☉安徽省宣城市第二中學 朱長友
一類遞推數(shù)列的直觀解釋和“變”題探究
☉安徽省宣城市第二中學 朱長友
我們設(shè)想把這類數(shù)列的各項(數(shù))用數(shù)軸上的點(形)來表示,以例1[1]為例來說明.
圖1
圖2
分別過P1,P2,P3,…,Pn引x軸的平行線與y軸交于B2, B3,…,Bn+1,與P2A2,P3A3,…,PnAn,交于Q2,Q3,…,Qn,容易觀察到點Q2,Q3,…,Qn,在直線y=x上,如圖2.
Q3→P3→…→Pn,可以在直線上得到一排點P1,
P2,P3,…,Pn,從圖中看點列P1,Q2,P2,Q3…是“上升階梯”狀,很明顯,這些排點是逐漸升高的(形),故{an}(數(shù))是單調(diào)遞增的,通過數(shù)形轉(zhuǎn)換,得到此數(shù)列的單調(diào)性,這就是此類遞推數(shù)列的直觀解釋.
從圖3中可以看出:點列P1,Q2,P2,Q3,…,Pn是“下降階梯”狀地,故數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,可以判斷,當a1∈R時,數(shù)列{an}都是遞減數(shù)列,在解題時,我們可以先判斷數(shù)列的單調(diào)性,然后根據(jù)單調(diào)性的定義,加以證明.
圖3
(1){xn}為遞減數(shù)列的充要條件是c<0;
(2)求c的取值范圍,使{xn}為遞增數(shù)列.
分析:本題設(shè)計新穎,主要考查形如an+1=f(an)的遞推數(shù)列的單調(diào)性.第(2)問探究c的取值范圍,立意深,對考生的探究能力和創(chuàng)新思維有較高的要求.
1.常規(guī)解法(讀者自己證明,此略)
2.解法探究(利用直觀解釋)
先利用直觀解釋探究c的范圍,然后加以證明.
當c<0時,從圖4中看到點列P1,Q2,P2,Q3…是“下降階梯”狀,解釋了第(1)問,可以判斷數(shù)列{an}是遞減函數(shù).
圖4
圖5
如圖5,當c=0時,點列P1,P2,P3,…都重合在坐標原點,故an=0,即{an}是常數(shù)列.
圖6
然后根據(jù)數(shù)學歸納法證明.(此略)
3.賞析
(1)高等數(shù)學的背景.所給的遞推數(shù)列形如an+1=f(an)的形式,以二次函數(shù)為載體,考查數(shù)列的單調(diào)性,可以看出命題者對初、高等數(shù)學教材的理解和感悟非常深刻,反映了命題者的智慧,展現(xiàn)出中學數(shù)列知識與后續(xù)大學學習的密切聯(lián)系,體現(xiàn)出“構(gòu)建共同基礎(chǔ),提供發(fā)展平臺”的新課程理念.
(2)內(nèi)蘊厚重,余味無窮.通過本文敘述此類遞推數(shù)列的直觀解釋,先探究出c的取值,再根據(jù)數(shù)學歸納法證明對應(yīng)的函數(shù)是遞增函數(shù),根據(jù)直觀解釋,通過改變函數(shù)列首項,得到此遞推數(shù)列的各種不同的單調(diào)性,內(nèi)蘊厚重,耐人尋味.
(3)返璞歸真,回歸課本.課本在講解遞推數(shù)列的單調(diào)性時,一般給出的是一個具體的遞推數(shù)列,而本題給出一個參數(shù)c,讓我們探究c的取值范圍,使它為遞增數(shù)列,體現(xiàn)了高考中“源于教材,又高于教材”的命題原則,同時實現(xiàn)了平時教學,高考和大學內(nèi)容的對接.
(4)凸顯數(shù)學美.該題充分利用數(shù)學符號語言,敘述簡潔,數(shù)列表達式簡單,利用直觀解釋,圖形中曲線優(yōu)美,處處洋溢著數(shù)學美,令人賞心悅目!
1.收斂和發(fā)散
圖7
再如:數(shù)列{xn}由x1>0,xn+1=確定,畫出拋物線y=x2-x+1,它與直線y=x切于點P(1,1)點(如圖7),如果x1>1,點P1,Q2,P2,Q3是“上升階梯”,所以{xn}是單調(diào)遞增,xn趨于無窮大(此數(shù)列是發(fā)散的),此數(shù)列的極限不存在,當0<x1<1,在畫出點列P1,P2,P3,…,Pn,這些點列無限趨近于點P(收斂).
2.影響遞推數(shù)列an+1=f(an)的單調(diào)性的因素
利用遞推數(shù)列an+1=f(an)的直觀解釋可以判斷影響遞推數(shù)列an+1=f(an)的單調(diào)性的因素有:①數(shù)列的首項;②曲線y=f(x)和直線y=x的位置.
圖8
現(xiàn)舉例加以分析.
例4試證數(shù)列{an}滿足an+1=2an+1,當a1=0時,是遞增數(shù)列;當a1=-2時,是遞減數(shù)列.
分析:用本文的直觀解釋判斷(如圖8).
證明:當a1=0時,(1)當n=1時,a2=2a1+1=1,顯然a2>a1,結(jié)論成立.
若假設(shè)n=k(k∈N*)時,結(jié)論成立,
即ak+1>ak,
那么n=k+1時
因為ak+2=2ak+1+1,①
ak+1=2ak+1,②
①-②得ak+2-ak+1=2(ak+1-ak)>0.
所以ak+2>2ak+1,
這就是說對n∈N*,結(jié)論都成立.
所以{an}是單調(diào)遞增數(shù)列.
同理證明當a1=-2時,數(shù)列是遞減的.
顯然有x1<x2,結(jié)論成立.
(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時,結(jié)論成立,即xk<xk+1,
那么n=k+1時,
又x1=1,由條件可知xk>0,所以1+xk>0,1+xk+1>0.
由歸納假設(shè)知,xk+1-xk>0,故xk+2>xk+1.
這就是說,當n=k+1時,結(jié)論也成立.
結(jié)合(1)(2)得出,數(shù)列{xn}是單調(diào)遞增的.
圖9
3.大膽“變”題,提升思維的創(chuàng)造性
由圖9,可以編出這個遞推數(shù)列的各種單調(diào)性問題:
(4)當x1<-1時,點列P1,Q2,P2,Q3,…是“下降階梯”狀,是單調(diào)遞減數(shù)列.
只有理解了形如an+1=f(an)遞推數(shù)列的直觀解釋,就可以“變”出此類數(shù)列的各種單調(diào)性問題,對一線教師在教學過程中進行發(fā)散式探究的教學起到一定的導向作用.由于篇幅,請讀者自己玩味.