衛(wèi)軍　李松林　董榮珍　劉曉春　吳志強(qiáng)

摘要：從分析混凝土材料的基本損傷機(jī)制出發(fā)，考慮疲勞荷載作用下混凝土的損傷累積和殘余變形，推導(dǎo)了由Helmholtz自由能表示的混凝土本構(gòu)方程，根據(jù)變分原理建立了基于能量的混凝土疲勞損傷本構(gòu)模型。并根據(jù)疲勞過(guò)程中殘余變形的發(fā)展規(guī)律，定義了物理意義明確的殘余變形影響因子，并將其與混凝土變形模量損傷因子一同融入混凝土疲勞損傷本構(gòu)模型中，為混凝土疲勞行為的計(jì)算機(jī)分析提供了一種更為精確、簡(jiǎn)化的混凝土疲勞本構(gòu)模型。試驗(yàn)數(shù)據(jù)和數(shù)值算例的對(duì)比誤差不超過(guò)3%，從而驗(yàn)證了該模型的準(zhǔn)確性與適用性。

關(guān)鍵詞：混凝土；殘余變形影響因子；疲勞行為；疲勞損傷本構(gòu)模型；模型驗(yàn)證

中圖分類號(hào)：TU528。01 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

疲勞是指在低于靜載強(qiáng)度的循環(huán)荷載作用下材料所發(fā)生的性能劣化乃至失效?；炷岭S著疲勞加載歷程的進(jìn)行，內(nèi)部微裂縫不斷發(fā)展，損傷不斷積累。研究表明，隨著疲勞次數(shù)增加，彈性模量不斷降低，總變形逐漸增大，其中不可恢復(fù)的殘余變形部分亦不斷增加，這些都是混凝土材料在疲勞過(guò)程中非線性行為的顯著特征。如何在混凝土疲勞性能研究中全面考慮這些非線性特性，以實(shí)現(xiàn)對(duì)混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土構(gòu)件的疲勞性能演變的全過(guò)程分析，一直都是研究者和工程界感興趣的問(wèn)題。

近年來(lái)，有研究者以實(shí)際重復(fù)加載過(guò)程中測(cè)量的殘余應(yīng)變和疲勞破壞時(shí)極限殘余應(yīng)變之比作為損傷變量建立了疲勞損傷演化方程。有研究者基于疲勞剛度退化、疲勞強(qiáng)度退化與疲勞殘余變形演變規(guī)律，提出了疲勞累積失效全過(guò)程的數(shù)值分析方法。有研究者考慮混凝土疲勞過(guò)程中殘余應(yīng)變的影響，結(jié)合混凝土靜力單軸受壓本構(gòu)關(guān)系，推導(dǎo)了混凝土疲勞損傷后的等效單軸受壓應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。有研究者根據(jù)疲勞等效累積原則和混凝土疲勞殘余應(yīng)變的計(jì)算理論，推導(dǎo)出基于殘余應(yīng)變的混凝土疲勞損傷模型。有研究者建立了混凝土棱柱體的非均質(zhì)細(xì)觀數(shù)值模型，引入彈塑性本構(gòu)關(guān)系，對(duì)混凝土的受壓性能進(jìn)行了數(shù)值試驗(yàn)，揭示了混凝土的非線性破壞機(jī)理。這些研究大大推進(jìn)了混凝土疲勞非線性分析的研究進(jìn)程，但現(xiàn)有的模型中有些非線性特性考慮不夠簡(jiǎn)明、具體，大多分析過(guò)程較繁瑣、費(fèi)時(shí)費(fèi)力。

為了在混凝土疲勞的計(jì)算機(jī)分析中更加直觀、明確地考慮其非線性特性的影響，亟需構(gòu)建一種物理意義明確、更為簡(jiǎn)化的混凝土疲勞本構(gòu)模型。本文分析了損傷累積和殘余變形的影響，定義了具有明確物理意義的殘余變形影響因子，結(jié)合變形模量損傷因子，建立了基于能量的混凝土疲勞損傷本構(gòu)模型，試圖揭示混凝土的疲勞損傷演變機(jī)理及其疲勞受力行為演化規(guī)律。

1混凝土疲勞損傷本構(gòu)模型

1.1疲勞損傷本構(gòu)模型的構(gòu)建

由混凝土循環(huán)應(yīng)力應(yīng)變曲線可以看出混凝土疲勞過(guò)程是一個(gè)損傷不斷累積的過(guò)程，此過(guò)程也是一個(gè)不可逆的熱力學(xué)過(guò)程，如圖1所示。

圖1中，ε_c（N）為混凝土循環(huán)加載N次后的總應(yīng)變；ε_cr（N）為混凝土循環(huán)加載N次后的殘余應(yīng)變；E（N）為混凝土循環(huán)加載N次后的彈性模量，E₀為混凝土的初始彈性模量。

混凝土疲勞損傷的過(guò)程中，若不考慮熱量的耗散，僅考慮等溫的純粹力學(xué)過(guò)程，混凝土的Helm-holtz自由能ψ為應(yīng)變?chǔ)藕蛽p傷變量D的狀態(tài)函數(shù)：

ψ=ψ（ε，D）。 （1）式中：ε為應(yīng)變；D為損傷變量。

基于熱力學(xué)的推導(dǎo)可以得到以Helmholtz自由能表示的混凝土材料本構(gòu)方程基本形式：

（2）

經(jīng)典的損傷力學(xué)認(rèn)為材料的損傷只與彈性變形有關(guān)，然而損傷還造成材料不可恢復(fù)的塑性變形，在材料損傷過(guò)程中的總應(yīng)變可以寫成彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變之和：

ε=ε^e+ε^p。 （3）式中：ε^e為彈性應(yīng)變；ε^p為塑性應(yīng)變。

假定彈性與塑性Helmholtz自由能不耦合，因此，疲勞過(guò)程混凝土的Helmholtz自由能分解成彈性和塑性兩部分：

（4）

若用c（D）代表混凝土N次疲勞損傷后的卸載剛度，那么彈性Helmholtz自由能可以定義為：

（5）

剛度退化由損傷導(dǎo)致，而損傷是不可逆的，因此C（D）為損傷變量D的非遞增函數(shù)。對(duì)于初始無(wú)損傷狀態(tài)C（D）=E₀，那么

（6）

混凝土N次疲勞后的彈性Helmholtz自由能用損傷變量表示：

（7）

由式（2）可得：

（8）

將式（3）和（7）代入式（8）得混凝土的受壓損傷本構(gòu)模型：

（9）式中：ε^p為塑性變形，疲勞荷載作用下為殘余變形ecr。

于是混凝土的疲勞損傷本構(gòu)模型為：

（10）式中：σ_c（n）≤σ₀，σ₀為初始加載時(shí)的應(yīng)力值；ε_c（N）為循環(huán)荷載作用N次后的峰值應(yīng)變。ε_cr（N）為循環(huán)荷載作用N次后的殘余應(yīng)變。

式（10）即為混凝土的疲勞損傷本構(gòu)模型，能很好地考慮混凝土在疲勞荷載作用下的損傷累積和殘余變形等非線性因素。

1.2模型參數(shù)的確定

1.2.1變形模量損傷因子

式（10）確定了混凝土的疲勞損傷本構(gòu)模型，下面對(duì)模型中參數(shù)的具體取值進(jìn)行簡(jiǎn)化和確定。

D（N）為考慮混凝土疲勞過(guò)程剛度衰減的變形模量損傷因子：

（11）

1.2.2殘余變形影響因子

根據(jù)文獻(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果，混凝土在疲勞過(guò)程中的殘余應(yīng)變和最大應(yīng)變具有相同的三階段發(fā)展規(guī)律，其比值能很好地反映混凝土在疲勞過(guò)程的變形特征，將其比值定義為混凝土疲勞殘余變形影響因子，即：

（12）式中：ε_cr（N）為循環(huán)荷載作用N次后的殘余應(yīng)變；ε_c（N）為循環(huán)荷載作用N次后的總應(yīng)變。

將式（11）和（12）代入式（10）得到：

（13）

式（13）即為混凝土疲勞損傷本構(gòu)模型，在殘余變形影響因子確定的情況下，結(jié)合變形模量損傷因子，即可得到混凝土塑性損傷本構(gòu)模型。該模型能夠全面考慮混凝土殘余變形和剛度退化對(duì)混凝土疲勞受力行為的影響，物理意義明確，可以方便地用于混凝土疲勞全過(guò)程的計(jì)算機(jī)分析。

2模型驗(yàn)證

2.1試驗(yàn)驗(yàn)證

利用文獻(xiàn)中材料參數(shù)，根據(jù)式（13）確定相應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，與文獻(xiàn)中試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比分析，如圖2所示。

由圖2可看出，文中確定的混凝土疲勞損傷本構(gòu)模型與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好，隨著疲勞加載的進(jìn)行，混凝土強(qiáng)度減小，彈性模量降低，變化規(guī)律與實(shí)際基本相符。

2.2數(shù)值算例

為了進(jìn)一步驗(yàn)證混凝土疲勞損傷本構(gòu)模型，本文以文獻(xiàn)中經(jīng)受疲勞作用的混凝土棱柱體試塊力學(xué)行為演變作為算例，驗(yàn)證混凝土疲勞損傷本構(gòu)模型的準(zhǔn)確性。

試塊尺寸70 mm×70 mm×210 1Tim；強(qiáng)度等級(jí)C15；實(shí)測(cè)抗壓強(qiáng)度f(wàn)_cm=14.35 MPa；疲勞制度：σ_max=0.84f_cm，σ_min=0.1f_cm；應(yīng)力幅σ=0074f_cm。

2.2.1基本參數(shù)的取值

參考文獻(xiàn)中殘余應(yīng)變和最大應(yīng)變的計(jì)算公式，確定混凝土的殘余變形影響因子：

（14）

（15）

（16）式中：ε_c，max，ε_c，min分別為循環(huán)荷載的上下限對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)應(yīng)變；ε_cr（1）為應(yīng)力循環(huán)第一次的殘余應(yīng)變；ε_unstab為疲勞變形第三階段開始時(shí)混凝土的縱向總變形。

參照大量研究結(jié)果，認(rèn)為混凝土第三階段開始時(shí)混凝土的縱向總變形ε_unstab與疲勞荷載應(yīng)力幅和疲勞次數(shù)無(wú)關(guān)，只取決于混凝土材料的性質(zhì)。取混凝土一次加載破壞時(shí)峰值應(yīng)力對(duì)應(yīng)的應(yīng)變?yōu)棣?sub>0。

考慮ε_cr（1）為第一次加載卸載的殘余應(yīng)變，參考文獻(xiàn)取ε_cr（1）=0；

將式（14）（15）（16）代入式（12）計(jì)算殘余變形影響因子；

參考文獻(xiàn)，考慮混凝土強(qiáng)度等級(jí)的影響，按下式確定D（N）。

（17）

選用ABAQUS的C3D8R單元，網(wǎng)格為5 mm，采用式（13）定義的混凝土疲勞損傷本構(gòu)關(guān)系，按照式（18）規(guī)定的混凝土累積損傷的破壞準(zhǔn)則，進(jìn)行建模分析。

（18）

2.2.2結(jié)果分析

疲勞過(guò)程中殘余應(yīng)變和最大應(yīng)變計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)中試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖3和圖4所示。

根據(jù)應(yīng)變計(jì)算結(jié)果，采用割線形式定義混凝土變形模量，采用式（11）計(jì)算混凝土在疲勞過(guò)程中的損傷變量的演變規(guī)律，與文獻(xiàn)中考慮殘余應(yīng)變的損傷演變模型對(duì)比如圖5所示。

結(jié)果分析：疲勞過(guò)程殘余應(yīng)變的數(shù)值模擬結(jié)果與文獻(xiàn)中試驗(yàn)結(jié)果相比略有偏大，但最大誤差沒(méi)有超過(guò)10%；疲勞過(guò)程最大應(yīng)變?cè)诩虞d初期和臨近破壞階段的數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果基本相等，中間穩(wěn)定發(fā)展階段略有偏小，最大誤差在3%左右?？傮w上看混凝土的殘余應(yīng)變和最大應(yīng)變?cè)谡麄€(gè)疲勞破壞的過(guò)程中都呈現(xiàn)倒S的三階段遞增的發(fā)展規(guī)律，與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好。

通過(guò)本文方法計(jì)算的損傷變量演化規(guī)律與文獻(xiàn)的損傷演變模型計(jì)算值和文獻(xiàn)中試驗(yàn)值相差較小，吻合得很好，混凝土疲勞過(guò)程損傷演變都呈現(xiàn)倒S的三階段遞增的發(fā)展規(guī)律。

分析表明：采用本文定義的殘余變形影響因子，能很好地反映混凝土的非線性特性，融入混凝土的疲勞損傷本構(gòu)模型，有助于揭示混凝土疲勞受力行為的演變過(guò)程，為混凝土疲勞行為的計(jì)算機(jī)分析提供了更簡(jiǎn)化、更精確的疲勞損傷本構(gòu)模型。

3結(jié)論

1）本文定義的殘余變形影響因子，其物理意義明確，形式簡(jiǎn)單，能夠準(zhǔn)確地反映混凝土疲勞非線性特性和受力行為的演變過(guò)程。

2）將殘余變形影響因子作為參數(shù)，結(jié)合變形模量損傷因子，能夠簡(jiǎn)單直接地應(yīng)用于混凝土損傷本構(gòu)模型，得到形式簡(jiǎn)單、物理意義明確的混凝土疲勞損傷本構(gòu)模型。

3）算例表明：考慮殘余變形影響因子和變形模量損傷因子的混凝土疲勞損傷本構(gòu)模型能夠全面反映混凝土疲勞非線性特性，準(zhǔn)確、便捷地用于混凝土疲勞受力行為分析，誤差在3%左右。

本文僅在等幅疲勞應(yīng)力下研究混凝土疲勞損傷本構(gòu)模型，考慮加載頻率以及變幅應(yīng)力的影響將在進(jìn)一步的研究中展開。