摘要：作為數(shù)學(xué)“創(chuàng)客教育”的課程載體，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有著自身的特質(zhì)——思想與實(shí)踐對(duì)接、歸納與演繹圓融、思維與創(chuàng)造共生。運(yùn)用“創(chuàng)客教育”理念進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，要警惕“講解”對(duì)“操作”的代替、“結(jié)果”對(duì)“過程”的僭越、“操作”對(duì)“思想”的輕視。在引領(lǐng)兒童進(jìn)行“數(shù)學(xué)眾創(chuàng)”過程中，必須引發(fā)兒童的“主動(dòng)之意”，彰顯兒童的“理解之美”，呈現(xiàn)兒童的“解放之樂”，實(shí)現(xiàn)兒童的“成長之需”，由此開辟嶄新的兒童數(shù)學(xué)“眾創(chuàng)路徑”。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；創(chuàng)客教育；課程載體

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2017）04A-0069-04

基于互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代“大數(shù)據(jù)”、“云計(jì)算”背景，以創(chuàng)新為靈魂的“創(chuàng)客教育”必須扎根學(xué)校課堂。作為數(shù)學(xué)“創(chuàng)客教育”的課程載體，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛴行Ыy(tǒng)合課程資源，實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科、跨領(lǐng)域的知識(shí)融合、技能整合。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，兒童擺脫“離身思維”，“手腦”結(jié)合、“做思”共生，形成一種“具身認(rèn)知”。[1]數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)將成為開啟數(shù)學(xué)“創(chuàng)客教育”的新動(dòng)力引擎。

一、創(chuàng)客教育：訴求數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的“課程價(jià)值”

現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)不是無可懷疑的“真理集合”，而是動(dòng)態(tài)、可誤的，是一個(gè)不斷地猜想、嘗試、計(jì)算、推理、證實(shí)或證偽的動(dòng)態(tài)生長過程。正是在這個(gè)意義上，著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說，“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面：一方面是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)?！痹跀?shù)學(xué)“創(chuàng)客教育”過程中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有著獨(dú)特的課程價(jià)值。

（一）思想與實(shí)踐對(duì)接

所謂數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，是指兒童在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所產(chǎn)生的操作性、印象性或符號(hào)性的實(shí)驗(yàn)或準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)（虛擬實(shí)驗(yàn)），它超越了純粹的“紙筆數(shù)學(xué)”，讓兒童的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)實(shí)踐無縫對(duì)接、有效整合。教學(xué)《三角形三邊關(guān)系》，筆者首先向?qū)W生們提供一根小棒（15厘米），讓學(xué)生測(cè)量，然后讓他們自主創(chuàng)造“結(jié)構(gòu)性素材”——將小棒分成三段嘗試圍，在圍的實(shí)驗(yàn)過程中展開自我追問：為什么有的能圍成，而有的卻圍不成？思維的觸角延伸至“三角形三邊的數(shù)據(jù)關(guān)系”。最后筆者讓學(xué)生們將“圍成”和“圍不成”的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用表格分類整理，產(chǎn)生對(duì)“三角形三邊關(guān)系”的理性認(rèn)識(shí)。在此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引領(lǐng)兒童數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)思維修正兒童的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。[2]

（二）歸納與演繹圓融

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)開辟了兒童“用手思考問題”的道路，兒童正是在“動(dòng)手做”的過程中解壓了數(shù)學(xué)思維。同時(shí)，數(shù)學(xué)思維反過來對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行必要的凝聚——抽象和概括。這是一個(gè)伴隨兒童認(rèn)知沖突、矛盾解決的不斷猜想、探究、嘗試與論證的過程。教學(xué)《兩位數(shù)除以一位數(shù)》，筆者首先出示63÷3，學(xué)生用手中的小棒實(shí)驗(yàn)，有的先分個(gè)位上的3根，有的先分十位上的6捆；然后筆者出示76÷2，學(xué)生依然是兩種分法，但已經(jīng)開始通過自我“內(nèi)部言語”歸納出“先分十位”更合理、更方便些；接著筆者出示42÷3，這時(shí)個(gè)位上的2不夠分，學(xué)生只能從高位開始。在學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)理解了算理后，筆者讓他們進(jìn)行豎式計(jì)算，演繹生成出“兩位數(shù)除以一位數(shù)”的算法模型[3]。從“工具操作”到“表象歸納”再到“符號(hào)演繹”，兒童的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)升華為數(shù)學(xué)的理性認(rèn)知。

（三）思維與創(chuàng)造共生

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是孕育兒童數(shù)學(xué)創(chuàng)造的孵化器，兒童的一個(gè)個(gè)“小微創(chuàng)”在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中誕生。在“微創(chuàng)”過程中，兒童主動(dòng)觀察、思維、想象、推理，主動(dòng)畫圖、剪拼、測(cè)量，等等。教學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)——《神奇的“莫比烏斯圈”》，筆者首先讓學(xué)生觀察、觸摸，他們迅速感知到：“莫比烏斯圈”只有一個(gè)面、一條邊。然后，筆者讓學(xué)生用剪刀沿“莫比烏斯圈”中線剪開，他們驚奇地發(fā)現(xiàn)：剪后的“莫比烏斯圈”變成一個(gè)大紙環(huán)。接著，筆者讓學(xué)生展開實(shí)驗(yàn)，于是有學(xué)生剪了“莫比烏斯圈”的三分之一，有學(xué)生先剪二分之一，再剪二分之一等。在看、剪的過程中，他們萌發(fā)出創(chuàng)造性想象：老師，如果把磁帶做成莫比烏斯圈，就不用翻面了；老師，如果把“輸送帶”做成莫比烏斯圈，或許能延長使用壽命呢……學(xué)生們激情飛揚(yáng)，創(chuàng)意迭出。最后，筆者用迷人的“莫比烏斯建筑”、“莫比烏斯涼鞋”等激活兒童創(chuàng)想、創(chuàng)行。

二、創(chuàng)客教育：觀照數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的“問題現(xiàn)象”

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，兒童的抽象思維與形象思維并存，感性觀察與理性分析交織。唯有如此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能激活兒童的“群智群力”，激發(fā)兒童的研究與探索。然而，當(dāng)我們運(yùn)用“創(chuàng)客教育”理念觀照當(dāng)下數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)存在諸多問題——“數(shù)學(xué)講解”對(duì)“實(shí)驗(yàn)操作”的代替、“數(shù)學(xué)結(jié)果”對(duì)“實(shí)驗(yàn)過程”的僭越、“實(shí)驗(yàn)操作”對(duì)“數(shù)學(xué)思想”的輕視等。

（一）“數(shù)學(xué)講解”對(duì)“實(shí)驗(yàn)操作”的代替

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是實(shí)施數(shù)學(xué)“創(chuàng)客教育”的價(jià)值載體。實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)許多數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)蜻蜓點(diǎn)水、一帶而過，甚至將豐富生動(dòng)的“做實(shí)驗(yàn)”減縮為“說實(shí)驗(yàn)”“講實(shí)驗(yàn)”“演實(shí)驗(yàn)”。教學(xué)《可能性》，有教師為節(jié)約課堂教學(xué)時(shí)間，將他們自認(rèn)為枯燥、繁瑣的摸球?qū)嶒?yàn)簡化或懸置，代之以數(shù)學(xué)講解，讓學(xué)生們猜測(cè)“摸球結(jié)果”，直接出示數(shù)學(xué)家研究“等可能性”的“拋硬幣”實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。如此，兒童體驗(yàn)不到事件的隨機(jī)性，更談不上掌握統(tǒng)計(jì)方法、感悟概率思想。

（二）“數(shù)學(xué)結(jié)果”對(duì)“實(shí)驗(yàn)過程”的僭越

教學(xué)中，有教師為追求實(shí)驗(yàn)結(jié)果一步到位，甚至為求實(shí)驗(yàn)順暢而對(duì)實(shí)驗(yàn)過程進(jìn)行前置告知、過渡預(yù)設(shè)，導(dǎo)致兒童操作簡單、思維膚淺。教學(xué)《圓的周長》，一位教師首先出示圓周率近似數(shù)——3.14，接著讓學(xué)生實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。于是有學(xué)生用“繞線法”測(cè)量圓周長，有學(xué)生用“滾圓法”測(cè)量圓周長。通過計(jì)算圓周長和直徑的商，學(xué)生發(fā)現(xiàn)不是3.14，他們?yōu)橛辖處熂娂姶鄹?、杜撰?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，甚至懸置數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，代之以數(shù)學(xué)計(jì)算。充滿童趣的探究實(shí)驗(yàn)被教師誤導(dǎo)為驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)，而教師對(duì)兒童實(shí)驗(yàn)過程又缺乏具體、明確的指導(dǎo)，導(dǎo)致兒童偽造實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

（三）“實(shí)驗(yàn)操作”對(duì)“數(shù)學(xué)思想”的輕視

在創(chuàng)客教育中，“實(shí)驗(yàn)”是“數(shù)學(xué)”的載體，“思想”是“數(shù)學(xué)”的靈魂，要警惕兒童淪落為機(jī)械的“操作工”。必須導(dǎo)引兒童展開深度的數(shù)學(xué)思考，讓兒童感悟、體驗(yàn)、應(yīng)用數(shù)學(xué)。例如“間隔排列”問題是數(shù)學(xué)經(jīng)典問題，有教師教學(xué)時(shí)只是蜻蜓點(diǎn)水地讓學(xué)生“擺學(xué)具—觀察特征”“猜想—驗(yàn)證”。整個(gè)過程沒有“對(duì)應(yīng)學(xué)具”的分組操作，沒有讓學(xué)生慢慢感悟“對(duì)應(yīng)思想”，導(dǎo)致學(xué)生一頭霧水，始終不能深刻理解“為什么‘兩端物體相同，‘兩端物體比‘中間物體多1”，在應(yīng)用時(shí)學(xué)生不知所措，加1、減1還是相等呢？

三、創(chuàng)客教育：探尋數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的“眾創(chuàng)路徑”

作為體驗(yàn)式學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是兒童在“做中學(xué)”、“做中玩”、“做中研”、“做中創(chuàng)”。實(shí)驗(yàn)過程中，教師成長為創(chuàng)客導(dǎo)師，營建創(chuàng)想氛圍、打造創(chuàng)想空間、激發(fā)兒童創(chuàng)想意識(shí)，對(duì)兒童的實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新進(jìn)行“眾扶”、“眾籌”，讓兒童想創(chuàng)、敢創(chuàng)、能創(chuàng)。

（一）從“約”到“放”，通過“對(duì)比實(shí)驗(yàn)”引發(fā)兒童“主動(dòng)之意”

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，要引發(fā)兒童主動(dòng)學(xué)習(xí)的愿望，讓兒童自主建構(gòu)。教學(xué)《圓錐的體積》，許多教師實(shí)驗(yàn)時(shí)直接出示“結(jié)構(gòu)性素材”——“等底等高的圓柱圓錐”，這是教師脅迫下兒童的“被實(shí)驗(yàn)”，為什么非得選擇圓柱且是“等底等高”的圓柱？[4]筆者教學(xué)時(shí)由“約”而“放”，首先出示大小、形狀不同的立體模型（如長方體、正方體、圓柱體、三棱柱等）讓學(xué)生自主選擇。學(xué)生們紛紛選擇圓柱。

師：你們?yōu)槭裁催x擇圓柱？

生1：因?yàn)閳A柱和圓錐的底面都是圓形，便于比較。

師：這里有四種規(guī)格的圓柱圓錐（“等底不等高”1組、“等高不等底”1組、“等底等高”2組、“不等底不等高”2組），你們選擇哪種規(guī)格？

生2：我選擇“等底等高”的圓柱圓錐，這樣更便于比較。

接著筆者讓學(xué)生用四種規(guī)格的圓柱圓錐（裝沙子、水）分組進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。學(xué)生們驚奇地發(fā)現(xiàn)有三組實(shí)驗(yàn)結(jié)果是“圓柱的體積大約是圓錐體積的三倍”，其中兩組是“等底等高”，一組是“不等底不等高”。接著筆者組織學(xué)生討論，討論中，他們認(rèn)識(shí)到，由于沙子之間有空隙，所以用水做實(shí)驗(yàn)更科學(xué)，并且深刻地感悟到，等底等高的圓柱圓錐，圓柱的體積一定是圓錐的3倍，而圓柱的體積是圓錐的3倍，它們可能“等底等高”，也可能“不等底不等高”。他們還用“高瘦瘦和矮胖胖”生動(dòng)地解釋“不等底不等高”的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。這里，兒童充分發(fā)揮自我數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的能動(dòng)性，真正經(jīng)歷了“圓錐體積公式”誕生歷程，成為數(shù)學(xué)意義上的“創(chuàng)客”。

（二）從“迷”到“思”，通過“模型實(shí)驗(yàn)”彰顯兒童“理解之美”

兒童在生活、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)產(chǎn)生許多“迷思概念”（一種錯(cuò)誤概念或思維結(jié)構(gòu)），教學(xué)中教師可以運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)化兒童思維，讓兒童思維澄明、敞亮。

六年級(jí)試卷有這樣一道選擇題：一個(gè)真分?jǐn)?shù)，如果分子和分母同時(shí)加上k（k>0），所得分?jǐn)?shù)（）（>、<、=）原分?jǐn)?shù)。許多學(xué)生看到“同時(shí)加上k”，所以選擇了“現(xiàn)分?jǐn)?shù)=原分?jǐn)?shù)”。

對(duì)于兒童的“迷思”，筆者沒有如一般教師運(yùn)用“假設(shè)法”（即舉幾個(gè)例子讓學(xué)生嘗試運(yùn)算），而是做了一個(gè)可視性的“模型實(shí)驗(yàn)”[5]。

師：老師這兒有一杯糖水，它的糖占糖水 ，如果老師再加入k克糖，糖、糖水、含糖率分別發(fā)生了怎樣的變化？

生1：糖多了，糖水也多了。

生2：變甜了。

師：變甜了就是什么變化了？

生3：含糖率升高了。

師：現(xiàn)在你知道一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)加上同一個(gè)大于0數(shù)，分?jǐn)?shù)變大的道理了嗎？

學(xué)生們恍然大悟，原來一個(gè)抽象的“不等式問題”竟然可以用一個(gè)“糖水濃度”實(shí)驗(yàn)來解釋，既直觀形象又嚴(yán)密深刻！這里，兒童感受到數(shù)學(xué)的美妙與神奇。

（三）從“低”到“高”，通過“模擬實(shí)驗(yàn)”呈現(xiàn)兒童的“解放之趣”

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程應(yīng)該成為兒童感受數(shù)學(xué)力量的過程，充分彰顯兒童的解放旨趣。從本質(zhì)直觀到理性判斷，兒童能夠感受自我的本質(zhì)力量！教學(xué)《長方形和正方形面積》，筆者讓學(xué)生們做“貼瓷磚”的模擬實(shí)驗(yàn)。

教師首先給出一個(gè)小長方形紙（長、寬均為整厘米數(shù)），讓學(xué)生用“1平方厘米”的小正方形塑料片進(jìn)行拼擺，通過數(shù)，兒童直觀感知到長方形紙的面積；然后出示一個(gè)大長方形紙，先讓學(xué)生估計(jì)長方形紙的面積，再讓他們用直尺分別量出長方形紙的長、寬，接著再讓他們用“1平方厘米”的小正方形塑料片拼擺。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，塑料片不夠拼擺了。

師：不夠拼擺怎么辦呢？

生1：可以用筆畫出空出的部分，然后數(shù)一數(shù)。

生2：可以先用小正方形塑料片擺一行，然后畫一條橫線，再沿著這條橫線向上對(duì)折。（簡化思想初現(xiàn)端倪）

生3：可以在頭腦中想象。

師：非得畫滿、折滿么？有沒有更為簡單的方法？（沉默片刻）

生4（興奮地）：只要用小正方形擺在長方形紙的長邊和寬邊上，然后再用“長邊上的個(gè)數(shù)”乘“寬邊上的個(gè)數(shù)”。

生5：長方形紙的長邊長度就是長邊上的小正方形的個(gè)數(shù)，寬邊長度就是寬邊上的小正方形的個(gè)數(shù)，所以我們只要知道長方形紙的長和寬，就能算出長方形紙的面積。

至此，“長方形的面積公式”自然誕生了。教師故意設(shè)置“短斤缺兩”的工具，讓兒童超越實(shí)驗(yàn)的工具理性，經(jīng)由自我的實(shí)踐理性，邁向數(shù)學(xué)的解放理性。

（四）從“外”到“內(nèi)”，通過“切片實(shí)驗(yàn)”實(shí)現(xiàn)兒童的“成長之需”

作為數(shù)學(xué)“創(chuàng)客教育”的課程載體，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蜃寖和怙@的實(shí)踐操作與內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思維有機(jī)融合，讓活動(dòng)成為外化的思維，讓思維成為內(nèi)化的活動(dòng)。正是在這個(gè)意義上，用手思考也可以理解為用頭腦做、用頭腦看、用頭腦聽……例如對(duì)于這樣的習(xí)題：

小英像圖這樣擺正方形，擺1個(gè)用4根小棒，擺2個(gè)用7根小棒，擺3個(gè)需要（）根小棒，擺10個(gè)呢？擺15個(gè)呢？100根小棒能擺多少個(gè)正方形？

教學(xué)時(shí)，筆者讓學(xué)生做“切片實(shí)驗(yàn)”[6]，即用火柴棒擺前幾個(gè)圖形探究，以小見大找規(guī)律。操作中，筆者適度介入，給操作注入思維，擺1個(gè)正方形需要幾根火柴棒？擺2個(gè)正方形需要增加幾根火柴棒？上下看，增加幾根？左右看，增加幾根……學(xué)生們將操作結(jié)果用表格進(jìn)行整理，形成“實(shí)驗(yàn)切片”。

當(dāng)學(xué)生們操作到第3個(gè)正方形時(shí)，筆者引導(dǎo)他們觀察，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果用算式進(jìn)行記錄，于是產(chǎn)生了多樣化的數(shù)學(xué)表達(dá)：

生1：4；4+3；4+3×2；……

生2：1+3；1+2×3；1+3×3；……

生3：2+2；4+3；6+4；……

生4：1×2+2×1；1×3+2×2；1×4+2×3；1×5+2×4；……

…………

師：還需要接著擺下去嗎？

生：不用了，我們找到了規(guī)律。

在擺小棒過程中，兒童始終關(guān)注著各自視界里的規(guī)律。這些規(guī)律的探尋過程是兒童將自我外在的操作實(shí)驗(yàn)內(nèi)化成自我的思想實(shí)驗(yàn)。他們?cè)陬^腦里操作，在頭腦中“下盲棋”，經(jīng)過自我推理、計(jì)算，建構(gòu)出各自的數(shù)學(xué)規(guī)律，其核心素養(yǎng)得到了提升。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種打通教材文本和兒童知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)心理等的主客交融的綜合性學(xué)習(xí)。在這種整體性學(xué)習(xí)中，兒童主動(dòng)觀察、思考、操作、發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為數(shù)學(xué)理解提供了外源幫助，數(shù)學(xué)理解為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了內(nèi)源支撐。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，兒童從依賴操作實(shí)驗(yàn)的工具性理解走向超越操作的關(guān)系性理解、創(chuàng)新性理解，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)自我的思維躍遷，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室也成為兒童的“創(chuàng)想空間站”、“數(shù)學(xué)創(chuàng)客坊”。

參考文獻(xiàn)：

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責(zé)任編輯：石萍

收稿日期：2016-10-28

作者簡介：汪樹林，如皋市東陳鎮(zhèn)丁北小學(xué)（江蘇如皋，226571）教科室主任，南通市骨干教師，研究方向?yàn)閮和瘮?shù)學(xué)教與學(xué)。