☉江蘇省張家港市樂余高級中學 張士亮

優(yōu)化解析幾何題的幾種策略

☉江蘇省張家港市樂余高級中學 張士亮

解析幾何大題是很多高中學生比較頭痛的一塊，主要是因為運算量太大.在高考中，解析幾何題歷年的得分率都不是很高，如果能在高考中結合其他知識點，簡化運算，優(yōu)化解題過程，不僅可以節(jié)省時間，還可以提高正確率.

一、利用圓錐曲線定義巧解實際問題

圓錐曲線定義是反映問題最本真的東西，解題時若能把握好圓錐曲線的定義，一定會收到意想不到的效果.

圖1

分析：實際應用問題要將問題轉化為數學模型來解決.

圖2

本解法綜合考查了橢圓的第一定義及標準方程，并利用橢圓的第二定義求最小值問題，特別是第二定義的應用，并借助了數形結合使問題得以解決.

從上面的解題過程我們可以看出：運用圓錐曲線的定義解題，通過數形結合，不僅能抓住問題的本質，還能避開復雜的運算，使問題巧妙獲解.

二、利用直線的參數方程解題

參數方程是選修內容，若能抓住其本質，在問題解決過程中能起到舉足輕重的作用.

（Ⅰ）求橢圓E的方程及點T的坐標；

（Ⅱ）設O是坐標原點，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A、B，且與直線l交于點P.證明：存在常數λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

設點A，B的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2）.

在第（Ⅱ）問中，如果借助于直線的參數方程，可以有效地減少計算量

新解法利用直線參數方程中|t|的意義，直接代表曲線上的點到所給定點的距離，省去了原方法中求兩點之間距離化簡的步驟，直接聯立方程用韋達定理即可，因此有效減少了運算量.在遇到圓錐曲線中涉及求到所給定點距離的，或者求共線向量內積的，都可以借助直線的參數方程簡化運算.

三、利用向量優(yōu)化解題過程

例3如圖3，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A（2，4）.

（1）設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標準方程；

圖3

（2）設平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BC=OA，求直線l的方程；

高考原解：（1）圓N的標準方程為（x-6）2+（y-1）2=1.

（2）直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.（具體解答過程略）

（3）設P（x1，y1），Q（x2，y2）.

因為點Q在圓M上，所以（x2-6）2+（y2-7）2=25.②

將①代入②，得（x1-t-4）2+（y1-3）2=25.

在第（3）問中，如果借助向量，可以有效地減少計算量.

新解法利用向量只研究大小和方向，借助向量的模進行放縮，進而達到求解問題的目的.相比原解法省略了設點代入方程的步驟，有效地減少了運算量.在解決解析幾何問題時，能多聯系其他知識點，可以有效地減少運算量，提高解題效率和準確率.

四、利用設而不求及韋達定理優(yōu)化解題過程

對于“直線與圓錐曲線的位置關系”問題，通常將直線方程和曲線方程進行聯立，消元后得到一個一元二次方程，再結合韋達定理、根的判別式等來處理相關問題，這類問題是以“設而不求，整體代換”來充分體現“劃歸與轉化”的數學思想方法，這是圓錐曲線綜合問題“通用”的解題策略.

例4已知橢圓C：x2+3y2=3，過點D（1，0）且不過點E（2，1）的直線與橢圓C交于A、B兩點，直線AE與直線x= 3交于點M.

（Ⅰ）求橢圓C的離心率；

（Ⅱ）若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；

（Ⅲ）試判斷直線BM與直線DE的位置關系，并說明理由.

（Ⅱ）因為AB過點D（1，0）且垂直于x軸，所以可設A（1，y1），B（1，-y1）.

所以直線AE的方程為y-1=（1-y1）（x-2）.

（Ⅲ）直線BM與直線DE平行.證明如下：

當直線AB的斜率不存在時，由（Ⅱ）可知kBM=1.

當直線AB的斜率存在時，設其方程為y=k（x-1）（k≠1）.

所以kBM=1=kDE，所以BM∥DE.

綜上可知，直線BM與直線DE平行.

本題的解法中是設出直線方程并與橢圓聯立，用直線AB的斜率k及A，B的橫坐標x1，x2表示直線BM的斜率，在利用韋達定理將直線BM的斜率表示為k的形式，從而判斷直線BM與直線DE的位置關系，本解法采用了設而不求、韋達定理即斜率公式，避免了煩瑣的計算，進而使問題順利得到解決.

總之，我們需要在解題過程中綜合其他不同的知識點，關注知識點之間的融合，引導學生反思、總結、提煉，長期以往，就一定能收到良好的教學效果.F