楊昆華

[摘 要] “問(wèn)題解決”是繼“現(xiàn)代化”和“回歸基礎(chǔ)”之后國(guó)際數(shù)學(xué)教育界的又一潮流，我國(guó)數(shù)學(xué)教育改革明確提出：數(shù)學(xué)教育的內(nèi)核實(shí)質(zhì)就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)建模能力、問(wèn)題解決能力又是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心之一，高考對(duì)“應(yīng)用意識(shí)”的考查將進(jìn)一步反映對(duì)數(shù)學(xué)建模、問(wèn)題解決能力的考查. 本文就如何開(kāi)展“問(wèn)題解決”教學(xué)，積極而有效地引導(dǎo)學(xué)生置身于數(shù)學(xué)活動(dòng)之中，通過(guò)“做數(shù)學(xué)”來(lái)體驗(yàn)數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)方式去思考、探索，進(jìn)而解決問(wèn)題.

[關(guān)鍵詞] 問(wèn)題解決；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；創(chuàng)新能力；數(shù)學(xué)體驗(yàn)活動(dòng)

“問(wèn)題”（Problem）有別于我們經(jīng)常做的“習(xí)題”（Exercise），習(xí)題的目的在于鞏固和練習(xí)（Exercise），內(nèi)容是常規(guī)的，學(xué)生易于模仿，存在著解決這些習(xí)題的一般規(guī)則和原理，而“問(wèn)題”應(yīng)具有非常規(guī)、重視情景應(yīng)用、探究性等特征，在數(shù)學(xué)課程中沒(méi)有用來(lái)確定解決這類問(wèn)題的準(zhǔn)確程序的一般規(guī)則和原理.“問(wèn)題解決”（Problem Solving）是繼“現(xiàn)代化”和“回歸基礎(chǔ)”之后國(guó)際數(shù)學(xué)教育界的又一潮流，1980年，美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)公布的《關(guān)于行動(dòng)的議程》綱領(lǐng)性文件，提出了“問(wèn)題解決必須成為80年代學(xué)校數(shù)學(xué)的焦點(diǎn)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)圍繞問(wèn)題解決來(lái)組織”，以后各國(guó)紛紛響應(yīng)，這種強(qiáng)調(diào)生動(dòng)活潑，注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用的教育思想，至今依然是數(shù)學(xué)教育的中心課題.

近年來(lái)，我國(guó)數(shù)學(xué)教育改革以“數(shù)學(xué)素質(zhì)教育”為口號(hào)，以“問(wèn)題解決”為突破口，出現(xiàn)了諸如“北京方正杯”中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽，江蘇省南京市一中的數(shù)學(xué)建模教學(xué)等活動(dòng)，全國(guó)各地對(duì)“問(wèn)題解決”的認(rèn)識(shí)和研究進(jìn)一步加強(qiáng). 高中《新大綱》明確提出：數(shù)學(xué)教育的內(nèi)核實(shí)質(zhì)就是數(shù)學(xué)素質(zhì)，而數(shù)學(xué)建模能力、問(wèn)題解決能力又是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心之一. 自1993年來(lái)，高考已明確體現(xiàn)對(duì)“應(yīng)用題”的考查，且在今后很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)將進(jìn)一步加強(qiáng)、完善對(duì)建模、問(wèn)題解決能力的考查，可見(jiàn)其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位，以下談?wù)劰P者在“問(wèn)題解決”教學(xué)的一些嘗試，以期達(dá)到拋磚引玉的作用.

[?] 利用“問(wèn)題”的“非常規(guī)”性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)生進(jìn)入中學(xué)后，更為關(guān)注的不是趣味性的問(wèn)題（或故事），而是那些“認(rèn)知不協(xié)調(diào)”，即同常識(shí)、直觀不一致，與固有觀念有沖突，令人吃驚的結(jié)果，因此，非規(guī)范“問(wèn)題”成為激活學(xué)生認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力的恰當(dāng)教材.

如：1. 一段平直的鐵軌AB，長(zhǎng)為2千米，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，其兩端固定，夏季因受熱而伸長(zhǎng)2米，形狀變彎了，假設(shè)各段受熱膨脹均勻，那么，其中點(diǎn)C將距地面高度是多少？

若教師提出問(wèn)題，讓學(xué)生憑直觀猜測(cè)，認(rèn)為最多上升1-2米，然而錯(cuò)了，實(shí)際計(jì)算的結(jié)果讓人大吃一驚，C點(diǎn)距地面將近45米，何等不合常規(guī)！此時(shí)，學(xué)生絕不會(huì)輕易放棄自己的思考，不會(huì)“心悅誠(chéng)服”接受老師的結(jié)果，這正是極佳的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，由此可促進(jìn)學(xué)生的主動(dòng)性、積極性及智力參與的強(qiáng)化，這恰好是開(kāi)展圓及三角形的相關(guān)計(jì)算教學(xué)的最佳時(shí)機(jī)，其效果將大為提高.

2. 兩根電線桿相距l(xiāng)米，分別在高為10米的A處和15米的C處用鋼索將兩桿固定（圖2），問(wèn)：（1）鋼索AD與鋼索BC的交點(diǎn)M處離地面高度MH與l有關(guān)嗎？（2）MH的高為多少？

當(dāng)教師提出問(wèn)（1），學(xué)生憑直覺(jué)認(rèn)為有關(guān)，然而又錯(cuò)了.

因?yàn)椤鰾MH∽△BCD，△BMH∽△DAB，

所以=，=.

所以BH=l①，DH=l②，

①+②得：BH+DH=

+

MH·l，

而B(niǎo)H+DH=l，所以MH==6（米），與l無(wú)關(guān)！

結(jié)論與常規(guī)不符合，說(shuō)明原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不完全適合理解或解決問(wèn)題，學(xué)生的習(xí)慣反應(yīng)和處理模式遭到失敗，此時(shí)，最能激發(fā)學(xué)生的求知欲.

[?] 遵循認(rèn)識(shí)規(guī)律，由淺入深，層層推進(jìn)

人對(duì)事物的認(rèn)識(shí)由感知到感性，由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)，逐級(jí)深化，不斷提高.長(zhǎng)期以來(lái)，我們強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，這是我國(guó)數(shù)學(xué)教育的長(zhǎng)處，但對(duì)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用強(qiáng)調(diào)不夠，從而形成學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)情景的理解、感悟差. 因此，開(kāi)始時(shí)盡量搞些簡(jiǎn)單的、花時(shí)少、趣味性、實(shí)用性強(qiáng)的內(nèi)容，增加學(xué)生興趣，擴(kuò)大知識(shí)面，開(kāi)闊視野.

如：1. 要在樓梯上鋪地毯，似乎需先測(cè)出樓梯的長(zhǎng)度，其實(shí)，只需量出樓梯的高和寬即可.

如圖3，地毯長(zhǎng)=1+2=3（m），

這是一個(gè)涉及知識(shí)點(diǎn)不多，但所用思考方法相當(dāng)豐富，層層提高，對(duì)能力培養(yǎng)很有價(jià)值的問(wèn)題.

略解：（1）設(shè)應(yīng)設(shè)于X點(diǎn)，則總距離為A1A5+A2A4+A3X，當(dāng) X=0，即設(shè)于A3，總距離最小.

（2）同理，6個(gè)機(jī)器人時(shí)，設(shè)在 A3與 A4之間任一處均可.

（3）由（1）（2）得到啟示，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，供應(yīng)點(diǎn)設(shè)在A處，當(dāng)n為偶數(shù)，A與A+1之間任一點(diǎn)均可.

[?] 暴露思維過(guò)程，打破思維定式，促進(jìn)正遷移

數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象交互作用并按一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)規(guī)律的思維過(guò)程，是嘗試—失敗—再嘗試—再失敗……，直至成功的心理活動(dòng). A·斯托利亞爾指出：充分暴露數(shù)學(xué)思維過(guò)程是教學(xué)的原則，數(shù)學(xué)教學(xué)要求教師創(chuàng)造性地將知識(shí)發(fā)生、發(fā)展等思維過(guò)程“復(fù)現(xiàn)”出來(lái).這樣，才真正符合人的認(rèn)識(shí)規(guī)律，才能恰當(dāng)掌握“最近發(fā)展區(qū)”利用已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移.

如：1. 正方體的截面的形狀是什么？

問(wèn)題沒(méi)有明確形狀有幾種，只要提出這個(gè)問(wèn)題，幾乎所有學(xué)生都可以想到“三角形”（如圖5）；此時(shí)停一下，教師不給予肯定，不提示，大多數(shù)學(xué)生又想到“四邊形”（如圖6）；這時(shí)，提示，想一想，有沒(méi)有五邊形，對(duì)于五邊形就只有極少數(shù)能想到（如圖7），再進(jìn)一步呢？能不能得到六邊形，這個(gè)提問(wèn)對(duì)于真正理解五邊形的學(xué)生是很及時(shí)而恰當(dāng)?shù)? 學(xué)生類比前面結(jié)果，經(jīng)過(guò)自我思考，可以解決，如圖8.

解決這個(gè)問(wèn)題需要有直覺(jué)的空間想象能力及思維的深刻性、嚴(yán)謹(jǐn)性及構(gòu)造思想，體現(xiàn)了解決問(wèn)題、完善解答的思維過(guò)程.

2. 高一（3）班有學(xué)生60人，現(xiàn)要?jiǎng)?chuàng)建一個(gè)班級(jí)圖書(shū)室，要求每人至少捐一本書(shū)，各人所捐書(shū)數(shù)不相同，問(wèn)要捐1830本書(shū)能否做到？

分析：應(yīng)該如何把問(wèn)題與所學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)？各人至少一本，各不相同，我們不妨嘗第1人捐1本，第2人捐2本……，這時(shí)，由等差數(shù)列求和公式S60==1830（本），能夠做到！這個(gè)問(wèn)題為何用等差數(shù)列？怎樣得到？此時(shí)，暴露思維：因?yàn)楦鞑幌嗤?、2、3、4……這種形式數(shù)目最小，因此去嘗試是什么情況，從而解決問(wèn)題.

如果把問(wèn)題改為：捐1800本（或1900本等）又是什么結(jié)果呢？怎樣思考？其實(shí)問(wèn)題還是建立在上述問(wèn)題的基礎(chǔ)上，大于1830本都可以，把多的本數(shù)放在第60人上（還有其他辦法），小于1830本不能做到，原因是出現(xiàn)重復(fù).

學(xué)生在學(xué)習(xí)等差數(shù)列后，處于應(yīng)用等差數(shù)列知識(shí)的“最近發(fā)展區(qū)”，此時(shí)，教師給予適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，就能順利實(shí)現(xiàn)知識(shí)的“正遷移”，打破固有的思維定式.

[?] 結(jié)合教材，強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)，層層滲透，把“問(wèn)題解決”落到實(shí)處

高中《新教材“大綱”》指出：分析和解決帶有實(shí)際意義的或在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)和日常生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，會(huì)使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，進(jìn)行分析，形成用數(shù)學(xué)的意識(shí).根據(jù)大綱及我國(guó)改革對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展需要，結(jié)合教材，就利息（單利、復(fù)利）、人口增長(zhǎng)、生態(tài)平衡、環(huán)保、風(fēng)險(xiǎn)決策、成本核算、金融投資、供求關(guān)系等進(jìn)行信息處理，抽象、歸納使之?dāng)?shù)學(xué)化，從而利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，問(wèn)題的選擇力求做到適時(shí)、恰當(dāng).

如：1. 《人民日?qǐng)?bào)》1992年7月12日至7月15日數(shù)據(jù)：1982年7月11日世界人口達(dá)到50億，聯(lián)合國(guó)將7月11日定為“世界人口日”，1992年的“世界人口日”全球人口達(dá)到54.8億.

問(wèn)：（1）世界人口每年平均增加多少？

（2）人口增長(zhǎng)率是多少？

（3）預(yù)測(cè)1993年7月11日世界人數(shù).

（4）預(yù)測(cè)2000年7月11日世界人數(shù).

這是一個(gè)增長(zhǎng)率問(wèn)題，與我們的生活息息相關(guān)，問(wèn)題很具現(xiàn)實(shí)意義和教育意義，在掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)知識(shí)后即可及時(shí)提出、解決（解略）.

2. 百貨公司的一頁(yè)賬簿上沾了墨，如圖表1，關(guān)于1月13日出售熱水壺只知道單價(jià)及金額后面的三個(gè)數(shù)碼是7.28，數(shù)量與金額前面的三個(gè)數(shù)碼都看不清，請(qǐng)你幫助查清這筆賬.這是生活中實(shí)際存在的問(wèn)題，實(shí)用性強(qiáng)，實(shí)際情景客觀、具體. 如何使之?dāng)?shù)學(xué)化呢？

“略解”：設(shè)數(shù)量為x，金額前三位數(shù)為y，則：

49.36x=10y+7.28，

所以y=5x-1+.

令t=，則x==4-31t+.

令t1=∈N，代入得y=617t1-134，x=4-31t+t1=125t1-27.

因?yàn)?00<617t1-134<1000，

所以

所以x=98，y=483.

所以水壺為98只，金額為4837.28元

這是一個(gè)不定方程的整數(shù)解討論及不等式的整數(shù)問(wèn)題，解決需較強(qiáng)的分析能力和熟練的數(shù)學(xué)變形技巧，可在高三復(fù)習(xí)時(shí)引用解決. 再如上文所述問(wèn)題，均可根據(jù)知識(shí)、能力情況適時(shí)引入，真正達(dá)到基礎(chǔ)與能力并重的教學(xué)目的.

“問(wèn)題解決”是一種創(chuàng)造性工作，需要有敢于打破常規(guī)，另辟蹊徑的開(kāi)拓創(chuàng)新精神，需要有靈活敏捷的思維方法，要透過(guò)現(xiàn)象，抓住本質(zhì)，這正是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目的之一. 數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，積極而有效地引導(dǎo)學(xué)生置身于數(shù)學(xué)活動(dòng)之中，通過(guò)“做數(shù)學(xué)”來(lái)體驗(yàn)數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)方式去思考、探索、解決問(wèn)題，必將提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，必將提高學(xué)生分析實(shí)際問(wèn)題、解決實(shí)際問(wèn)題的新型應(yīng)用能力，必將提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的進(jìn)一步發(fā)展.