的看法和觀點的過程中，自然而然地對這節(jié)課的難點“零點存在性定理”的條件、結論有了深刻的認識.

2. 片段2：“函數(shù)零點存在性定理”的運用

教師給出例題“求函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的零點的個數(shù)”，并設問題1：能否轉化為方程的根，通過解方程來得到答案？問題2：題目要核心解決的是什么問題？有沒有快速解決的辦法？問題3：題目給出的函數(shù)具有什么特性？能不能想象一下函數(shù)圖像的樣子？問題4：作為一道解答題，我們應該怎樣進行邏輯說理？

學生E：“無法通過解方程解決，也沒有必要，因為題目的核心問題是零點個數(shù)，而非零點是什么. 但是可以參考解方程的過程，把lnx+2x-6=0轉化為lnx=6-2x，從而通過作出等式左右兩邊的圖像快速得到答案是1個.”設置問題1和問題2的目的已經(jīng)達到：強調了審題的重要性和解題方法的靈活性. 問題3的解答也很順利，學生發(fā)言踴躍：“在（0，+∞）上連續(xù)不斷地遞增.”并自然地聯(lián)想到了可以運用剛學的“零點存在性定理”來解答此題. 再繼續(xù)引導學生回顧定理內(nèi)容，整理解題思路，最后學生F總結發(fā)言：“解題過程由三部分組成，要說出函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的單調性和找到兩個異號的函數(shù)值.”教師補充說明：“單調性必須給出嚴格的證明，尋找異號函數(shù)值是個難點，要適當?shù)胤趴s處理.”最后學生開始動筆答題，從而水到渠成.

3. 片段3：零點問題的拓展

教師給出例題（2009年天津高考題改編）：設函數(shù)f（x）=x-lnx（x>0），分別討論y=f（x）在區(qū)間，1和（1，e）內(nèi)的零點個數(shù).

此時，不用教師多說，學生已經(jīng)能夠利用解決上一題的成功經(jīng)驗“圖形初判”快速得到答案，并利用“零點存在定理”順利地解答“在（1，e）存在一個零點”的問題. 但在區(qū)間，1上卻遇到了困難，不少學生開始抱怨“定理不管用了”. 教師鼓勵學生把觀察到的現(xiàn)象說出來，學生G發(fā)言：“在區(qū)間，1上，函數(shù)f（x）=lnx的圖像一直在x軸下方，而g（x）=x的圖像在x軸上方，怎么可能有交點呢？這不是一目了然嗎？還需要邏輯說理嗎？”學生H立馬補充：“對哦！那說明lnx

案例分析

本節(jié)課的主體結構是依靠教師一環(huán)扣一環(huán)的提問來構建的，以此來不斷地促進學生主動思考，尋求解決問題的辦法.

1. 以問誘思

以問誘思，關鍵在于“誘”，核心在于“導”，結果在于“發(fā)現(xiàn)”. 縱觀整個教學案例，所有的設問都是想達到讓學生明白“為什么這樣”“可以怎么解決”的目的.

（1）首先，好的提問設計“可以激發(fā)學習者去解釋現(xiàn)象、事實以及它們之間的聯(lián)系”. 設問要服務于教學內(nèi)容，巧拋繡球，突破重點，表現(xiàn)教師對教材的深入研究. 比如片段1中通過擺出若干問題，層層誘導，都是為了幫助學生發(fā)現(xiàn)“區(qū)間端點函數(shù)值同異號與零點是否存在”之間的關系，使定理的內(nèi)容自然呈現(xiàn).

其次，好的提問設計“可以激發(fā)學習者去探索概念、定理實際運用的方法”，它必須富有啟發(fā)性、針對性，能解決教學難點. 案例中的片段2和片段3通過層層設問，啟發(fā)學生學會審題、破題，抓住解題的關鍵，整理解題的步驟，將題型總結歸類，實現(xiàn)了“一題多用”，觸類旁通.

最后，好的提問設計應該是設計好一系列問題，要“收放自如”. “放”指由一個中心問題向四周輻射展開，比如文中的案例中心問題是“零點存在性定理”，由此展開的問題包括“定理的內(nèi)容”“定理的運用”“定理的拓展”；“收”指最后要設置讓學生可以由表及里，進行總結歸納的問題. 三個片段均有這樣的設置，讓學生既有所悟，又能及時梳理.

2. 以說促學

以說促學，重點在于“說得通”. “說數(shù)學”提高了學生的參與度，尤其是智力參與. 比如片段1，學生在談論中互相比對，就能夠知道自己畫出來的圖像是否滿足要求，從而及時修正，一步步接近定理，最后提煉出定理的內(nèi)容，這過程就是創(chuàng)造型和反思型的智力參與過程. 在片段2中討論解題步驟時，又是一種操作型的智力參與. 在片段3中，尋找解決無零點問題的辦法也是在學生討論的過程中和不斷地反思中找到的整節(jié)課的生成. 在“說”的過程中，“培養(yǎng)了學生的注意力、觀察力、想象力和語言表達能力”，即促進了學生在數(shù)學課堂上的智力參與.

學生在“說不通”或者“說不下去”的時候最容易暴露錯誤，此時也最容易糾正錯誤. 相比課后批改作業(yè)、測驗，“說數(shù)學”是一種最直接、最高效的教學反饋手段. 在上述案例中，有的學生就由于忽略定理使用的條件，導致作圖錯誤，但被教師和同學及時糾正；有的學生在解決無零點問題時偏離了正常軌道，也在大家的幫助下找到了正確的解題途徑.

3. 課堂上教師的“問”和學生的“說”必須緊密地結合起來

教與學的本質是互動，其核心是思維互動，而問答具有促動思維的功能. 有了語言的交流，我們就有了探查思維的途徑. 本文倡導的“問”并不是單獨一個問題，而是通過設置一系列問題去搭建一節(jié)課的框架；本文倡導的“說”，也不是局限于回答，而是盡量讓學生暢所欲言. 以問誘思，以說促學，對教師提出了更高的要求，也給了學生更多的表達機會，教師的肯定、幫助，學生在能力提高的同時，精神層面也更容易獲得滿足，對人格的完善也起到了促進作用.