董香鳳

[摘 要] 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要各種手段交替進(jìn)行，需要嚴(yán)密的邏輯證明，需要感性的直觀認(rèn)識(shí)，需要操作的實(shí)驗(yàn)感知，需要巧妙的猜想歸納等. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)手能力來(lái)說(shuō)，都有益.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；動(dòng)手；直觀；頻率；統(tǒng)計(jì)

眾所周知，數(shù)學(xué)教學(xué)有很多呈現(xiàn)方式，特別是對(duì)于剛剛進(jìn)入初中學(xué)習(xí)的學(xué)生而言，多元化的學(xué)習(xí)方式恰恰是最需要的. 從小學(xué)到初中，學(xué)生思維特征轉(zhuǎn)換尚未完全實(shí)現(xiàn)，學(xué)生可以接受一定的抽象數(shù)學(xué)，但又不能完全達(dá)到理解的地步. 大多數(shù)初中數(shù)學(xué)完成了從感性向不斷理性證明的過(guò)程，因此各種平面幾何的證明、二次函數(shù)的分析大大降低了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性. 筆者認(rèn)為，需要在適當(dāng)環(huán)節(jié)加入多元的學(xué)習(xí)手段，通過(guò)非形式化的手段、具象化的展示，將這種形式化的論證過(guò)程通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)加以滲透，以提高教學(xué)的有效性.

深化知識(shí)

很多數(shù)學(xué)核心概念都是經(jīng)過(guò)上百年甚至更久的時(shí)間形成的，它不可能在短時(shí)間內(nèi)讓學(xué)生迅速完全理解，并掌握它所有的內(nèi)涵. 為了加快學(xué)生對(duì)這樣的核心概念的理解，筆者認(rèn)為可以設(shè)計(jì)一些具備概念外延、表象的情境，來(lái)加深學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)概念的理解，進(jìn)而感受概念.

案例 復(fù)習(xí)“函數(shù)”概念及其相關(guān)問(wèn)題，多元復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)，加強(qiáng)概念理解，提高問(wèn)題解決能力.

函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的概念，是最核心的數(shù)學(xué)概念. 初中數(shù)學(xué)對(duì)函數(shù)的表述是以變量和變量的關(guān)系進(jìn)行總結(jié)的，這種關(guān)系對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)感受并不到位. 筆者對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了重新設(shè)計(jì)，從三個(gè)層面層層遞進(jìn)地推進(jìn)對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)，從而提高函數(shù)教學(xué)的有效性和深度.

設(shè)計(jì)1 （視頻實(shí)驗(yàn)）用視頻展示如何將大米加工成各種各樣的食品，如面粉、糕點(diǎn)、面條、包子等.

設(shè)計(jì)意圖 函數(shù)關(guān)系最根本的體現(xiàn)是變量與變量之間的關(guān)系，如何讓學(xué)生首先從感性認(rèn)識(shí)中體會(huì)這種變量與變量的關(guān)系呢？筆者設(shè)計(jì)的是利用數(shù)學(xué)視頻實(shí)驗(yàn)將同樣的大米不斷地放入不同的加工機(jī)，產(chǎn)生各種不同的制成品. 學(xué)生容易理解這樣的生活情境，同時(shí)又心存疑惑：為什么要放這樣的視頻呢？這與今天要學(xué)習(xí)的函數(shù)知識(shí)有關(guān)系嗎？這一視頻實(shí)驗(yàn)在向?qū)W生不斷滲透一個(gè)知識(shí)信號(hào)：任何函數(shù)都是以x（數(shù)）為自變量，經(jīng)過(guò)不同的對(duì)應(yīng)法則（加工機(jī)）得到不同的新的y（因變量）的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.

設(shè)計(jì)2 （圖形實(shí)驗(yàn)）請(qǐng)學(xué)生在學(xué)案中繪制正確的函數(shù)圖像若干幅（如圖1、圖2、圖3）.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)函數(shù)圖像“形”這一特點(diǎn)，利用學(xué)生在學(xué)案上繪制的函數(shù)圖像，課堂中直接利用幾何畫(huà)板將學(xué)生繪制的、有效的、有價(jià)值的函數(shù)圖像給以呈現(xiàn). 筆者將這一設(shè)計(jì)稱之為教學(xué)中的圖形實(shí)驗(yàn)，其意圖是通過(guò)函數(shù)圖像中“形”這一顯著特點(diǎn)，讓學(xué)生充分理解函數(shù)概念闡述的變量與變量之間的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系，即每一個(gè)自變量x對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)因變量y. 在這一圖形實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)，有不少學(xué)生提供了有創(chuàng)新意義的函數(shù)圖形，比如圖3，學(xué)生畫(huà)了類似體育標(biāo)記“耐克”的函數(shù)，這一圖像讓學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程中體會(huì)到了其在生活中所具備的形態(tài)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)根植于生活、運(yùn)用于生活.

設(shè)計(jì)3 （動(dòng)態(tài)試驗(yàn)）利用現(xiàn)代信息技術(shù)教育手段，從動(dòng)態(tài)變化中研究函數(shù)問(wèn)題. 如研究二次函數(shù)相關(guān)問(wèn)題：函數(shù)y=x2-2mx+8在-1≤x≤1的最小值為1，求m的值.

設(shè)計(jì)意圖 對(duì)于初中生而言，含有參量m的值讓學(xué)生對(duì)于問(wèn)題的思考變得不太直觀，更因?yàn)樽宰兞縳受限于范圍-1≤x≤1，所以初中生普遍不能接受問(wèn)題的含義. 筆者設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)試驗(yàn)，利用幾何畫(huà)板中的參數(shù)功能，讓函數(shù)隨著參數(shù)m的變換而變化（圖4、圖5、圖6），從中可以清晰地看出在參數(shù)變換的過(guò)程中，其最小值并不完全由對(duì)稱軸處的值確定，這會(huì)與初中生腦海中“在頂點(diǎn)處取到最值”這一固有思維形成認(rèn)知沖突. 可以請(qǐng)學(xué)生分析此函數(shù)問(wèn)題為何要分類討論，有沒(méi)有與函數(shù)概念相悖，分類的依據(jù)是什么等，從而提高函數(shù)內(nèi)容復(fù)習(xí)的深度和有效性.

不難發(fā)現(xiàn)，層層遞進(jìn)的相關(guān)實(shí)驗(yàn)操作，學(xué)生已經(jīng)感受到了數(shù)學(xué)的可操作性，思考了知識(shí)的延續(xù)性、承接性，這對(duì)函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)的深化起到了一定的復(fù)習(xí)效果. 從課程理念來(lái)說(shuō)，這種一邊實(shí)驗(yàn)一邊研究的方式，能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)多元的學(xué)習(xí)途徑，能讓學(xué)生在嚴(yán)密邏輯推理的同時(shí)結(jié)合感性的實(shí)踐操作加深對(duì)知識(shí)的理解，提升復(fù)習(xí)的有效性.

理解概念

部分?jǐn)?shù)學(xué)概念需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)去理解，比如八年級(jí)數(shù)學(xué)中隨機(jī)事件概率的定義. 概率是統(tǒng)計(jì)中的重要概念，其來(lái)源可以通過(guò)大量的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行操作，即通過(guò)“頻率與機(jī)會(huì)”一課來(lái)學(xué)習(xí)概率的概念.

1. 教學(xué)設(shè)計(jì)

（1）為了讓學(xué)生充分理解隨機(jī)事件頻率值是一個(gè)隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)而不同的、較穩(wěn)定的值，所以課堂教學(xué)采取了大量的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作來(lái)加強(qiáng)學(xué)生的理解.

（2）通過(guò)討論、思辨，使得學(xué)生理解頻率的穩(wěn)定值即為概率，每一次實(shí)驗(yàn)頻率值都不相同，但概率不隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的改變而改變.

（3）（課后）與學(xué)生一起重做蒲豐投針問(wèn)題，感受概率是頻率的穩(wěn)定值這一重要特性.

2. 實(shí)驗(yàn)操作

（1）教師選擇概率中的經(jīng)典實(shí)驗(yàn)：拋硬幣. 記拋出正面為上為事件A，將學(xué)生分成10個(gè)小組，每組中兩位學(xué)生負(fù)責(zé)拋硬幣，兩位負(fù)責(zé)記錄. 總次數(shù)分別為10次、20次、50次、100次、自定義次.

（2）請(qǐng)學(xué)生繪制表格，將拋出正面為上的次數(shù)分別記錄下來(lái)，計(jì)算出拋出正面為上的次數(shù)占總次數(shù)的百分比.

（3）請(qǐng)學(xué)生觀察：每組學(xué)生都有五組數(shù)據(jù)，有十個(gè)小組，共五十組數(shù)據(jù). 數(shù)據(jù)分析從兩方面入手：一，各自小組內(nèi)部的數(shù)據(jù)分析及頻率值變化；二，班級(jí)五十組數(shù)據(jù)的研究分析及頻率值變化，從數(shù)據(jù)中感受頻率值與實(shí)驗(yàn)次數(shù)的關(guān)系（如表1）.

（4）從多次實(shí)驗(yàn)，特別是大數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果來(lái)看，我們都發(fā)現(xiàn)正面向上的頻率始終穩(wěn)定在某一個(gè)常數(shù)左右，頻率值隨實(shí)驗(yàn)次數(shù)的不同而不同，但是實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，頻率值越趨向于某一個(gè)常數(shù)，這種直觀感受越明顯.

設(shè)計(jì)意圖 從概率的角度來(lái)說(shuō)，概率論本身就是一門(mén)有關(guān)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的章節(jié)，筆者以經(jīng)典的拋硬幣實(shí)驗(yàn)為載體設(shè)計(jì)了本課相關(guān)的數(shù)學(xué)教學(xué). 這一實(shí)驗(yàn)所需設(shè)備簡(jiǎn)單，可操作性強(qiáng)，并且通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)可以產(chǎn)生新的思考，引發(fā)學(xué)生思考為什么實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，正面向上頻率值越趨向于某一個(gè)常數(shù). 從學(xué)生親自動(dòng)手操作的實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生認(rèn)識(shí)了頻率概念的意義：頻率并不是固定不變的常數(shù)，它與每一次實(shí)驗(yàn)有關(guān)，一般來(lái)說(shuō)，每次實(shí)驗(yàn)所得到的頻率值不相同，但隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率值愈來(lái)愈穩(wěn)定地趨向于某一個(gè)常數(shù). 這樣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)茏寣W(xué)生深刻理解頻率到底是一個(gè)什么樣的數(shù)學(xué)概念，后續(xù)可以進(jìn)一步向?qū)W生介紹概率值的意義，以及各種有趣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，如蒲豐投針問(wèn)題等，讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生數(shù)學(xué)概念的理解能力.

總之，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)有益的補(bǔ)充. 近年來(lái)，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出了讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更多元的學(xué)習(xí)手段的要求，其中有關(guān)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)、信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用等，都是很好的嘗試和方向. 筆者認(rèn)為，加強(qiáng)多形式、多維度的教學(xué)方式的使用，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的增加、主動(dòng)性的增強(qiáng)都是有益的，更能從不同的角度加深對(duì)知識(shí)的理解，從而提高教學(xué)有效性.