☉江蘇省揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué) 吳 琪

例談函數(shù)恒成立思想解決數(shù)列問題*

☉江蘇省揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué) 吳 琪

數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，解決數(shù)列問題的視角主要是兩個(gè)：一是數(shù)列本身的視角；二是函數(shù)的視角.本文主要探討類比函數(shù)的恒成立問題來解決數(shù)列中的恒成立問題、不等式問題等，下面舉例說明.

一、解決數(shù)列不等式問題

1.利用函數(shù)恒成立思想對(duì)數(shù)列通項(xiàng)放縮

顯然是遞減數(shù)列，故k≥2.

當(dāng)n→+∞時(shí)，bn＜1，且趨向于1，故k≥1，取k=1，得

同理，當(dāng)n=2m（m∈N*）時(shí)，命題也成立.故原不等式得證.

2.利用函數(shù)恒成立思想對(duì)數(shù)列求和后放縮

利用函數(shù)恒成立思想，有些時(shí)候放縮的誤差還是很大，所謂“失之毫厘，謬以千里”，并不能得到所需要的結(jié)論，此時(shí)可以嘗試部分項(xiàng)放縮，即前幾項(xiàng)不放縮，從第二項(xiàng)或第三項(xiàng)甚至第四項(xiàng)才開始放縮，從而避免放縮“過猶不及”的缺點(diǎn).

（1）求｛an｝的通項(xiàng)公式an；

又故對(duì)任意的.故原不等式成立.

點(diǎn)評(píng)：本題第（2）問的解題思路是將數(shù)列通項(xiàng)放縮成等比數(shù)列或裂項(xiàng)形式進(jìn)行求和，再進(jìn)行放縮，若還不能得到目標(biāo)結(jié)果，可適當(dāng)對(duì)數(shù)列通項(xiàng)延后放縮，部分放縮，減少放縮導(dǎo)致的誤差.類似的，我們也可以將前面的問題更精確，如將例1中的證明進(jìn)一步改成放縮延后到第二項(xiàng)，第三項(xiàng)方別得到結(jié)論

數(shù)列不等式是一類綜合性較強(qiáng)的問題，我們可以利用函數(shù)恒成立思想對(duì)數(shù)列不等式進(jìn)行放縮、求解.在解題過程中要充分挖掘題設(shè)條件信息，把條件合理的轉(zhuǎn)化、加強(qiáng)、放縮，同時(shí)結(jié)合問題的結(jié)構(gòu)、形式等特征，使條件與結(jié)論建立聯(lián)系，從而使解題思路通暢.其中合理、恰當(dāng)?shù)姆趴s或者部分放縮是能否順利解題的關(guān)鍵.

二、解決恒成立問題

1.等比數(shù)列中的恒成立問題

例3已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1且3an+1+2Sn= 3（n為正整數(shù)）.

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

（2）若對(duì)于任意的正整數(shù)n，k≤Sn恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值.

分析：（1）根據(jù)所給的條件求出公比，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）可求出Sn的表達(dá)式，結(jié)合單調(diào)性確定實(shí)數(shù)k的最大值.

解：（1）3an+1+2Sn=3.①

當(dāng)n≥2時(shí)，3an+2Sn-1=3.②

故數(shù)列｛an｝是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以

2.等差數(shù)列中的恒成立問題

例4已知數(shù)列｛an｝中，a1=2，a2=3，其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+1+Sn-1=2Sn+1，其中n≥2，n∈N*.

（1）求證數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bn=an·2-n，Tn為數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，求使Tn＞2的n的取值范圍；

（3）設(shè)cn=4n+（-1）n-1λ·2an（λ為非零整數(shù)，n∈N*），試確定λ的值，使得對(duì)任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立.

分析：本題的第（3）問，其本質(zhì)也是恒成立問題，可將通項(xiàng)公式an求出后，問題即可轉(zhuǎn)變?yōu)橹笖?shù)函數(shù)的單調(diào)性問題.

解：（1）由已知，（Sn+1-Sn）-（Sn-Sn-1）=1（n≥2，n∈N*），即an+1-an=1（n≥2，n∈N*），且a2-a1=1.

故數(shù)列｛an｝是以a1=2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列.所以an=n+1.

所以，當(dāng)n=1，2時(shí)，f（n）＞0，當(dāng)n≥3時(shí)，f（n）＜0，所以n的取值范圍為n≥3，且n∈N*.

（3）因?yàn)閍n=n+1，所以cn=4n+（-1）n-1·λ·2n+1，要使cn+1＞cn恒成立，即cn+1-cn=4n+1-4n+（-1）nλ2n+2-（-1）n-1λ2n+1＞0恒成立，所以3×4n-3（-1）n-1λ2n+1＞0恒成立，所以（-1）n-1λ＜2n-1恒成立.

①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即λ＜2n-1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，2n-1有最小值為1，故λ＜1.

②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即λ＞-2n-1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，-2n-1有最大值-2，故λ＞-2，即-2＜λ＜1.又λ為非零整數(shù)，則λ=-1.綜上所述：存在λ=-1，使得對(duì)任意的n∈N*，都有cn+1＞cn.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于數(shù)列中的恒成立問題，實(shí)際則往往是轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)的單調(diào)性問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題，從而確定參數(shù)的取值范圍.這里要強(qiáng)調(diào)的是，函數(shù)的單調(diào)性與數(shù)列的單調(diào)性既有著密切的聯(lián)系，也有著本質(zhì)的區(qū)別，函數(shù)圖像一般是連續(xù)的光滑曲線，數(shù)列圖像則是一系列孤立的點(diǎn)，所以如果曲線是單調(diào)的，分布在曲線上的孤立點(diǎn)必然也是單調(diào)的；但若曲線不單調(diào)，分布在曲線上的孤立點(diǎn)未必不單調(diào).所以，稱數(shù)列是特殊的函數(shù).F

*本文是江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題，2016年度重點(diǎn)自籌課題“基于深度學(xué)習(xí)理念下的數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)研究”的階段研究成果（課題編號(hào)：B—b/2016/02/41）.