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勾股定理易錯題解析

2017-05-13 11:09林學明
中學生數(shù)理化·教與學 2017年5期
關(guān)鍵詞:逆定理定式勾股定理

林學明

摘要:勾股定理是初中幾何學習中重要的定理之一,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.剖析勾股定理易錯題,有助于加深學生對勾股定理的理解和掌握,也有助于提高學生的解題能力.

關(guān)鍵詞:勾股定理 易錯題

一、審題不到位,受思維定式的干擾

思維定式是人們受已有知識經(jīng)驗的影響,在分析和解決問題時,傾向于固定的思路和習慣.在解勾股定理題時,有些學生受思維定式的干擾和影響,審題不夠嚴謹、到位,忽略題設(shè)條件,草率作答,從而導致錯解產(chǎn)生.

例1 已知直角三角形的兩邊長分別為3和4,求第三邊的長.

錯解:第三邊得長為32+42=25=5.

錯因分析:有些學生由于習慣了“勾三股四弦五”的說法,在解答時會不假思索地直接應(yīng)用.在本題中,由于受思維定式的影響,未認真審題,直接套用了“勾三股四弦五”,從而導致錯解.事實上,“勾三股四弦五”這一理解是存在前提條件的,即若兩直角邊為的長3和4時,斜邊長為5,而在本題,并沒有直接指明3和4一定為兩直角邊的長.所以,第三邊有可能為直角邊,也有可能為斜邊.在解答時,需要分類討論.

解:(1)當兩直角邊的長為3和4時,第三邊長為32+42=25=5.(2)當一直角邊的長為3,斜邊長為4時,第三邊長為42-32=7.綜上,第三邊長為5或7.

二、理解不透徹,勾股定理及其逆定理混淆

在解答勾股定理題時,有些學生對勾股定理及其逆定理的概念理解不透徹,往往將兩者混淆起來,導致出現(xiàn)錯解.

例2 在A港有甲乙兩艘輪船,若甲船沿北偏東30°方向以每小時15海里的速度前進,乙船沿南偏東某個角度以每小時20海里的速度前進,2小時后,甲船到達B島,乙船到達C島,B、C兩島相差50海里.請問:乙船是沿哪個方向航行的?

錯解:甲船航行的距離為AB=15×2=30(海里),乙船航行的距離為AC=20×2=40(海里).因為302+402=50(海里),且BC=50(海里),所以△ABC為直角三角形.所以∠BAC=90°.所以乙船是沿著南偏東60°方向航行.

錯因分析:本題解法雖然最終的判斷結(jié)果是正確的,但是解題過程卻存在錯誤.錯誤原因在于,勾股定理及其逆定理兩者概念理解不透徹,混淆了勾股定理及其逆定理.勾股定理的使用前提是直角三角形,而本題沒有給出明確的提示,需要我們對三角形做出判斷.本題應(yīng)運用勾股定理的逆定理進行求解.

解:甲船航行的距離為AB=15×2=30(海里),乙船航行的距離為AC=20×2=40(海里).因為302+402=2500,502=2500,AB2+ AC2= BC2,所以△ABC為直角三角形.所以∠BAC=90°所以乙船是沿著南偏東60°方向航行.

三、分析不深入,以偏概全而造成漏解

以偏概全錯誤是解數(shù)學題時比較常見的錯誤之一.在解勾股定理題時,有些學生分析不夠深入,考慮不夠全面,以偏概全,從而造成漏解,導致答案不完整.

例3 在△ABC中,AB=20,AC=15,BC邊上的高為12,求△ABC的周長.

錯解:如圖1,應(yīng)用勾股定理,得BD=202-122=16,CD=152-122=9.所以BC=BD+CD=16+9=25.所以△ABC的周長=AB+AC+BC=20+15+25=60.

錯因分析:上述解法犯了以偏概全錯誤,只考慮了三角形的高在形內(nèi)的情況,遺漏了三角形高可能在形外這一情況,因而導致出現(xiàn)漏解,造成解題答案不完整.

解:由用勾股定理,得BD=202-122=16,CD=152-122=9.(1)若∠C是銳角(如圖1),則BC=BD+CD=16+9=25,這時△ABC的周長=AB+AC+BC=20+15+25=60.(2)若∠C是鈍角(如圖2),則BC=BD-CD=16-9=7,這時△ABC的周長=AB++BC+CA=20+7+15=52.故△ABC的周長為60或52.

總之,在解勾股定理題時,錯誤是難以避免的,知錯能改,善莫大焉.只要學生有恒心,有信心,善于找錯、糾錯,就能輕松掌握勾股定理.

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