趙磊　孫璐　孫偉　趙國堂

摘要：為研究溫度影響下的高速鐵路無砟軌道板翹曲變形和變化規(guī)律，基于最小勢(shì)能原理，利用傅里葉級(jí)數(shù)模擬軌道板翹曲過程的翹曲變形，對(duì)負(fù)溫度梯度引起的板角離縫進(jìn)行研究。利用京滬高速鐵路CRTSⅡ型軌道板現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)的板角翹曲數(shù)據(jù)，驗(yàn)證本文用于計(jì)算軌道結(jié)構(gòu)翹曲變形的基于最小勢(shì)能原理的計(jì)算方法，分析溫度梯度影響下的軌道板翹曲規(guī)律。對(duì)比結(jié)果表明：新方法得到的計(jì)算結(jié)果和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)得到的數(shù)據(jù)吻合較好，驗(yàn)證了該方法的可靠性。研究結(jié)果表明：板端翹曲變形與溫度梯度變化成正相關(guān)性，增大地基系數(shù)可以有效地減小溫度引起的軌道板板端翹曲變形。

關(guān)鍵詞：軌道結(jié)構(gòu)；板角離縫；勢(shì)能方程；傅里葉級(jí)數(shù)；擬Newton迭代

中圖分類號(hào)：U238 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

與傳統(tǒng)有砟軌道相比，高速鐵路無砟軌道具有乘坐舒適、方便快捷、運(yùn)輸能力強(qiáng)等優(yōu)勢(shì)，因此成為鐵路客運(yùn)專線發(fā)展的必然選擇。隨著高速鐵路的迅速發(fā)展，板中隆起、板端翹曲引起的平順性衰減嚴(yán)重地影響著高速鐵路運(yùn)行的安全。太陽照射會(huì)使軌道板“上熱下冷”，強(qiáng)降溫等會(huì)造成軌道板表面的溫度驟然降低，使得軌道板“上冷下熱”。這種在軌道板厚度方向上產(chǎn)生的溫度梯度荷載會(huì)導(dǎo)致軌道板產(chǎn)生周期性的翹曲變形，對(duì)設(shè)計(jì)使用壽命要求不小于60年的無砟軌道結(jié)構(gòu)，需考慮溫度變形的長期疲勞效應(yīng)。

國內(nèi)外學(xué)者對(duì)水泥路面混凝土板的溫度翹曲變形研究較早。Choubane等考慮了非線性溫度梯度對(duì)水泥鋪面的影響，采用二次方程表述非線性溫度曲線，研究了非線性溫度梯度對(duì)溫度應(yīng)力和變形的影響。William等通過建立精細(xì)化的具有傳力桿的混凝土路面模型，研究了路面溫度應(yīng)力及溫度變形。Belshe等通過測(cè)量混凝土路面路表和板底溫度變化，對(duì)混凝土路面溫度翹曲問題進(jìn)行了研究，通過數(shù)值模擬對(duì)影響鋪面垂向位移的因素進(jìn)行了分析。Nam等通過測(cè)量1 d中機(jī)場(chǎng)鋪面的撓度變化，對(duì)機(jī)場(chǎng)鋪面溫度翹曲問題進(jìn)行了研究，通過數(shù)值模擬對(duì)影響鋪面垂向位移的因素進(jìn)行了分析。

隨著無砟軌道的廣泛應(yīng)用，國內(nèi)學(xué)者和機(jī)構(gòu)對(duì)無砟軌道結(jié)構(gòu)的翹曲變形也進(jìn)行了深入研究。王繼軍等利用有限單元法研究了單元板式無砟軌道板溫度翹曲變形問題。劉鈺等通過在不同氣候條件下現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)CRTSⅡ軌道板溫度，得到實(shí)測(cè)的軌道板溫度梯度，建立了軌道結(jié)構(gòu)力學(xué)有限元模型，計(jì)算軌道板在實(shí)測(cè)溫度梯度作用下的溫度翹曲變形。盧煒針對(duì)嚴(yán)寒地區(qū)哈大客運(yùn)專線上CRTSⅠ型軌道板與充填層砂漿四角離縫的實(shí)測(cè)結(jié)果，探討CRTSⅠ型軌道板四角離縫成因，提出了減小離縫的施工應(yīng)對(duì)措施。王雪松等通過建立CRTSⅡ的力學(xué)模型，分析軌道板的不同負(fù)溫度梯度，以及軌道板與砂漿層之間不同的黏結(jié)條件對(duì)軌道系統(tǒng)受力與變形的影響。戴公連等通過對(duì)客運(yùn)專線曲線段簡(jiǎn)支梁橋上縱連板式無砟軌道結(jié)構(gòu)溫度場(chǎng)的連續(xù)觀測(cè)，研究了秋季多種天氣情況下曲線橋上無砟軌道溫度場(chǎng)的時(shí)變規(guī)律。這些成果對(duì)分析與了解無砟軌道結(jié)構(gòu)的翹曲變形有極大幫助，但對(duì)無砟軌道結(jié)構(gòu)翹曲變形的研究多停留在觀測(cè)層面上，對(duì)軌道板的溫度翹曲變形理論研究較少，因此，對(duì)無砟軌道結(jié)構(gòu)翹曲變形規(guī)律開展研究具有重要的意義。

綜上所述，現(xiàn)有無砟軌道結(jié)構(gòu)溫度翹曲變形的研究方法，有解析法和有限元法兩種。解析法多采用威斯特卡德理論，假設(shè)板與地基始終保持接觸，無空隙，推演了板由于地基約束而產(chǎn)生的翹曲變形；有限元法通過建立無砟軌道結(jié)構(gòu)模型，設(shè)置相應(yīng)的材料熱力學(xué)參數(shù)和邊界條件，得到結(jié)構(gòu)的變形與內(nèi)力。然而這兩種方法各有缺點(diǎn)：威斯特卡德解假設(shè)板與地基始終保持接觸，無空隙，與無砟軌道溫度翹曲變形后產(chǎn)生離縫的實(shí)際狀況不符。有限元方法，建模方法不統(tǒng)一，結(jié)果受模型尺寸、網(wǎng)格大小、邊界條件影響較大，不利于工程設(shè)計(jì)。本文基于能量法的軌道板翹曲變形研究，采用傅里葉級(jí)數(shù)來模擬軌道板翹曲過程中的翹曲曲線，根據(jù)擬Newton迭代算法求得軌道板翹曲曲線方程。文中對(duì)不同溫度梯度和不同地基系數(shù)下軌道板的翹曲變形量進(jìn)行了分析，探討了降低板角離縫的方法。

1軌道板翹曲變形計(jì)算模型

傳導(dǎo)、對(duì)流、熱輻射是組成無砟軌道結(jié)構(gòu)熱量平衡的3種基本傳熱方式。無砟軌道通過熱輻射和對(duì)流過程獲得熱量，以熱傳導(dǎo)的形式在無砟軌道結(jié)構(gòu)內(nèi)部傳遞，軌道結(jié)構(gòu)熱交換過程如圖1所示。當(dāng)板內(nèi)溫度梯度較大時(shí)，無砟軌道板會(huì)發(fā)生翹曲變形。當(dāng)翹曲變形受重力作用、砂漿層的黏結(jié)作用以及鋼軌和扣件系統(tǒng)的約束作用時(shí)，板內(nèi)會(huì)產(chǎn)生翹曲應(yīng)力，如圖2所示。溫度應(yīng)力是導(dǎo)致無砟軌道結(jié)構(gòu)早期開裂的重要因素。圖3所示為典型無砟軌道結(jié)構(gòu)橫斷面圖，結(jié)構(gòu)自上向下分別為軌道板、砂漿層和支撐層。

2基于能量法的軌道板翹曲變形研究

無砟軌道結(jié)構(gòu)隨溫度變化產(chǎn)生翹曲變形，導(dǎo)致與支撐層連接處產(chǎn)生離縫，引起軌道平順性衰減，在高速列車動(dòng)荷載作用下，離縫處的軌道板與基礎(chǔ)反復(fù)彎曲變形，造成板端破碎以及支撐層剝離和破碎，形成安全隱患。軌道板的翹曲變形分為2種：一種是軌道板表面溫度高于內(nèi)部溫度，造成“上熱下冷”的情況，此時(shí)軌道板中部拱起，板角下沉。另一種是軌道板表面的溫度驟然降低，使得軌道板“上冷下熱”，此時(shí)產(chǎn)生如圖2所示的板角上翹，板中下沉。圖4所示為軌道板微分單元受力模型，軌道板在線性溫度梯度作用下，產(chǎn)生如圖所示的溫度應(yīng)力。當(dāng)板表面溫度高于板底溫度時(shí)，板中部拱起，此時(shí)受板的自重、鋼軌和扣件系統(tǒng)的約束作用，拱起量較??；當(dāng)板表面溫度低于板底溫度時(shí)，板角由于后澆帶的存在，容易在荷載和溫度作用下產(chǎn)生應(yīng)力集中，后澆帶開裂，板角翹曲量大，形成表面裂縫。裂縫的張開寬度與結(jié)構(gòu)的耐久性有密切關(guān)系，裂縫開裂寬度過大，會(huì)使鋼筋腐蝕加劇，結(jié)構(gòu)加速破壞，板角翹曲比板中拱起更為不利。

無砟軌道為曝露于大氣環(huán)境下的條帶狀結(jié)構(gòu)物，CRTSⅡ型軌道板采用了預(yù)應(yīng)力筋低放用于抵抗板檐上翹的設(shè)計(jì)理念，橫向翹曲量小，本文研究中忽略軌道板的橫向彎曲，將軌道板簡(jiǎn)化為梁構(gòu)件。將軌道板下部支撐結(jié)構(gòu)假設(shè)為溫克勒地基，即支撐剛度簡(jiǎn)化為一系列獨(dú)立的線性彈簧。板端在翹曲過程中受到板端接縫的約束作用，該約束作用以接縫嵌鎖模量（modulus of interlocking joint）表征，該模量值是集料尺寸、接縫開裂寬度、接縫接觸面積的函數(shù)。

采用傅里葉級(jí)數(shù)來模擬軌道板翹曲過程中的翹曲曲線，并假設(shè)軌道板兩端的翹曲值相等?？紤]板端的邊界條件，同時(shí)兼顧級(jí)數(shù)可導(dǎo)性，可將軌道板翹曲曲線用式（1）表示。

（1）式中：ω₀，ω₁，…，ω_n為撓曲線的待定系數(shù)；l為軌道板計(jì)算長度；n為級(jí)數(shù)計(jì)算次數(shù)。

軌道板的彎曲變形能U₁為：

（2）式中：E為軌道板彈性模量；J為軌道板截面慣性矩；L為軌道板計(jì)算長度。

軌道板翹曲，軌道板與支撐結(jié)構(gòu)部分脫離，脫離點(diǎn)在計(jì)算坐標(biāo)系（如圖1所示）的坐標(biāo)分別為a和6，此時(shí)軌道板的彈性支撐變形能U₂為：

（3）式中：k為支撐軌道板的彈性地基系數(shù)；B為軌道板寬度。

板端在翹曲過程中受到板端接縫的約束作用（如圖2所示）的變形能U₃為：

（4）式中：k_s為接縫嵌鎖模量。

溫度梯度做功V：

（5）

由能量法計(jì)算獲得的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)衰減迅速，通過計(jì)算分析可知（見表1），當(dāng)取到級(jí)數(shù)的第二項(xiàng)時(shí)，其系數(shù)已經(jīng)非常小，基本可以忽略。為簡(jiǎn)化計(jì)算，取傅里葉級(jí)數(shù)的前兩項(xiàng)，即

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

軌道板的真實(shí)位移函數(shù)ω應(yīng)該使總勢(shì)能Ⅱ?yàn)樽钚≈?，即叫?yīng)該使Ⅱ的一階變分為零，即

（11）

將式（4）（7）（8）（9）代入式（10），總勢(shì)能函數(shù)Ⅱ?qū)⒆兂搔?sub>0，ω₁，ω₂的函數(shù)，根據(jù)最小勢(shì)能原理，這些待定常數(shù)應(yīng)使總勢(shì)能函數(shù)Ⅱ?yàn)闃O值，因此必須有：

（12）

同時(shí)，軌道板翹曲脫離點(diǎn)a和b應(yīng)滿足翹曲曲線方程，即：

（13）

（14）

式（12）（13）（14）是5個(gè)待定常數(shù)的非線性方程組，本文求解采用擬Newton迭代算法（如圖5所示），即可解出未知數(shù)，矩陣A_k+1關(guān)于點(diǎn){x}^k及{x}^k+1具有“差商”性質(zhì)。

3軌道板翹曲變形計(jì)算分析

3.1計(jì)算方法驗(yàn)證

京滬高鐵鋪設(shè)CRTSⅡ型軌道板時(shí)，在某路段對(duì)3塊相連軌道板的周圍空氣溫度、軌道板溫度、翹曲變形值進(jìn)行了實(shí)測(cè)。為測(cè)量軌道翹曲變形，用千分表觀測(cè)，將6個(gè)千分表分別布置在板角和縱向板邊緣中部。

為了驗(yàn)證本文算法的正確性，取標(biāo)準(zhǔn)CRTSⅡ軌道板進(jìn)行分析，軌道板寬度為2.55 m，長度為6.45 m，厚度為0.2 m，泊松比μ為0.15，軌道板彈性模量E為3.55×10⁴MPa，膨脹系數(shù)αE為1×10^-5，地基反應(yīng)模量為20 MPa/m，接縫嵌鎖模量為0。7 MPa/m。用本文的方法計(jì)算軌道板角翹曲變形并與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，如圖6所示，可見本文的計(jì)算方法能夠比較準(zhǔn)確地用于軌道結(jié)構(gòu)翹曲變形計(jì)算。圖6（b）中，實(shí)測(cè)板角翹曲變形較計(jì)算值略大，原因是計(jì)算模型將軌道板簡(jiǎn)化為一維模型，未考慮另一方向翹曲變形對(duì)該方向的影響，同時(shí)由于計(jì)算過程中將溫度梯度進(jìn)行線性分布假設(shè)，未考慮非線性溫度對(duì)軌道板的影響。然而計(jì)算與實(shí)測(cè)的變形差在溫度梯度40℃/m僅有0.07 mm，對(duì)比結(jié)果進(jìn)一步證明了本文關(guān)于軌道板翹曲變形計(jì)算方法的準(zhǔn)確性和有效性。

3.2溫度梯度影響下的軌道板翹曲規(guī)律

為了分析溫度梯度對(duì)軌道板端部翹曲的影響，選取了6組不同的溫度梯度進(jìn)行分析，軌道板上下表面溫差變化范圍從2℃到12℃，變化幅度為2℃，見表1。由表1可知，當(dāng)軌道板上下表面溫差為2℃（溫度梯度10℃/m）時(shí)，板端翹曲位移為0.198mm，板中心下沉量為0.226 mm；當(dāng)軌道板上下表面溫差為8℃（溫度梯度40℃/m）時(shí)，板端翹曲位移為0.515 mm，約為溫度梯度20℃/m時(shí)板端翹曲位移的2.6倍，板中心下沉量為0.553 mm，約為溫度梯度10℃/m時(shí)板中心下沉量的2.4倍；當(dāng)軌道板上下表面溫差為12℃（溫度梯度60℃/m）時(shí)，板端翹曲位移為0.686 mm，約為溫度梯度10℃/m時(shí)板端翹曲位移的3.5倍，板中心下沉量為0.737mm，約為溫度梯度10℃/m時(shí)板中心下沉量的3.3倍。

由圖7和圖8可知，隨著軌道板溫度梯度的變化，軌道板板端翹曲變形和板中心下沉量也相應(yīng)變化。隨著軌道板負(fù)溫度梯度增大，板端翹曲變形增大，板中心下沉量也相應(yīng)增加，與溫度梯度變化成正相關(guān)性；軌道板板端翹曲變化與板中心下沉量變化和溫度梯度變化均近似直線關(guān)系；在同一溫度梯度時(shí)，板中心下沉量比板端翹曲變形量大。

3.3地基系數(shù)影響下的軌道板翹曲規(guī)律

為了研究地基系數(shù)對(duì)軌道板端部翹曲的影響，選取了5組不同的地基系數(shù)進(jìn)行分析，地基系數(shù)變化范圍為2×10⁵～2×10⁹Pa/m，見表2。

由表2可知，當(dāng)?shù)鼗禂?shù)為0.2 MPa/m時(shí)，板端翹曲位移為0.376 mm，相應(yīng)板中心的下沉量為0.403 mm；當(dāng)?shù)鼗禂?shù)增大為20 MPa/m時(shí)，板端翹曲位移為0.343 mm，約為地基系數(shù)為0.2 MPa/m時(shí)板端翹曲位移的0.9倍，板中心的下沉量為0.368 mm，約為地基系數(shù)為0.2 MPa/m時(shí)板中心下沉量的0.92倍；當(dāng)?shù)鼗禂?shù)為2 000 MPa/m時(shí)，板端翹曲位移為0.020 1Tim，約為地基系數(shù)為0.2MPa/m時(shí)板端翹曲位移的0.05倍，板中心的下沉量為0.028 mm，約為地基系數(shù)為0.2 MPa/m時(shí)板中心下沉量的0.07倍。

由圖9和圖10可知，增大地基系數(shù)可以有效地減小溫度引起的軌道板板端翹曲變形。隨著地基反應(yīng)模量增大，板端翹曲變形減小，板中心下沉量也相應(yīng)減小，與地基反應(yīng)模量變化成負(fù)相關(guān)性；軌道板板端翹曲變化和板中心下沉量變化均與地基反應(yīng)模量變化呈非線性關(guān)系，突變點(diǎn)在地基反應(yīng)模量為200MPa/m處。

為了減小負(fù)溫度梯度引起的軌道板板端翹曲變形，軌道板下部結(jié)構(gòu)應(yīng)采用剛度較大的支撐層，然而軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)會(huì)隨著彈性地基剛度增大而增大，因此需要結(jié)合軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析選擇合理的地基剛度。

4結(jié)論

1）本文基于最小勢(shì)能原理，利用傅里葉級(jí)數(shù)模擬軌道板翹曲過程的翹曲變形，對(duì)負(fù)溫度梯度引起的板角離縫進(jìn)行研究，根據(jù)擬Newton迭代算法求得軌道板翹曲變形以及翹曲曲線方程。該方法具有準(zhǔn)確簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，可以用于工程設(shè)計(jì)。

2）隨著軌道板負(fù)溫度梯度增大，板端翹曲變形增大，板中心下沉量也相應(yīng)增加，與溫度梯度變化成正相關(guān)性；軌道板板端翹曲變化與板中心下沉量變化與溫度梯度變化均近似直線關(guān)系；在同一溫度梯度時(shí)，板中心下沉量比板端翹曲變形量大。

3）增大地基系數(shù)可以有效地減小溫度引起的軌道板板端翹曲變形。隨著地基反應(yīng)模量增大，板端翹曲變形減小，板中心下沉量也相應(yīng)減小，與地基反應(yīng)模量變化成負(fù)相關(guān)性。

4）為了減小負(fù)溫度梯度引起的軌道板板端翹曲變形，軌道板下部結(jié)構(gòu)應(yīng)采用較大的彈性地基系數(shù)，然而軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)會(huì)隨著彈性地基系數(shù)增大而增大，因此需要結(jié)合軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析選擇合理的地基系數(shù)。

5）計(jì)算模型將軌道板簡(jiǎn)化為一維模型，未考慮另一方向翹曲變形對(duì)該方向的影響，同時(shí)由于計(jì)算過程中將溫度梯度進(jìn)行線性分布假設(shè)，未考慮非線性溫度對(duì)軌道板的影響，這是以后工作中要考慮的內(nèi)容。