許敏燕

數(shù)學(xué)思想是解題的靈魂，在學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中起著重要的作用.數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的金鑰匙.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的綜合素養(yǎng).

一、方程思想

方程思想是指把一個(gè)數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為方程，從而使問題得到解決的數(shù)學(xué)思想.它在探索解題思路時(shí)經(jīng)常使用，特別是在解決與數(shù)量有關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)行之有效.例如，如果有一個(gè)正數(shù)的平方根為2m-6和3+m，求這個(gè)數(shù).其實(shí)，實(shí)數(shù)以及相關(guān)運(yùn)算中包含著豐富的數(shù)學(xué)思想.利用正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為一對(duì)相反數(shù)，即可得到一個(gè)一元一次方程來求出m的值.利用問題中存在的等量關(guān)系，通過建立方程（組），解決具體問題.又如，在“一次函數(shù)”教學(xué)中，方程思想主要體現(xiàn)在運(yùn)用待定系數(shù)確定函數(shù)的解析式；在幾何教學(xué)中，常常有一些求線段的長(zhǎng)度或求角的大小的問題，可以借助題中的已知量與未知量之間的關(guān)系，設(shè)未知數(shù)列方程，通過解方程來求出問題的解.

二、數(shù)形結(jié)合思想

華羅庚說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬事休.”這句話形象地說明了數(shù)形結(jié)合的重要意義.數(shù)和式是問題的抽象與概括，圖形和圖象則是問題的具體化與直觀化.比如，在實(shí)數(shù)以及相關(guān)運(yùn)算中，都可以結(jié)合實(shí)例滲透數(shù)形結(jié)合的思想.利用數(shù)量關(guān)系研究圖形或利用圖形研究數(shù)量關(guān)系，這種借助數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來研究和解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)形結(jié)合思想，在相交線與平行線的判斷中，特別在進(jìn)行角度的計(jì)算和證明時(shí)經(jīng)常被用到.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用大致可以分為兩大類型：借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數(shù)解形”；借助形的直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系，即“以形助數(shù)”.當(dāng)遇到的幾何問題直接解決比較困難時(shí)，可以通過對(duì)圖形添加輔助線來創(chuàng)造解題條件，從而順利解決問題.

三、分類討論思想

依據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想叫作分類思想.將事物進(jìn)行分類，然后對(duì)劃分的每一類分別進(jìn)行研究和求解的方法都屬于分類討論的方法.例如，等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為多少？在解題時(shí)，需分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進(jìn)行討論，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，即可求出它的底角的度數(shù).在教學(xué)中滲透分類討論思想，能考查學(xué)生思維的周密性，使學(xué)生克服思維的片面性，防止漏解.又如，在利用勾股定理解題時(shí)，有時(shí)遇到多種情況，稍不留神就會(huì)造成錯(cuò)解.這就需要利用分類討論思想進(jìn)行求解.分類討論是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的數(shù)學(xué)思想之一.在教學(xué)中，教師要滲透分類討論思想，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力.

四、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是將要研究和解決的問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)容易解決的問題或已經(jīng)解決的問題，即把“新知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，把“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單”，把“抽象”轉(zhuǎn)化為“具體”的思想.在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果直接求解比較困難時(shí)，就可以將其轉(zhuǎn)化為另一種形式求解.例如，在講“分式”時(shí)，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用就顯得特別常見或明顯，把除法轉(zhuǎn)化為乘法，把異分母分式加減法轉(zhuǎn)化為同分母分式加減法，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程等.“換一種思維看問題”.轉(zhuǎn)化思想是將不易解決的問題，設(shè)法變成容易解決的問題，從而達(dá)到將抽象轉(zhuǎn)化為具體、復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的目的.

五、建模思想

數(shù)學(xué)概念較多且難以理解.在概念教學(xué)中，可以適時(shí)運(yùn)用建模思想加以解讀.建模思想就是通過建立數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題的一種思想方法.例如，在講“分式”時(shí)，分式方程是將具體問題“數(shù)學(xué)化”的重要模型，教師可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)際”問題、分式方程模型、求解、驗(yàn)證解的合理性的“數(shù)學(xué)化”過程，體會(huì)分式方程的模型思想.分式是“整式”之后對(duì)代數(shù)式的進(jìn)一步研究，所以研究方法與整式相同.教師要讓學(xué)生經(jīng)歷用字母表示現(xiàn)實(shí)情境中數(shù)量關(guān)系（分式、分式方程）的過程，經(jīng)歷通過觀察、歸納、類比、猜想獲得分式基本性質(zhì)以及分式加、減、乘、除運(yùn)算法則的過程，體會(huì)分式、分式方程的模型思想，進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感.分式是不同于整式的另一類有理式，是代數(shù)式中重要的基本概念；相應(yīng)地，分式方程是一類有理方程，解分式方程的過程比解整式方程更復(fù)雜.然而，分式或分式方程適合作為某些類型的問題的數(shù)學(xué)模型，它們具有整式或整式方程不可替代的特殊作用.

總之，數(shù)學(xué)思想對(duì)解決數(shù)學(xué)問題、提高解題效率具有指導(dǎo)作用.在數(shù)學(xué)教學(xué)及習(xí)題訓(xùn)練中，教師要重視對(duì)常用數(shù)學(xué)思想的總結(jié)和滲透.它們是解題的指導(dǎo)思想，有利于提高解決數(shù)學(xué)問題的有效性.