武紹利

[摘 要] 因種種主客觀原因，高中學(xué)生的運(yùn)算能力總不盡如人意.將數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)放到核心素養(yǎng)的視角下，可以建構(gòu)起對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的理性認(rèn)識(shí)，而這是符合高中學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的. 通過學(xué)習(xí)反思激發(fā)學(xué)生對(duì)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)，通過成功的運(yùn)算來滿足學(xué)生自我實(shí)現(xiàn)的需要，可以為數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的形成提供強(qiáng)大的內(nèi)驅(qū)力. 這是數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)的根本策略.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；運(yùn)算能力；培養(yǎng)策略

談及運(yùn)算能力的培養(yǎng)，似乎總難以成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要對(duì)象，因?yàn)樵诤芏鄬W(xué)生的心目中甚至是在教師認(rèn)識(shí)當(dāng)中，運(yùn)算能力總多少帶有一些“小兒科”的意思，難登高中數(shù)學(xué)教學(xué)的大雅之堂. 但從學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)來看，因?yàn)檫\(yùn)算出錯(cuò)又常常是考試失分的重要原因. 而且，即使教師在教學(xué)中跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的重要并給予了些指導(dǎo)，其效果總不太理想.筆者以為這里的原因是多方面的，而其中不可忽視的一面，則是沒有將運(yùn)算能力的培養(yǎng)放到一個(gè)科學(xué)的高度去認(rèn)識(shí)并研究，因而培養(yǎng)策略也就難以深入學(xué)生內(nèi)心. 反之，如果將運(yùn)算能力的培養(yǎng)放到學(xué)科核心素養(yǎng)的角度去認(rèn)識(shí)，就可以在實(shí)際教學(xué)中獲得更為深刻的認(rèn)識(shí).

[?] 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)下運(yùn)算能力的認(rèn)識(shí)

學(xué)科核心素養(yǎng)被稱為繼課程改革之后基礎(chǔ)教育最重要的研究成果，其在綜合了國(guó)外已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)國(guó)內(nèi)的總體教學(xué)以及學(xué)科教學(xué)提出了新的理念與認(rèn)識(shí).就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，其既沿襲了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中的精髓，又融入了新的理解. 根據(jù)當(dāng)前最新的研究成果，數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)可以從數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面加以闡述.其中，數(shù)學(xué)運(yùn)算與本文的主題直接相關(guān)，而其余五個(gè)因素其實(shí)也是支撐學(xué)生運(yùn)算的重要素養(yǎng). 從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)方面來理解數(shù)學(xué)運(yùn)算，可以對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生運(yùn)算能力形成這樣的三點(diǎn)認(rèn)識(shí)：

第一，數(shù)學(xué)運(yùn)算反映了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 數(shù)學(xué)運(yùn)算是利用運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程，在這個(gè)過程中，學(xué)生需要經(jīng)歷分析運(yùn)算對(duì)象，猜想運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算規(guī)則，計(jì)算并判斷問題結(jié)果等環(huán)節(jié)，這些環(huán)節(jié)中，其他的核心素養(yǎng)常常也需要發(fā)揮作用，如在分析運(yùn)算對(duì)象的時(shí)候，就常常用到數(shù)學(xué)建模，在選擇運(yùn)算規(guī)則的時(shí)候也必然會(huì)用到邏輯推理，運(yùn)算的過程本身就是一個(gè)數(shù)據(jù)分析的過程，在猜測(cè)運(yùn)算方向與判斷運(yùn)算結(jié)果的時(shí)候，直觀想象也會(huì)發(fā)揮重要的作用. 因此，數(shù)學(xué)運(yùn)算可以說是其他所有數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的集中呈現(xiàn)過程，因此從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的角度來建構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算及其策略培養(yǎng)的認(rèn)識(shí)，是極為必要且妥當(dāng)?shù)?

第二，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)策略是一個(gè)綜合性的認(rèn)知能力提升過程. 從學(xué)習(xí)心理學(xué)的角度來看，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力應(yīng)當(dāng)屬于認(rèn)知能力而非技能，因此數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)策略更多的是一種認(rèn)知層面的研究，有研究者指出，高中階段的數(shù)學(xué)運(yùn)算具有兩個(gè)基本特征：一是層次性. 層次性是指數(shù)學(xué)運(yùn)算中的知識(shí)梯度與難度梯度，從有理數(shù)的運(yùn)算到實(shí)數(shù)的運(yùn)算，從等式的解決到不等式的解決，從方程的建立到函數(shù)的建立，都顯示出高中數(shù)學(xué)所獨(dú)有的層次性特征；二是綜合性.高中階段的數(shù)學(xué)運(yùn)算通常都比較復(fù)雜，不僅需要綜合運(yùn)算數(shù)學(xué)知識(shí)，還需要綜合運(yùn)用各項(xiàng)能力，從基本的記憶到理解，到推理，到聯(lián)想，到表達(dá)等，可以不夸張地講，只要其中任何一項(xiàng)能力有所不足，其運(yùn)算過程都會(huì)有所顯現(xiàn).

第三，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的形成與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的過程具有同步特征. 學(xué)科核心素養(yǎng)是基于核心素養(yǎng)的一般意義而提出來的下位概念，高中數(shù)學(xué)教學(xué)視野下的核心素養(yǎng)，更多的要基于高中數(shù)學(xué)的知識(shí)特點(diǎn)，讓學(xué)生通過嚴(yán)格的邏輯思維去構(gòu)建新的數(shù)學(xué)知識(shí)，并在此過程中逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)與規(guī)律，這種認(rèn)識(shí)的過程實(shí)際上也就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成的過程. 高中數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)與生活的聯(lián)系，也強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活實(shí)踐，因此將數(shù)學(xué)知識(shí)與生活聯(lián)系起來的意識(shí)與能力，也就成為數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的重要組成部分. 其實(shí)在學(xué)生的生活中，數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)是常常存在的，生活中相關(guān)問題的解決常常需要建立模型，而這種能力往往就形成于數(shù)學(xué)建模的過程；而生活中的數(shù)據(jù)分析能力則是基本的生活能力，直觀想象與邏輯推理等亦是生活中常常需要的一種能力，因此當(dāng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成的能力遷移到生活中時(shí)，就是數(shù)學(xué)學(xué)科表現(xiàn)其素養(yǎng)的一面的時(shí)候.

從這兩點(diǎn)可以看出，高中階段的數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)密切相關(guān)，而數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)策略亦可因核心素養(yǎng)之高屋而建瓴.

[?] 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)激發(fā)學(xué)生運(yùn)算需要

在我們的研究中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生運(yùn)算能力差的首要原因，就在于自身缺乏對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的科學(xué)認(rèn)識(shí).如文章開頭所說，不少學(xué)生將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重心放在知識(shí)建構(gòu)上，而對(duì)運(yùn)算則顯得有些不屑. 于是在實(shí)際教學(xué)中，筆者考慮到高中學(xué)生的理性認(rèn)知需要，嘗試從激發(fā)運(yùn)算需要的角度形成數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)的基本策略.

學(xué)生的運(yùn)算需要如何激發(fā)？第一步，在學(xué)生的學(xué)習(xí)成就感中提取運(yùn)算需要. 筆者在研究中重點(diǎn)實(shí)施的一個(gè)策略，就是在課堂教學(xué)或者是考試評(píng)價(jià)中，當(dāng)學(xué)生成功地攻克某個(gè)難點(diǎn)或者更深一步認(rèn)識(shí)某個(gè)規(guī)律時(shí)，筆者總會(huì)引導(dǎo)學(xué)生去反思：之所以能夠突破思維的難點(diǎn)，其原因是什么？這樣的學(xué)習(xí)反思，總能夠讓學(xué)生在其中發(fā)掘到數(shù)學(xué)運(yùn)算的影子. 筆者總結(jié)了學(xué)生在學(xué)習(xí)反思中的一些認(rèn)識(shí)，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)基本規(guī)律，那就是學(xué)生的表達(dá)實(shí)際上總能夠在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個(gè)方面尋找到痕跡，比如說在函數(shù)相關(guān)運(yùn)算中，定義域之于單調(diào)性的作用是不言而喻的，而學(xué)生在多次出錯(cuò)之后獲得成功，就能夠通過對(duì)自己學(xué)習(xí)過程的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)定義域的重要性，這其中實(shí)際上學(xué)生已經(jīng)用到了對(duì)比的邏輯思維，用到了對(duì)自己錯(cuò)誤思維的深入分析. 再加上學(xué)生從分析問題到通過運(yùn)算成功地求得問題之解，總會(huì)以數(shù)學(xué)抽象為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)建模為突破，進(jìn)而打開數(shù)學(xué)運(yùn)算的思路. 一旦學(xué)生通過反思獲得這樣的認(rèn)識(shí)，他們常常就有一種豁然開朗的感覺，這就是一種成就感，在這種成就感中認(rèn)識(shí)到運(yùn)算所具有的重要性，是激發(fā)運(yùn)算需要的重要基礎(chǔ).

第二步，運(yùn)用專題運(yùn)算訓(xùn)練的策略. 專題訓(xùn)練是鞏固運(yùn)算積極性的重要舉措，研究表明，高中學(xué)生通常都有著很強(qiáng)的自我實(shí)現(xiàn)的需要，在學(xué)生認(rèn)識(shí)到運(yùn)算的重要性之后，通過不同題型（筆者通常是根據(jù)知識(shí)類型和運(yùn)算類型來遞進(jìn)進(jìn)行的）去讓學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算的訓(xùn)練，而待學(xué)生的運(yùn)算結(jié)果達(dá)到一定的合格率之后，就給予他們以積極的評(píng)價(jià)，同時(shí)在日常的考試評(píng)價(jià)中需要有意識(shí)地滲透一些類似的題型，以進(jìn)一步鞏固學(xué)生的成就感. 這里所說的專題訓(xùn)練與常規(guī)的習(xí)題專題并不完全相同，其訓(xùn)練的目的不是學(xué)生的綜合性的解題能力，因此通常需要淡化分析這個(gè)環(huán)節(jié)，也就是說不需要通過過于復(fù)雜的分析以避免占用運(yùn)算所用的時(shí)間，但如果過于簡(jiǎn)單又不大可能具有真正的訓(xùn)練運(yùn)算的功能.因此筆者所用的專題習(xí)題，常常是通過需要數(shù)學(xué)建模與邏輯推理的方式建立等量關(guān)系，同時(shí)又具有一定運(yùn)算量的習(xí)題，這樣既能在建模環(huán)節(jié)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時(shí)又能夠培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，因此可以說是一種能夠在運(yùn)算能力與學(xué)科核心素養(yǎng)方面兼顧的有效策略.

這兩步相對(duì)于傳統(tǒng)的策略而言，其目標(biāo)直接指向?qū)W生的一種內(nèi)在的動(dòng)力，相比較外驅(qū)力而言，這一策略更具效果.

[?] 高效運(yùn)算策略背后數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)理解

在本問題研究的過程中，筆者有一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)，那就是教師根據(jù)學(xué)生的考試情況或?qū)W習(xí)情況所總結(jié)出來的運(yùn)算能力培養(yǎng)策略，有時(shí)候與學(xué)生的學(xué)習(xí)需要差距是很大的，教師的努力總不能獲得學(xué)生的認(rèn)同，因而常常勞而無功. 反之，如果真正理解了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，就知道數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個(gè)方面其實(shí)都是以學(xué)生為中心的，只有學(xué)生學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模，只有學(xué)生會(huì)進(jìn)行邏輯推理與直觀想象，只有當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行正確的數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，才能說學(xué)生真正具有了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

其實(shí)，從另一個(gè)方面來看，學(xué)生的運(yùn)算能力確實(shí)就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，因?yàn)檫\(yùn)算的過程實(shí)際上就是數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則運(yùn)用的過程，尤其是高中階段的數(shù)學(xué)運(yùn)算，遠(yuǎn)不是加減乘除那樣簡(jiǎn)單，其中涉及數(shù)據(jù)處理的許多技巧，涉及豐富的邏輯思維的運(yùn)用，特別是對(duì)于直覺思維能力的要求非常高，一個(gè)等式出現(xiàn)之后如何迅速準(zhǔn)確地尋找到解題的思路，往往都是由直覺思維決定的，這種直覺思維本身就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)重要組成部分，因此從這個(gè)角度理解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其就不是一個(gè)生疏的概念，也不是一個(gè)與傳統(tǒng)教學(xué)思路格格不入的概念，完全可以在已有教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上去構(gòu)建新的關(guān)于核心素養(yǎng)的理解.

因此，對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)策略，最根本的就是激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的積極態(tài)度，并通過學(xué)生所生成的成就感以形成內(nèi)驅(qū)力，這是高中學(xué)生運(yùn)算能力形成的最根本的途徑.